Как открывать модуль в уравнениях

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= — f(x), если f(x)

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3 2 +4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₂=3.

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х 2 -5х+6=0

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов ( 179 )

Здравствуйте,Инна.Как умножить модуль на квадратное уравнение?
Спасибо.

Нужно раскрыть модуль: рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше нуля и когда меньше нуля.

Если модуль в модуле. ||x| — 1| * |x| / x^2 — 1 ==> x -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

-1 -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

0 -x(x — 1) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

Не до конца понимаю, как правильно раскрыть модуль в модуле, и, соответственно, какой знак внутри модуля в который вложен другой модуль…

В этом примере проще ввести замену: , тогда получится выражение с одним модулем. В общем случае сначала раскрываем внутренний модуль, потом внешний. При раскрытии модуля необходимо указывать промежуток, на котором мы находимся. Например: . Cначала рассматриваем случай , Получаем систему: . И теперь система разбивается на совокупность двух систем: и . Так же рассматриваем второй случай, когда .

Видео:Уравнения с модулемСкачать

Обобщённое понятие модуля числа

В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.

Видео:Уравнения с модулем. Что такое модуль числа. Алгебра 7 класс.Скачать

Что такое модуль?

Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3

Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:

Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:

Где x₁ и x₂ — числа на координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.

Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:

Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:

Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3

То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:

Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:

Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x₁ до x₂ равно расстоянию от x₂ до x₁.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Раскрытие модуля

Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том, что равенство можно задавать несколькими формулами. Фигурная скобка указывает, что возможны два случая в зависимости от условия. В данном случае условиями являются записи «если x ≥ 0» и «если x .

В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.

Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x

Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.

Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:

На рисунке красные знаки минуса и плюса указывают как будет раскрываться модуль |x| на промежутках x и x ≥ 0 .

К примеру, если взять числа 1, 9 и 13 , а они принадлежат промежутку x ≥ 0, то согласно рисунку модуль |x| раскроется со знаком плюс:

А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:

Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x |√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 x ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если x > 0 , то выражение |x| будет равно x , а если x =0, то выражение |x| будет равно нулю.

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 |x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9

Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3 , откуда 2x + 3.

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Поскольку −3 ≥ −3 , то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3

Пример 3. Раскрыть модуль в выражении

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие x ≥ 0 , которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0

Перепишем решение так:

В первом случае написано условие x > 0 . Тогда выражение станет равно 1. Например, если x = 3 , то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1

И так будет при любом x , бóльшем нуля.

Во втором случае написано условие x = 0 . Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.

В третьем случае написано условие x . Тогда выражение станет равно −1 . Например, если x = −4 , то числитель станет равен 4 , а знаменатель −4 , откуда полýчится единица −1

Пример 4. Раскрыть модуль в выражении

Если x ≥ 0 , то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид , которое при любом x , бóльшем нуля, будет равно единице:

Если x , то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид

Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

Видео:Уравнение с модулемСкачать

Преобразование выражений с модулями

Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.

Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.

Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2x + 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.

Решение

Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:

Раскроем модуль в получившемся выражении. Если x ≥ 0, то получим 3x − 2x + 5y , откуда x + 5y .

Если x , то получим − 3x − 2x + 5y , откуда − 5x + 5y . Вынесем за скобки множитель − 5 , получим − 5(x − y)

В итоге имеем следующее решение:

Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|

Решение

В данном случае перед знаком модуля стоит минус. Его можно понимать как минус единицу перед знаком модуля. Если x ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид −x

Если x , то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −(−x) откуда получим просто x

Видео:Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравненииСкачать

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Видео:МодульСкачать

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Видео:Модуль числа. Практическая часть. 6 класс.Скачать

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Видео:Модуль в модуле в уравнении. Алгебра 7 класс.Скачать

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Видео:ЕГЭ 2017. Уравнение. Модуль. Раскрытие модуля. Задание 13.Скачать

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Видео:Уравнения с модулем 🫢Скачать

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Видео:УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ | метод интерваловСкачать

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

🔍 Видео

УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ. Метод интервалов для решения уравнений.Скачать

Уравнения с модулем. Часть 2 | Математика | TutorOnlineСкачать

Уравнения с модулем за 1 минуту. #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #fypСкачать

Уравнение с модулем. 7 класс. Модуль. часть 4Скачать

Модуль выражения при решении уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

Модуль в математике. Уравнения и неравенства | Математика ЕГЭ | УмскулСкачать

Метод промежутков. Уравнения с Модулем Часть 2 из 3Скачать

Решение уравнений с модулем в 6 классеСкачать