Цель работы
Целью работы является изучение численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В настоящей работе рассматриваются следующие методы нахождения корней уравнения :
· — Метод деления отрезка пополам.
· — Метод касательных (Метод Ньютона).
Примеры заданий
Найти корни уравнений :
1. x 2 — 0.5 + sin(x) =0;
2. 2 * sin(x) — x 2 + 0.3 * x = 0;
3. 0.1 * sin(x) + x 3 — 1 = 0;
4. 0.1 * x 2 — x * Ln(x) = 0;
5. 0.1 * x 3 — 2 * x 2 + x — 5 = 0;
6. x 3 — 0.39 * x 2 — 10.5 * x + 11 = 0;
8. 2.5 — 3 * sin(x + Pi / 4) = 0 ;
9. abs(x) + cos(x + Pi / 8) — 2.5 = 0.
Найти минимальный положительный корень :
10. sin(x) = P — q * x, 0 0;
13. Ln(x) = P — q * x 2 , P,q > 0.
Теоретические сведения
Пусть уравнение имеет вид f(x) = 0. Функция f(x) определена в некотором конечном или бесконечном интервале a
6.3.4 Метод деления отрезка пополам
Дана функция f(x) непрерывная на отрезке a,b и удовлетворяющая условию f(a) * f(b) k .
При k ® , lim(bk — ak) ® 0. Следовательно, при k ®
, lim ak = lim bk = x*, где символом
обозначена бесконечность.
Процесс деления отрезка прекращается при условии, что
Противоположная граница будет неподвижной (точка d). Вычисления корня прекращаются при условии, что
Видео:Информатика 2. S01.E08. Отделение корня уравненияСкачать
Реферат на тему «Отделяем корни аналитически»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Лабораторная работа №2
Отделить корни аналитически:
F(x)=
F (0) F (2)>0 Корень находится на отрезке [0, 2]
Построим таблицу на отрезке [0, 5 ]
Из таблицы видно, что корень находится на отрезке [1, 2], т.к. F (1)=-1 F (2)=1,785>0.
Функция возрастает, т.к производная положительная
F ’( x )= >0 для всех х
, значит других корней нет.
Ответ: Корень находится на отрезке [1, 2].
2. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб:
Найдем промежутки возрастания и убывания функции.
F ’( x )=4 x -1=0
x =
=0,63; F (0)=-1 F (0,63)=-1,47;
При х , F ( x )
На отрезке [- , 0,63] F ’( x ) F ( x ) убывает от
до -1,47, а на отрезке [0,63,
] возрастает от -1,47 до
. Таким образом F ( x ) пересекает ось ОХ два раза. Уточним, где это происходит, построив таблицу:
Видео:Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать
Как отделить корни уравнения аналитически
1. Приближенное решение нелинейных уравнений
Пусть дано уравнение с одним неизвестным
, (1.1)
где f ( x ) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.
Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная , логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения х , которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.
В общем случае не существует формул, по которым определяются точные значения корней уравнения (1.1). Для отыскания корней используют приближенные методы, при этом корни находятся с некоторой заданной точностью ε . Это означает, что если x — точное значение корня уравнения, а x ’ — его приближенное значение с точностью ε , то | x — x ’ | ≤ ε . Если корень найден с точностью ε , то принято писать x = x ± ε .
Будем предполагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f ( x ), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
2. Уточнение корней до заданной точности.
Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того , чтобы графически отделить корни уравнения (1.1), строят график функции y = f ( x ). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox есть действительные корни уравнения (рис. 1). Практически бывает удобнее заменить уравнение (1.1) равносильным ему уравнением
, (1.2)
где Φ( x ) и Ψ( x ) — более простые функции, чем f ( x ). Абсциссы точек пересечения графиков функций y = Φ( x ) и y = Ψ( x ) дают корни уравнения (1.2), а значит и исходного уравнения (1.1) (рис.2).
Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме: если непрерывная на отрезке [ a , b ] функция y = f ( x ) принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f ( a )· f ( b ) f ( x ) = 0; если при этом производная f ’ ( x ) сохраняет знак внутри отрезка [ a , b ], то корень является единственным.
Уточнение корней заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Рассмотрим самый простой из них — метод половинного деления.
Пусть корень отделён и принадлежит отрезку [ a , b ]. Находим середину отрезка [ a , b ] по формуле
Если f ( c ) = 0, то с — искомый корень. Если f ( c ) ≠ 0, то в качестве нового отрезка изоляции корня [ a 1 , b 1 ] выбираем ту половину [ a , c ] или [ c , b ], на концах которой f ( x ) принимает значения разных знаков. Другими словами, если f ( a ) ∙ f ( c ) a , c ], если f ( a ) ∙ f ( c ) — отрезку [ c , b ]. Полученный отрезок снова делим пополам, находим c1 ,
вычисляем f ( c 1 ), выбираем отрезок [ a 2 , b 2 ] и т.д. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего, то есть за n шагов отрезок сократится в 2 n раз. Как только будет выполнено условие
то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью ε , можно взять
Пример . Пусть требуется решить уравнение
с точностью ε = 0,0001. Отделим корень графически. Для этого преобразуем уравнение к виду
и построим графики функций (рис. 4):
Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку [0; 1].
Подтвердим аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня. Для отрезка [0; 1] имеем:
. Следовательно, корень отделён правильно.
Уточнение корня выполним методом половинного деления.
Корень принадлежит отрезку
Корень принадлежит отрезку
Корень принадлежит отрезку
🎥 Видео
Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать
Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать
7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать
Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать
Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать
Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Отбор корней по окружностиСкачать
Метод половинного деления. ДихотомияСкачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Метод Ньютона - отделение корнейСкачать
Числовое решение. Функция root в MathCAD 14 (28/34)Скачать
Метод хордСкачать
Консультация по решению задач по аналитической геометрии 2019-2020Скачать
5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать