Как по уравнению прямой и плоскости определить их взаимное расположение

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.

Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

Фигура	Рисунок	Формулировка
Прямая лежит на плоскости (принадлежит плоскости)
Прямая пересекает плоскость
Прямая параллельна плоскости

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.

Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

Утверждение 1 . Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a . Тогда возможны два случая:

Рис.1Рис.2

Рис.1

Рис.2

Доказательство . Рассмотрим случай 2 и предположим противное. Предположим, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке P (рис.3) .

Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости) . Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b , лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.

Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости «от противного». Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b (рис. 4).

Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

Видео:22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространствеСкачать

Взаимное положение прямой и плоскости с примерами

Содержание:

Проекции прямого угла:

Величина угла между двумя пересекающимися прямыми в общем случае на проекциях искажается. В натуральную величину этот угол будет проецироваться в том случае, если плоскость угла параллельна одной из плоскостей проекций. Тогда другие проекции сторон угла совпадают и параллельны оси проекций (рисунок 2.1).

Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна одной из плоскостей проекций (рисунок 2.2).

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Взаимное положение примой и плоскости, двух плоскостей

Прямая относительно плоскости может занимать следующие положения: лежать в плоскости (что рассматривалось ранее); быть ей параллельна; пересекать плоскость; быть перпендикулярной плоскости (т.е. пересекать под прямым углом).

Две плоскости могут быть:

• взаимно параллельными,
• пересекающимися;
• взаимно перпендикулярными.

Перпендикулярность примой и плоскости

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости.

Так как прямой угол между прямыми линиями проецируется на плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости проекций, то пересекающимися прямыми плоскости, которые нужно взять для построения перпендикуляра, могут быть только ее горизонталь и фронталь.

Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронгали плоскости, а горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

На рисунке 2.3 через точку проведена прямая, перпендикулярная плоскости

В плоскости проведены горизонталь и фронталь, затем через проведена горизонтальная проекция перпендикуляра под прямым углом к а через точку фронтальная проекция перпендикуляра иод прямым углом к Прямые есть проекции искомого перпендикуляра р.

Перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержи! перпендикуляр к другой.

Пусть через данную прямую т необходимо провести плоскость, перпендикулярную плоскости а. заданной треугольником (рисунок 2.4).

Для решения задачи достаточно на прямой т взять произвольную точку А и провести через нее прямую р, перпендикулярную данной плоскости .

Пересекающиеся прямые m и р образуют плоскость которая содержит прямую р, перпендикулярную плоскости следовательно, плоскости (i и взаимно перпендикулярны.

Параллельность прямой и плоскости

Условие параллельности прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Рассмотрим пример решения задачи на параллельности прямой и плоскости.

Задача: построить фронтальную проекцию прямой n, проходящей через точку А и параллельной

Для решения задачи:

Проводим горизонтальную проекцию прямой в плоскости

Строим фронтальную проекцию

Через точку проводим параллельную Таким образом получим:

Параллельность двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей:

• две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Изображенные на рисунке 2.6 плоскости взаимнопараллельныe, т.к. Пересечение прямой и плоскости

Задача на нахождение точки пересечения прямой линии с плоскостью является первой основной позиционной задачей курса начертательной геометрии.

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.7):

1. Прямую заключаем во вспомогательную плоскость (удобнее всего в проецирующую);

2. Находим линию пересечения (1-2) вспомогательной плоскости с заданной

3. Отмечаем точку пересечения К найденной линии пересечения (1-2) с заданной прямой

4. Определяем видимость прямой На основании данного алгоритма определим точку пересечения прямой с плоскостью (рисунок 2.8) и с плоскостью

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, поэтому для её построения достаточно найти две точки одновременно принадлежащие двум плоскостям.

Рассмотрим несколько случаев построения линии пересечения двух плоскостей.

1-й случай — пластины непрозрачные заданы с нахлёстом (рисунок 2.10).

Задача сводится к нахождению точек пересечения прямых m и n с плоскостью а. Соединив точки пересечения К и М получим линию пересечения плоскости с плоскостью Видимость определяется по конкурирующим точкам.

2-й случай — плоскости заданы на некотором расстоянии, что не дает возможность определить линии пересечения двух плоскостей первым способом. В этом случае используется метод плоскостей-посредников.

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.11):

1. Заданные плоскости рассекаем вспомогательной плоскостью посредником
2. Определяем линию пересечения 1-2 плоскости а с плоскостью а и линию пересечения 3-4 плоскости с плоскостью
3. Определяем точку К — точку пересечения линий 1-2 и 3-4, принадлежащую плоскостям
4. Аналогичным образом находим точку L с помощью плоскости посредника
5. Соединив две точки К и М, получим линию пересечения двух плоскостей

Видимость при этом не определяется.

3-й случай — пересекающиеся плоскости общего положения заданы следами пересекающимися в пределах чертежа (рисунок 2.12).

В данном случае в качестве плоскостей-посредников могут быть использованы плоскость проекций.

Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

Так как секущая плоскость горизонтально-проецирующая, то фронтальную проекцию сечения можно построить, определив точку пересечения каждого ребра с плоскостью о (рисунок 2.13)

Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут принадлежать одна другой; быть параллельны или пересекаться.

Пересечение плоскостей. Линия пересечения двух плоскостей -прямая. Положение прямой в пространстве определяют две точки. Чтобы найти линию пересечения плоскостей, достаточно знать две точки, принадлежащие двум плоскостям одновременно.

Пересечение плоскости общего положения с плоскостью частного положения

На рис. 27 показано построение линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника AВС.
Так как линия пересечения двух плоскостей принадлежит фронтально-проецирующей плоскости Р, то ее фронтальная проекция совпадает с фронтальным следом плоскости Р. Горизонтальная проекция искомой линии пройдет через точки и расположенные на горизонтальных проекциях AВ и АС соответствующих сторон треугольника (рис. 27).

Пересечение двух плоскостей общего положения

Задача. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения

Алгоритм решения задачи (рис. 28)

1. Вводим вспомогательную секущую плоскость Q общего положения
2. Находим линии пересечения вспомогательной плоскости Q с двумя заданными Р и Т:
3. Определяем точку пересечения построенных линий: Точка М принадлежит одновременно плоскостям Р и Т, следовательно, она принадлежит линии их пересечения.
4. Для нахождения второй общей точки вводим еще одну секущую плоскость и повторяем построения (п.2, п.З). Решение этой задачи на эпюре показано на рис. 29:

Согласно алгоритму решения задачи проводим вспомогательные секущие плоскости частного положения — их фронтальные следы). Вспомогательные плоскости пересекают заданные плоскости по линиям А-1, 2-3 и 4-5, 6-7. В пересечении этих линий будут точки принадлежащие линии пересечения двух плоскостей. На рис. 30, а плоскости общего положения Р и Q заданы следами. Линия их пересечения MN пройдет через точки пересечения одноименных следов плоскостей. В точке N пересекаются фронтальные следы плоскостей, в точке М -горизонтальные. Проекциями линии пересечения будут прямые и На рис. 30,6 показано построение линии пересечения плоскостей на эпюре.

Плоскости параллельны

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

Изображенные на рис. 31 плоскости и параллельны, т.к.

Плоскости общего положения также параллельны, если два любых одноименных следа параллельны между собой.

Изображенные на рис. 32 плоскости Р и Q параллельны, т.к.

Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость и быть параллельной плоскости.

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Если заданная плоскость перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций (рис.33, а), то она проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии, на которой обязательно будут находиться соответствующие проекции всех точек, принадлежащих данной плоскости, в том числе и проекции точки пересечения какой-то прямой с заданной плоскостью (точка встречи прямой с плоскостью). Поэтому точка встречи прямой с плоскостью частного положения находится па эпюре без дополнительных построений (рис. 33,6).

На рис. 34 точка встречи прямой EF с горизонтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником ABC, является точкой пересечения горизонтальных проекций и прямой и треугольника. Фронтальная проекция точки пересечения лежит на линии проекционной связи, проведенной из точки до пересечения с фронтальной проекций прямой EF. Принято считать, что всякая плоскость (в том числе и плоскость проекций) непрозрачна. Поэтому часть прямой, которая находится за плоскостью, является невидимой и показана на эпюрах (рис. 33,6; 34) штриховой линией.

Определение видимости на эпюрах

Вопрос о видимости линий или поверхностей всегда может быть сведен к вопросу о видимости точек. Если несколько точек находятся на общей для них линии связи, то видимой будет только одна из них — наиболее удаленная от той плоскости проекций, по отношению к которой определяется видимость.

Точки, расположенные на одной линии связи, называются конкурирующими. Точки А, В и С, D — конкурирующие (рис. 35).

Относительно плоскости проекций видимой будет точка А; относительно плоскости проекций видимой будет точка D, т. е. относительно плоскости видимой будет та точка, фронтальная проекция которой находится дальше от оси а относительно плоскости видимой будет та точка, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси Аналогично: относительно плоскости видимой будет та точка, горизонтальная проекция которой будет находиться дальше от оси

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Точку пересечения прямой линии АВ с плоскостью общего положения Р (рис. 36) находят следующим образом:

• а) через заданную прямую АВ проводим некоторую вспомогательную плоскость Q, обычно плоскость частного положения;
• б) строим линию пересечения 1-2 заданной плоскости Р и вспомогательной Q;
• в) находим положение точки пересечения данной прямой АВ и линии пересечения 1-2 плоскостей (точки К).
• г) определяем видимость прямой АВ по отношению к плоскости Р.

Пошаговые построения по определению точки пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника CDE на эпюре приведены на рис. 37 (а-в).

Видимость прямой АВ относительно плоскости Р (рис. 37,г) определяем с помощью двух пар конкурирующих точек и Рассматривая пару точек 1 и 1′ , конкурирующих относительно горизонтальной плоскости проекций, видим, что точка выше. Точка следовательно, прямая АВ расположена выше плоскости, поэтому относительно плоскости часть прямой видима, а ее часть закрыта плоскостью.

Аналогично, используя конкурирующие точки и определяем видимость прямой АВ и плоскости по отношению к фронтальной плоскости проекций.

Задачи, на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение прямой с плоскостью.

Одна из изображенных на рис. 38 плоскостей задана треугольником AВС, а вторая — двумя параллельными прямыми с и f.

Линия пересечения этих плоскостей (линия MN) определена при помощи построения точек встречи прямых с и f с плоскостью треугольника. Для этого через прямую с проведена фронтально — проецирующая плоскость S. Прямая 1-2 — линия пересечения плоскости треугольника с вспомогательной фронтально-проектирующей плоскостью S. Точка М — точка встречи прямой с с плоскостью треугольника AВС.

Точка N найдена аналогично. Прямая MN — искомая. Видимость на рис. 86 определена из условия, что заданные плоскости ограничены треугольником и двумя параллельными прямыми, определяющими их.

Прямая параллельна плоскости

Если прямая линия параллельна какой-либо прямой, находящейся в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Следовательно, для построения прямой, параллельной заданной плоскости, надо взять в этой плоскости какую — либо прямую и построить ей параллельную.

На рис. 39 через точку С проведена прямая d, параллельная плоскости Р, заданной пересекающимися прямыми т и п.

Прямая d параллельна прямой n, принадлежащей плоскости следовательно, прямая d параллельна этой плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Чтобы построить перпендикуляр из точки D на плоскость треугольника AВС (рис.40) необходимо предварительно построить
горизонталь и фронталь плоскости Горизонтальная проекция перпендикуляра пройдет через точку перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали

Если же плоскость задана следами, то, учитывая, что фронтальная проекция любой фронтали в этой плоскости всегда параллельна фронтальному следу плоскости, а горизонтальная проекция любой горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости, легко видеть (рис. 41), что проекции перпендикуляра к плоскости должны быть перпендикулярны соответствующим следам плоскости.

Плоскости перпендикулярны

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 42 через прямую АВ проведена плоскость, перпендикулярная плоскости треугольника CDE. Для этого из точки В прямой АВ восстановлен перпендикуляр ВК к плоскости треугольника — фронталь и горизонталь плоскости треугольника CDЕ ). Плоскость, определяемая пересекающимися прямыми АВ и ВК— искомая.

Если возникает необходимость в построении взаимно перпендикулярных прямых общего положения, необходимо построить плоскость, перпендикулярную заданной прямой, и взять в ней любую прямую.

Задача.

Через точку М провести прямую, перпендикулярную прямой

Для построения взаимно перпендикулярных прямых (рис. 43), одна из которых задана, а вторая (чтобы задача имела единственное решение) должна проходить через какую-либо определенную точку М, надо выполнить следующее:

• а) через заданную точку M проводим плоскость перпендикулярную заданной прямой
• б) находим точку пересечения заданной прямой с построенной плоскостью Q — точку К (для этого прямую заключаем во вспомогательную фронтально -проецирующую плоскость Р);
• в) соединяем заданную точку М с найденной точкой К прямой линией. Эта линия МК и будет искомой.

Задача:

Определить расстояние от точки до плоскости, заданной треугольником ABC (рис.44)

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Поэтому решение этой задачи выполняем в следующей последовательности:

1. Из точки D опускаем перпендикуляр на плоскость треугольника AВС (рис.44, а), для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь и фронталь затем из точки опускаем перпендикуляр на — получаем фронтальную проекцию перпендикуляра; а из точки -на — получаем горизонтальную проекцию перпендикуляра к плоскости

2. Находим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью заключаем перпендикуляр во вспомогательную секущую плоскость Р; строим линию пересечения плоскости с плоскостью Р; определяем искомую точку К в пересечении перпендикуляра и построенной линии пересечения 3-4 (рис. 44,6).

3. Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину отрезка DK, для чего в плоскости (рис. 44,в) строим прямоугольный треугольник один катет которого является горизонтальной проекций перпендикуляра, а второй равен разности высот точек D и К. Гипотенуза построенного треугольника определяет искомое расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC.

• Решение метрических задач
• Тени в ортогональных проекциях
• Кривые поверхности
• Пересечения криволинейных поверхностей
• Образование и задание поверхности на чертеже
• Пересечение поверхности плоскостью и прямой
• Развертки поверхностей
• Способы преобразования проекций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

Видео:11 класс, 21 урок, Взаимное расположение сферы и плоскостиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).

Видео:5. Взаимное положение прямой и плоскостиСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Видео:Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостейСкачать

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:

– прямая и плоскость пересекаются ;

– прямая и плоскость параллельны

– прямая лежит в плоскости

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.

Видео:Геометрия. 10 класс. Взаимное расположение прямой и плоскости /06.10.2020/Скачать

Прямая, плоскость и их уравнения

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Начальные сведения

Введено понятие прямой, показаны принятые обозначения, рассмотрены варианты взаимного расположения прямой и точки, двух прямых, перечислены способы задания прямой на плоскости.

Получите представление о прямой линии в пространстве, рассмотрите варианты взаимного расположения прямых и способы задания прямой в пространстве.

Дано понятие плоскости в трехмерном пространстве, представлены варианты ее взаимного расположения с точкой, прямой и другой плоскостью, показаны способы задания.

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Уравнения прямой на плоскости

Что называют уравнением прямой и какие виды уравнения прямой на плоскости существуют? В этой статье Вы найдете ответы на эти вопросы.

Познакомьтесь с направляющим вектором прямой, узнайте как его координаты участвуют в записи уравнения прямой.

Узнайте что такое нормальный вектор прямой и как определяются его координаты по уравнению прямой на плоскости.

Всесторонне разобрано общее уравнение прямой, показаны неполные уравнения, приведены примеры и графические иллюстрации.

Научитесь работать с каноническими уравнениями прямой, разберитесь как в их записи участвуют координаты направляющего вектора прямой, рассмотрите решения характерных задач.

Откройте для себя уравнение прямой в отрезках, узнайте почему оно получило такое название и почему с помощью уравнения этого вида легко построить прямую с прямоугольной системе координат.

Рассмотрено уравнение прямой с угловым коэффициентом, введены определения угла наклона и углового коэффициента, разобраны решения характерных задач на составление уравнений прямой этого вида.

Познакомьтесь с параметрическими уравнениями прямой на плоскости, научитесь от уравнений прямой другого вида переходить к параметрическим уравнениями и обратно.

Узнайте как выводится нормальное уравнение прямой и как оно применяется для нахождения расстояния от точки до прямой.

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнения плоскости

Узнайте какими уравнениями описываются плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Запомните определение нормального вектора плоскости, посмотрите как его координаты участвуют в записи уравнений плоскости.

Познакомьтесь с полными и неполными общими уравнениями плоскости, рассмотрите примеры и решения характерных задач.

Показано как из общего уравнения плоскости получить уравнение плоскости в отрезках и как его использовать для построения плоскости.

Разобрано как нормальное (нормированное) уравнение плоскости получается из общего и как оно применяется для нахождения расстояния от точки до плоскости.

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

Уравнения прямой в пространстве

Показано с помощью каких уравнений можно задать прямую линию в пространстве в заданной прямоугольной системе координат.

Разобрано как прямая линия в прямоугольной системе координат в пространстве задается уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Познакомьтесь с параметрическими уравнениями прямой в пространстве, рассмотрите примеры их составления и способы перехода к уравнениям другого вида.

Подробно рассмотрены канонические уравнения прямой в пространстве, показана их связь с другими видами уравнений, приведены решения характерных примеров и задач.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Параллельность и перпендикулярность

Даны основные сведения о параллельных прямых, перечислены признаки и условия параллельности прямых в том числе через направляющие и нормальные векторы.

Приведены начальные сведения о перпендикулярных прямых, разобраны признаки и условия перпендикулярности прямых.

Получите основные сведения о параллельных прямой и плоскости, научитесь выяснять параллельны ли прямая и плоскость.

Примите к сведению условия и признаки перпендикулярности прямой и плоскости, ознакомьтесь с решением характерных примеров.

Познакомьтесь с определением параллельных плоскостей и с условиями параллельности, разберите решения характерных примеров и задач.

Приведены признаки и условия перпендикулярности плоскостей, позволяющие устанавливать параллельны ли плоскости, заданные своими уравнениями.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Составление уравнений прямой

Научитесь составлять уравнение прямой, когда известны координаты двух лежащих на ней точек, в этом Вам помогут прведенные решения примеров с пояснениями.

Узнайте как составляются уравнения прямой, когда известны уравнения параллельной ей прямой и координаты точки, через которую она проходит.

Разберитесь с составлением уравнений прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой, рассмотрите решения характерных примеров.

Познакомьтесь с принципом составления уравнений прямой, которая проходит через заданную точку перпендикулярно заданной плоскости.

Показана суть составления уравнений прямой для данных условий, приведены готовые решения примеров.

Видео:Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Составление уравнений плоскости

Узнайте как составляется уравнение плоскости, когда даны координаты трех ее точек, рассмотрите решения примеров.

На примерах показано как составить уравнение плоскости, когда известно уравнение лежащей на ней прямой и координаты точки.

Научитесь записывать уравнение плоскости, которая проходит через две заданные параллельные или пересекающиеся прямые.

Показано как составляется уравнение плоскости, если известны координаты одной ее точки и уравнение прямой, которой она перпендикулярна.

Разберитесь с составлением уравнения плоскости, когда известны координаты точки, через которую она проходит, и уравнение плоскости, которой она параллельна.

Показаны примеры составления уравнения плоскости, которая перпендикулярна двум заданным плоскостям и проходит через заданную точку.

Видео:Лекция 30. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.Скачать

Нахождение углов методом координат

Получена формула для нахождения косинуса угла и самого угла между пересекающимися прямыми, показаны решения примеров.

Дано определение угла между скрещивающимися прямыми и разобрано как находить этот угол методом координат.

Узнайте как находить угол между прямой и плоскостью когда известны их уравнения, разберитесь в решениях характерных примеров.

Разберитесь с нахождением угла между пересекающимися плоскостями, запомните формулу и рассмотрите приведенные решения примеров.

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

Нахождение координат точек пересечения

Узнайте как находить координаты точки пересечения двух прямых на плоскости и в пространстве, разберите решения характерных задач.

На примерах показаны способы нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Нахождение расстояний методом координат

Разобраны различные способы нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой, в том числе с использованием нормального уравнения прямой, приведены решения примеров.

Научитесь находить расстояние от точки до плоскости методом координат, для этого удобно использовать нормальное уравнение плоскости.

Познакомьтесь со способами нахождения расстояния между параллельными прямыми в прямоугольной системе координат.

Узнайте как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми, разберите примеры нахождения расстояния методом координат.

Показано как находить расстояние между прямой и плоскостью, которые параллельны, для пояснения приведены решения примеров.

Разберитесь с нахождением расстояния между параллельными плоскостями, когда известны их уравнения.

Связки и пучки

Узнайте что такое пучок прямых, рассмотрите его уравнение и связанные с пучками прямых характерные примеры.

Познакомьтесь с пучком плоскостей и видом уравнения пучка плоскостей.

Дано определение связки плоскостей и ее уравнение, показаны решения примеров.

Проекция точки на прямую и плоскость

Узнайте что называют проекцией точки на прямую и как находятся координаты проекции.

Показано как находить координаты проекции точки на плоскость, разобраны решения примеров.