На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство
Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) На рисунке точки, в которых 
выделены красным и синим цветом. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек (синие точки). Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение имеет 10 решений.
На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции 
Поэтому
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках 
и 
Приведем другое решение.
Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:
что позволяет сразу же найти
Приведем ещё одно решение.
Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:
Приведем ещё одно решение.
Получим явное выражение для 
Поскольку
Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком 
оси абсцисс. Имеем:
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Найдем формулу, задающую функцию 
график которой изображён на рисунке.
Следовательно, график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:
Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.
Ошибки, конечно, нет, но при таком подходе (сдвиг функции) гораздо легче найти уравнение параболы, проходящей через точки (-1;0), (0;3) и (1;0), а потом вычислить интеграл.
Во-первых, до того как была вычислена производная, мы не знали, является ли изображенный на рисунке график параболой. Во-вторых, на наш взгляд, выделить полный квадрат проще, чем решать систему уравнений с тремя переменными.
Но ведь ясно, что если первообразная — многочлен третьей степени, то производная — многочлен второй степени.
Согласны, если это объяснено, то всё в порядке.
Ошибки, конечно, нет. Но надо ли так подробно решать? Есть первообразная, есть границы интегрирования. S=F(-8)-F(-10)=4
В конце решения есть фраза «Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи» со ссылкой. Там есть разные варианты решения
На рисунке изображен график некоторой функции 
Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 
Определенный интеграл от функции по отрезку 
дает значение площади подграфика функции на отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого 
и прямоугольник, площадь которого 
Сумма этих площадей дает искомый интеграл 
- Первообразная
- Таблица первообразных
- Правила вычисления первообразных:
- Задания по теме «Первообразная функции»
- Задание №1164
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №1158
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №1155
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №1149
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №1146
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №907
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №307
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №306
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №104
- Условие
- Решение
- Ответ
- Задание №103
- Условие
- Решение
- 🎥 Видео
Видео:График первообразнойСкачать
Первообразная
Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$
Таблица первообразных
Первообразная нуля равна $С$
| Функция | Первообразная |
| $f(x)=k$ | $F(x)=kx+C$ |
| $f(x)=x^m, m≠-1$ | $F(x)=<x^>/+C$ |
| $f(x)=/$ | $F(x)=ln|x|+C$ |
| $f(x)=e^x$ | $F(x)=e^x+C$ |
| $f(x)=a^x$ | $F(x)=/+C$ |
| $f(x)=sinx$ | $F(x)-cosx+C$ |
| $f(x)=cosx$ | $F(x)=sinx+C$ |
| $f(x)=/$ | $F(x)=-ctgx+C$ |
| $f(x)=/$ | $F(x)=tgx+C$ |
| $f(x)=√x$ | $F(x)=/+C$ |
| $f(x)=/$ | $F(x)=2√x+C$ |
Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$
Правила вычисления первообразных:
- Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
- Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
- Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то $/$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.
Найти первообразную для функции $f(x)=2sinx+/-/$.
Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого
Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$
Для $f_1=sinx$ первообразная равна $F_1=-cosx$
Для $f_2=/$ первообразная равна $F_2=ln|x|$
Для $f_2=cosx$ первообразная равна $F_3=sinx$
По первому правилу вычисления первообразных получаем:
Итак, общий вид первообразной для заданной функции
Видео:Первообразная. 11 класс.Скачать
Задания по теме «Первообразная функции»
Открытый банк заданий по теме первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Видео:Первообразная функции, проходящая через точкуСкачать
Задание №1164
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна fraccdot 3=10,5.
Ответ
Видео:Первообразная. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Задание №1158
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).
Ответ
Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Задание №1155
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна fraccdot 3=12.
Ответ
Видео:ЗАДАНИЕ №7 Производная и графики функции | PARTAСкачать
Задание №1149
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.
Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).
Ответ
Видео:Первообразная и интеграл. ЕГЭ по математике 2023Скачать
Задание №1146
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.
Ответ
Видео:Первообразная. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Задание №907
Условие
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).
Ответ
Видео:График первообразной в ЕГЭ по математикеСкачать
Задание №307
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+18x^2+221x-frac12 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница S=F(-1)-F(-5).
F(-1)= (-1)^3+18cdot(-1)^2+221cdot(-1)-frac12= -204-frac12.
F(-5)= (-5)^3+18cdot(-5)^2+221cdot(-5)-frac12= -125+450-1105-frac12= -780-frac12.
F(-1)-F(-5)= -204-frac12-left (-780-frac12right)= 576.
Ответ
Видео:Первообразная. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Задание №306
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение
F(9)-F(3)=S , где S — площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0 и x=3,:x=9 . Рассмотрим рисунок ниже.
Данная фигура — трапеция с основаниями 6 и 1 и высотой 2 . Ее площадь равна fraccdot2=7.
Ответ
Видео:Первообразная. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Задание №104
Условие
На координатной плоскости изображен график функции y=f(x) . Одна из первообразных этой функции имеет вид: F(x)=-frac13x^3-frac52x^2-4x+2 . Найдите площадь заштрихованной фигуры.
.png)
Решение
На рисунке видно, что заштрихованная фигура ограничена по оси абсцисс точками −4, −1 , а по оси ординат графиком функции: f(x) . Значит площадь фигуры мы можем найти с помощью разности значений первообразных в точках −4 и −1 , по формуле определенного интеграла:
Подставим значение первообразной из условия и получим площадь фигуры:
Ответ
Видео:11 класс, 20 урок, Первообразная и неопределённый интегралСкачать
Задание №103
Условие
Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2) . Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5] .
Решение
Формула первообразной имеет следующий вид:
По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0 , то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.
Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.
На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6 . Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.
🎥 Видео
Первообразная и интеграл. Все что нужно знать для ЕГЭ.Скачать
14.3 Найдите первообразную функцииСкачать
Решение B15 - найти первообразную. Подготовка к ЕГЭ по математике 2014Скачать
АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать
Производная для ЕГЭ за 10 минутСкачать
Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать
Как построить график функции без таблицыСкачать
Задача 7 ЕГЭ на производную и первообразную #29Скачать
