Как построить гиперболу по уравнению со смещением (7 видео)

Содержание

Гипербола
Гипербола: определение, функция, формула, примеры построения
Определение и функция гиперболы
Пример 1
Пример 2
Основные сведения о гиперболе в математике
Понятие гиперболы
Форма гиперболы
Построение гиперболы
Примеры решения задач
📺 Видео

Видео:задание 22 ОГЭ математика.График - гипербола с выколотой точкой.Скачать

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color <frac>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Видео:Гипербола со смещениемСкачать

Гипербола: определение, функция, формула, примеры построения

В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.

Видео:Гипербола. Функция k/x и её графикСкачать

Определение и функция гиперболы

Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:

x – независимая переменная;
k ≠ 0;
при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
при k 0)
y = -x (при k Алгоритм построения гиперболы

Пример 1

Дана функция y = 4 /_x. Построим ее график.

Решение

Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.

Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.

<td data-cell-id="A1" data-x="0" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value="x» data-order=»x» style=»min-width:26.9912%; width:26.9912%;»> x
<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value="y» data-order=»y» style=»min-width:24.3363%; width:24.3363%;»> y
<td data-cell-id="C1" data-x="2" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value="Расчет y» data-order=»Расчет y» style=»min-width:48.6726%; width:48.6726%;»> Расчет y0,58
<td data-cell-id="C2" data-x="2" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" / _0,5 = 8″ data-order=» 4 / _0,5 = 8″> 4 / _0,5 = 814
<td data-cell-id="C3" data-x="2" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" / ₁ = 4″ data-order=» 4 / ₁ = 4″> 4 / ₁ = 422
<td data-cell-id="C4" data-x="2" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value=" / ₂ = 2″ data-order=» 4 / ₂ = 2″> 4 / ₂ = 241
<td data-cell-id="C5" data-x="2" data-y="5" data-db-index="5" data-cell-type="text" data-original-value=" / ₄ = 1″ data-order=» 4 / ₄ = 1″> 4 / ₄ = 180,5
<td data-cell-id="C6" data-x="2" data-y="6" data-db-index="6" data-cell-type="text" data-original-value=" / ₈ = 0,5″ data-order=» 4 / ₈ = 0,5″> 4 / ₈ = 0,5
Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, которая будет стремиться к осям координат. В итоге получится ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.
Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.
<table data-id="196" data-view-id="196_23937" data-title="Пример значений гиперболы_2" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
<td data-cell-id="A1" data-x="0" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value="x» data-order=»x» style=»min-width:26.9912%; width:26.9912%;»> x
<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value="y» data-order=»y» style=»min-width:24.3363%; width:24.3363%;»> y
<td data-cell-id="C1" data-x="2" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value="Расчет y» data-order=»Расчет y» style=»min-width:48.6726%; width:48.6726%;»> Расчет y-0,5-8
<td data-cell-id="C2" data-x="2" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" / _-0,5 = -8″ data-order=» 4 / _-0,5 = -8″> 4 / _-0,5 = -8-1-4
<td data-cell-id="C3" data-x="2" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" / _-1 = -4″ data-order=» 4 / _-1 = -4″> 4 / _-1 = -4-2-2
<td data-cell-id="C4" data-x="2" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value=" / _-2 = -4″ data-order=» 4 / _-2 = -4″> 4 / _-2 = -4-4-1
<td data-cell-id="C5" data-x="2" data-y="5" data-db-index="5" data-cell-type="text" data-original-value=" / _-4 = -1″ data-order=» 4 / _-4 = -1″> 4 / _-4 = -1-8-0,5
<td data-cell-id="C6" data-x="2" data-y="6" data-db-index="6" data-cell-type="text" data-original-value=" / _-8 = -0,5″ data-order=» 4 / _-8 = -0,5″> 4 / _-8 = -0,5
Соединив полученные точки получаем следующий результат. На этом построение гиперболы завершено.
Пример 2
Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:
Видео:Графики функций №3 ГиперболаСкачать
Основные сведения о гиперболе в математике
Видео:Графики функций. Гиперболы.Скачать
Понятие гиперболы
Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (фокусов) — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы:
где a, b — положительные действительные числа.
Более простое определение:
Гипербола — это график функции обратной пропорциональности, которая задается следующей формулой:
x — независимая переменная;
y — функция;
k — коэффициент пропорциональности. При этом k≠0. При k>0 график расположен в 1 и 3 четвертях координатной плоскости (функция убывает), при k
Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать
Форма гиперболы
График гиперболы выглядит следующим образом:
Зеленые кривые называются ветвями гиперболы. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака k.
Оси абсцисс (OX) и ординат (OY) являются асимптотами графика. Асимптота — прямая, к которой стремится график, но не пересекает ее.
Ось симметрии (синяя прямая) выражается уравнением: y=x (при k>0) или y=-x (при k y = k / x
Но также для построения необходимо знать, как расположены асимптоты.
В стандартном случае это оси абсцисс и ординат. Но асимптоты могут быть и смещены. Тогда функция будет задаваться уравнением вида:
y = k / ( x — a ) + b , где:
x=a — вертикальная асимптота графика (при a≠0) вместо оси ординат. Если перед a стоит «минус», то смещение вправо. Если перед a стоит «плюс», то смещение влево;
y=b — горизонтальная асимптота графика (при b≠0) вместо оси абсцисс. Если перед b стоит «минус», то смещение вниз. Если перед b стоит «плюс», то смещение вверх.
Видео:ГРАФИК ФУНКЦИЙ — Сдвиги Графика Функции, Как строить Графики Функции // Алгебра 8 классСкачать
Построение гиперболы
Алгоритм построения гиперболы по точкам:
Строим систему координат.
Решить, в каких четвертях будет располагаться график (в зависимости от знака коэффициента k).
Определяемся со смещением асимптот.
Составляем таблицу значений. Берем (как минимум) три положительных и три отрицательных значения x, подставляем в уравнение, вычисляем y.
Наносим точки на координатную плоскость.
Соединяем точки, получаем график.
Видео:§23 Построение гиперболыСкачать
Примеры решения задач
Построить гиперболу по заданному уравнению:
y = — 2 / ( x — 3 ) + 4
График будет располагаться во 2 и 4 координатных четвертях, так как k
📺 Видео
Построение гиперболыСкачать
Видеоурок "Гипербола"Скачать
Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать
Новая задача №9 на гиперболу из ЕГЭ 2022 по математикеСкачать
§76 Преобразование графика функции y=k/xСкачать
Дробно-линейная функция. 10 класс.Скачать
функция y=k/x и ее график (гипербола) - 8 класс алгебраСкачать
График – гипербола. Находим коэффициенты в формулеСкачать
Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать
9 Задание Гипербола со смещениемСкачать
Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать