Как по уравнениям прямых в общем виде определить перпендикулярны ли они (8 видео)

Условие перпендикулярности прямых

I. Выясним условие перпендикулярности двух прямых y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂.

Пусть прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ образуют с положительным направлением оси Ox углы α₁ и α₂ соответственно.

Обозначим точки пересечения прямых с осью абсцисс через A и B, точку пересечения прямых — C.

Так как α₂ — внешний угол при вершине B треугольника ABC, то

Отсюда угловой коэффициент второй прямой

условие перпендикулярности прямых:

прямые, заданные уравнениями y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:

и условие перпендикулярности прямых в этом случае имеет вид:

Содержание

Условие перпендикулярности прямых
y1=k1x+b1
y2=k2x+b2
Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых
Перпендикулярные прямые – основные сведения
Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности
🔍 Видео

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

Условие перпендикулярности прямых

Условием перпендикулярности (ортогональности) двух прямых на плоскости, заданных уравнениями:

Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать

y₁=k₁x+b₁

Видео:§57 Условие перпендикулярности прямых в пространствеСкачать

y₂=k₂x+b₂

или

т.е. угловые коэффициенты k₁ , k₂ обратны по величине и противоположны по знаку и это значит, что прямые перпендикулярны, а если произведение угловых коэффициентов не равно -1, то прямые не перпендикулярны.

Если две прямые представлены следующими уравнениями

то условием их перпендикулярности (уравнение перпендикулярной прямой) есть

Пример 1
Прямые y=4x (прямая синего цвета) и y= -1/4x (прямая красного цвета) перпендикулярны, так как k₁·k₂=4·(-1/4)=-1

Пример 2
Прямые 2x+3y=7 и 3x-2y=4 перпендикулярны, так как A₁=2, A₂=3, B₁=3, B₂=-2, следовательно

Видео:Определение перпендикулярных прямых по уравнению (видео 64)| Подобие. Геометрия | МатематикаСкачать

Пример 3
Прямые 1/4x-1/6y=0 и 4x-6y=0 не перпендикулярны, так как здесь

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y — это направляющие векторы прямых a и b .

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

Заданы три точки A ( 8 , 6 ) , B ( 6 , 3 ) , C ( 2 , 10 ) в прямоугольной системе координат О х у . Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = ( — 2 , — 3 ) , A C → = ( — 6 , 4 ) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

A B → , A C → = ( — 2 ) · ( — 6 ) + ( — 3 ) · 4 = 0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Определить, заданные прямые x — 1 2 = y — 7 3 и x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ перпендикулярны или нет.

Решение

a → = ( 2 , 3 ) является направляющим вектором заданной прямой x — 1 2 = y — 7 3 ,

b → = ( 1 , — 2 ) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

a → , b → = 2 · 1 + 3 · — 2 = 2 — 6 ≠ 0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b .

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y — 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = ( 2 , — 1 , 0 ) и b → = ( 1 , 2 , 4 ) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x — y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = ( 3 , — 1 ) — это нормальный вектор для прямой 3 x — y + 2 = 0 .

Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y — 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

Векторы n a → = ( 3 , — 1 ) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + ( — 1 ) · 2 = 0 .

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b — y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + ( — 1 ) · ( — 1 ) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = — 1 .

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = — 3 7 x и y = 7 3 x — 1 2 .

Прямая y = — 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный — 3 7 , а прямая y = 7 3 x — 1 2 — 7 3 .

Произведение угловых коэффициентов дает значение — 1 , — 3 7 · 7 3 = — 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Определить, являются ли заданные прямые x — y — 1 = 0 и x 0 = y — 4 2 перпендикулярными.

Получаем, что нормальный вектор прямой x — y — 1 = 0 имеет координаты n a → = ( 1 , — 1 ) , а b → = ( 0 , 2 ) — направляющий вектор прямой x 0 = y — 4 2 .

Отсюда видно, что векторы n a → = ( 1 , — 1 ) и b → = ( 0 , 2 ) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.