Как перевести периодическую дробь в обыкновенную с помощью уравнения

Видео:Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь. 6 класс.Скачать

Как перевести периодическую дробь

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Видео:Перевод десятичной бесконечной периодической дроби в обыкновеннуюСкачать

Определение дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математике, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

• 0,7
• 6,51
• 9,932

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Видео:Перевод периодической дроби в обыкновеннуюСкачать

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Тут есть два варианта:

1. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным.
2. В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь невозможно представить в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, нужно найти ее периодическую и непериодическую часть. Чтобы это сделать нужно привести дробь в неправильную, а затем разделить числитель на знаменатель столбиком.

Что будет происходить в процессе:

• сначала нужно будет разделить целую часть, если она есть;
• могут быть несколько чисел после десятичной точки;
• через некоторое время цифры начнут повторяться.

Повторяющиеся цифры после десятичной точки нужно обозначить периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Пример. Перевести обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель уголком:

Остатки начали повторяться. Запишем дробь в соответствии с условиями задачи: 1,733 . = 1,7(3).

В итоге получаем: 0,5833 . = 0,58(3).

Фиксируем: 4,0909 . = 4,(09).

Получаем десятичную периодическую дробь: 0,4141 . = 0,(41).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Уроки Айплюс | Бесконечные периодические дробиСкачать

Определение периодической дроби

Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр.

Периодическая часть дроби — это набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть.

В краткой записи периодической дроби повторяющиеся цифры пишут в скобках и называют периодом дроби. Например, вместо 1,555… записывают 1,(5) и читают «одна целая и пять в периоде».

Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Виды периодических дробей: чистые и смешанные.

Чистая периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой сразу после запятой следует период. Например: 1,(4); 4,(25); 21,(693).

Смешанная периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой после запятой через одну или несколько цифр начинается период. Например: 3,5(1); 0,02(89); 7,0(123) и т.д.

Рассмотрим примеры дробей, чтобы научиться определять части и период.

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Читаем так: ноль целых три в периоде.

7/12 = 0,583333. = 0,58(3)

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Читаем так: ноль целых пятьдесят восемь сотых и три в периоде.

17/11 = 1,545454. = 1,(54)

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Читаем так: одна целая пятьдесят четыре сотых в периоде.

25/39 = 0,641025 641025. = 0,(641025)

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6.

Читаем так: ноль целых шестьсот сорок одна двадцать пять миллионных в периоде.

пятьдесят четыре сотых в периоде.

9200/3 = 3066,666. = 3066,(6)

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Читаем так: три тысячи шестьдесят шесть целых и шесть в периоде.

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Давайте разберемся, как перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь.

Если период дроби равен нулю, значит решение будет быстрым. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример. Преобразуем периодическую дробь 1,32(0) в обыкновенную.

Для этого отбросим нули справа и получим конечную десятичную дробь 1,32. Далее следуем алгоритму из предыдущих пунктов:

Рассмотрим пример, в котором период дроби отличен от нуля.

Как записать периодическую дробь 10,0219(37) в виде обыкновенной:

Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву k.

В нашем примере k = 2.

Считаем количество цифр, которые стоят после запятой, но до периода десятичной дроби. Обозначаем количество цифр буквой m.

Запишем все цифры после запятой: в том числе и цифры из периода в виде натурального числа.

Если вначале, до первой значащей цифры, идут нули, то отбрасываем их. Обозначим полученное число — a.

a = 021937 = 21 937

Теперь запишем все цифры, которые стоят после запятой, но до периода, в виде натурального числа. Если вначале до первой значащей цифры идут нули, то отбрасываем их. Обозначим полученное число — b.

Подставляем найденные значения в формулу, где Y — целая часть бесконечной периодической дроби.

Теперь осталось подставить все найденные значения в формулу и получить ответ:

Вот так мы справились с задачей представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной.

Есть еще один способ преобразовать периодическую дробь в обыкновенную. Для этого нужно рассматреть периодическую часть как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Например, вот так:

0,(98) = 0,98 + 0,0098 + 0,000098 + 0,00000098 + ..

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии есть формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что 0

Видео:Переводим периодическую дробь в обыкновеннуюСкачать

Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную

Напомним: отличие чистой периодической десятичной дроби в том, что в ней сразу после запятой следует период.

Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде. Вот так:

Видео:Как проверяют учеников перед ЕНТСкачать

Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную

Отличие смешанной периодической десятичной дроби в том, что после запятой через одну или несколько цифр начинается период.

Чтобы записать смешанную периодическую дробь в виде обыкновенной, нужно из числа, которое стоит до второго периода вычесть число, стоящее до первого периода, и записать результат в числителе.

А в знаменатель нужно поставить число, которое содержит столько девяток, сколько цифр в периоде, нулей в конце и сколько цифр между запятой и периодом.

Например, запишем 2,34(2) в виде обыкновенной дроби:

Видео:Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь. Практическая часть. 6 классСкачать

Периодические дроби

Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:

Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.

Видео:🤷 НЕ ДЕЛИТСЯ или как вернуть обыкновенную дробь #shortsСкачать

Получаем периодическую дробь

Попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

Итак, делим 1 на 3

Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется вновь и вновь. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно, поэтому разýмнее будет остановиться на достигнутом.

Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной как в нашем примере.

В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают цéлую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).

В нашем примере повторяется цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:

Читается как «ноль целых и три в периоде»

Пример 2. Разделить 5 на 11

Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:

Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»

Пример 3. Разделить 15 на 13

Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».

Пример 4. Разделить 471 на 900

В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».

Видео:Перевод периодической дроби в обыкновенную.Скачать

Виды периодических дробей

Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.

Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной. Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:

Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.

Видео:Как переводить периодическую дробь в обыкновенную? Перевод периодической дроби в обыкновеннуюСкачать

Избавляемся от хвоста

Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.

Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33

Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.

Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

Видео:Редкий факт из школьной алгебрыСкачать

Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.

Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:

А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:

Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:

Получили обыкновенную дробь .

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается

Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:

Полученную дробь можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается

Видео:Как перевести периодическую дробь в обыкновеннуюСкачать

Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Итак, записываем в числителе разность:

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)

В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

Получили выражение, которое вычисляется легко:

Получили ответ

Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается

Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Итак, записываем в числителе разность:

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)

В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

Получили выражение, которое вычисляется легко:

Получили ответ

Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Видео:Как перевести периодическую дробь. #математика #дробиСкачать

35 thoughts on “Периодические дроби”

Когда же следующие уроки? Уже что-то долго ничего нету

Большое спасибо за урок! Откровенно говоря…эту тему не помню вообще…Будто ее и не было в школе О__о Ну или я ее проболела… (Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь)

Вы бы хоть номер кошелька написали. А то столько трудились и никакой отдачи. С такими уроками никакой экзамен не страшен.

Спасибо большое Тэла, за столь добрый отзыв 😉
Если люди получают пользу от этих уроков — это уже отдача)

Огромное Вам спасибо за уроки! Всё объясняете доступно и наглядно! На ваших уроках готовлюсь поступать на ФИТ на программиста. Хорошо бы еще алгебру выложили.)

Вы не могли бы объяснить логику алгоритма перевода периодической дроби в обычную?

Зачем в знаменателе ставятся девятки — заместно, например, округления числа, подставляемого в числитель, до последней цифры периода, и постановки степени 10 в знаменатель? Зачем, при переводе смешанной периодической дроби, производится соотв. вычитание и чем объясняется подстановка нулей и единиц в зависимости от принадлежности цифры к периоду??…

При делении числителя и знаменателя обыкновенной дроби , которая была превращена из периодической , то получается как раз таки период

Спасибо большое за урок 🙂 Скажите пожалуйсто при округлении(когда избавляемся от хвоста) откуда знать до каких разряд надо округлять?

Вот и здесь последняя задача говорит округлить до разряда сотых,а почему не до десятых(например)?

зависит от задачи, которую решаете. Если в задаче сказано округлять до десятых, значит округляете до десятых. Если сказано округлять до сотых — округляете до сотых

Спасибо за ответ . Я даже не знаю как вас зовут,но уверен вы очень хороший человек,раз вы уделяете время для других. Кстати я советую друзья посешать этот сайт,как тут нигде не обясняют.

Видео:Перевод периодической дроби в обыкновеннуюСкачать

Памятка по теме «Способы перевода периодической дроби в обыкновенную дробь»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Способы перевода периодической дроби в обыкновенную дробь

с помощью правила

с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

метод перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную, основанный на составлении уравнения, в котором неизвестной переменной будет искомое число

Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно её период сделать числителем, а в знаменателе записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде.

0,(3)= =

4,(23)=4

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число ,стоящее до первого периода, и эту разность сделать числителем, а в знаменателе записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде ,со столькими нулями справа, сколько цифр между запятой и первым периодом.

1,4(37)= = =1

7,2(8)= = =7

q=

S=

=0,4

=0,04

q= = =0,1

S= = = =

=2+ =2+ =2 =2

=5+0,1+ =5,1+ =5,1+ =5 =5

х=

х=

х=

💥 Видео

Как переводить периодическую десятичную дробь в обыкновеннуюСкачать

Как перевести периодическую дробь в обыкновенную?Скачать

Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновеннуюСкачать

Как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновеннуюСкачать

Перевод обыкновенной дроби в десятичную. Смотри, чтобы не ошибиться на экзамене!Скачать