Как отделить корни уравнения аналитически (6 видео)

Аналитические методы отделения корней

Цель работы

Целью работы является изучение численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В настоящей работе рассматриваются следующие методы нахождения корней уравнения :

· — Метод деления отрезка пополам.

· — Метод касательных (Метод Ньютона).

Примеры заданий

Найти корни уравнений :

1. x 2 — 0.5 + sin(x) =0;

2. 2 * sin(x) — x 2 + 0.3 * x = 0;

3. 0.1 * sin(x) + x 3 — 1 = 0;

4. 0.1 * x 2 — x * Ln(x) = 0;

5. 0.1 * x 3 — 2 * x 2 + x — 5 = 0;

6. x 3 — 0.39 * x 2 — 10.5 * x + 11 = 0;

8. 2.5 — 3 * sin(x + Pi / 4) = 0 ;

9. abs(x) + cos(x + Pi / 8) — 2.5 = 0.

Найти минимальный положительный корень :

10. sin(x) = P — q * x, 0 0;

13. Ln(x) = P — q * x 2 , P,q > 0.

Теоретические сведения

Пусть уравнение имеет вид f(x) = 0. Функция f(x) определена в некотором конечном или бесконечном интервале a

6.3.4 Метод деления отрезка пополам

Дана функция f(x) непрерывная на отрезке a,b и удовлетворяющая условию f(a) * f(b) k .

При k ® , lim(b_k — a_k) ® 0. Следовательно, при k ® , lim a_k = lim b_k = x*, где символом обозначена бесконечность.

Процесс деления отрезка прекращается при условии, что

Противоположная граница будет неподвижной (точка d). Вычисления корня прекращаются при условии, что

Видео:Информатика 2. S01.E08. Отделение корня уравненияСкачать

Реферат на тему «Отделяем корни аналитически»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Лабораторная работа №2

Отделить корни аналитически:

F(x)=

F (0) F (2)>0 Корень находится на отрезке [0, 2]

Построим таблицу на отрезке [0, 5 ]

Из таблицы видно, что корень находится на отрезке [1, 2], т.к. F (1)=-1 F (2)=1,785>0.

Функция возрастает, т.к производная положительная

F ’( x )= >0 для всех х , значит других корней нет.

Ответ: Корень находится на отрезке [1, 2].

2. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб:

Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

F ’( x )=4 x -1=0 x = =0,63; F (0)=-1 F (0,63)=-1,47;

При х , F ( x )

На отрезке [- , 0,63] F ’( x ) F ( x ) убывает от до -1,47, а на отрезке [0,63, ] возрастает от -1,47 до . Таким образом F ( x ) пересекает ось ОХ два раза. Уточним, где это происходит, построив таблицу:

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Как отделить корни уравнения аналитически

1. Приближенное решение нелинейных уравнений

Пусть дано уравнение с одним неизвестным

, (1.1)

где f ( x ) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.

Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная , логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения х , которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

В общем случае не существует формул, по которым определяются точные значения корней уравнения (1.1). Для отыскания корней используют приближенные методы, при этом корни находятся с некоторой заданной точностью ε . Это означает, что если x — точное значение корня уравнения, а x ’ — его приближенное значение с точностью ε , то | x — x ’ | ≤ ε . Если корень найден с точностью ε , то принято писать x = x ± ε .

Будем предполагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f ( x ), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).

2. Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.

Для того , чтобы графически отделить корни уравнения (1.1), строят график функции y = f ( x ). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox есть действительные корни уравнения (рис. 1). Практически бывает удобнее заменить уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

, (1.2)

где Φ( x ) и Ψ( x ) — более простые функции, чем f ( x ). Абсциссы точек пересечения графиков функций y = Φ( x ) и y = Ψ( x ) дают корни уравнения (1.2), а значит и исходного уравнения (1.1) (рис.2).

Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме: если непрерывная на отрезке [ a , b ] функция y = f ( x ) принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f ( a )· f ( b ) f ( x ) = 0; если при этом производная f ’ ( x ) сохраняет знак внутри отрезка [ a , b ], то корень является единственным.

Уточнение корней заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Рассмотрим самый простой из них — метод половинного деления.

Пусть корень отделён и принадлежит отрезку [ a , b ]. Находим середину отрезка [ a , b ] по формуле

Если f ( c ) = 0, то с — искомый корень. Если f ( c ) ≠ 0, то в качестве нового отрезка изоляции корня [ a ₁ , b ₁ ] выбираем ту половину [ a , c ] или [ c , b ], на концах которой f ( x ) принимает значения разных знаков. Другими словами, если f ( a ) ∙ f ( c ) a , c ], если f ( a ) ∙ f ( c ) — отрезку [ c , b ]. Полученный отрезок снова делим пополам, находим c₁ ,

вычисляем f ( c ₁ ), выбираем отрезок [ a ₂ , b ₂ ] и т.д. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего, то есть за n шагов отрезок сократится в 2 n раз. Как только будет выполнено условие