В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Видео:Алгебра 7 Линейное уравнение с одной переменнойСкачать
Что такое линейное уравнение
Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a · x = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа.
Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Примерами линейных уравнений будут:
3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );
− 3 , 1 · y = 0 (линейное уравнение с переменной y, где а = — 3 , 1 и b = 0 );
x = − 4 и − x = 5 , 37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и — 1 соответственно. Для первого уравнения b = — 4 ; для второго — b = 5 , 37 ) и т.п.
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.
А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a · x + b = 0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
3 · x − 7 = 0 ( a = 3 , b = − 7 ) ;
1 , 8 · y + 7 , 9 = 0 ( a = 1 , 8 , b = 7 , 9 ) .
Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a · x = b , например, 6 · x = 35 .
Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a · x + b = 0 , где x – переменная; a , b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a · x + b = 0 , определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.
При таком подходе уравнение 5 · x + 8 = 0 – линейное, а 5 · x = − 8 — уравнение, сводящееся к линейному.
Видео:Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать
Принцип решения линейных уравнений
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b . Запишем эти условия:
- при a ≠ 0 линейное уравнение имеет единственный корень x = — b a ;
- при a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение не имеет корней;
- при a = 0 и b = 0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
- перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
- умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
Таким образом, преобразуем линейное уравнение a · x + b = 0 , перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a · x = − b .
Далее мы разделим обе части равенства на число а , при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда а = 0 , рассмотрим позже.
Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x = — b a . Т.е., когда a ≠ 0 , исходное уравнение a · x + b = 0 равносильно равенству x = — b a , в котором очевиден корень — b a .
Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня — b a как x 1 . Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x 2 . И конечно: x 2 ≠ x 1 , а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x 1 − x 2 ≠ 0 . С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a · x 1 + b = 0 и a · x 2 + b = 0 .
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:
a · x 1 + b − ( a · x 2 + b ) = 0 − 0 , отсюда: a · ( x 1 − x 2 ) + ( b − b ) = 0 и далее a · ( x 1 − x 2 ) = 0 . Равенство a · ( x 1 − x 2 ) = 0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a ≠ 0 и x 1 − x 2 ≠ 0 . Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 имеет лишь один корень.
Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a = 0 .
Когда a = 0 линейное уравнение a · x + b = 0 запишется как 0 · x + b = 0 . Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство 0 · x + b = 0 , получим b = 0 . Равенство справедливо при b = 0 ; в прочих случаях, когда b ≠ 0 , равенство становится неверным.
Таким образом, когда a = 0 и b = 0 , любое число может стать корнем линейного уравнения a · x + b = 0 , поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0 = 0 . Когда же a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b = 0 .
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
- по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
- при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
- при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
- при a , отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:
- перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a · x = − b ;
- обе части полученного равенства делим на число a , что даст нам искомый корень заданного уравнения: x = — b a .
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Напоследок уточним, что уравнения вида a · x = b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a ≠ 0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a .
Таким образом, чтобы найти решение уравнения a · x = b , используем такой алгоритм:
- при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
- при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
- при a , не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a , что дает возможность найти единственный корень, который равен b a .
Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать
Примеры решения линейных уравнений
Необходимо решить линейное уравнение 0 · x − 0 = 0 .
Решение
По записи заданного уравнения мы видим, что a = 0 и b = − 0 (или b = 0 , что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.
Ответ: x – любое число.
Видео:7 класс, 4 урок, Линейное уравнение с одной переменнойСкачать
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Видео:Линейное уравнение с одной переменнойСкачать
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:
если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;
если а = 0 — уравнение корней не имеет;
если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12
- Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
-4x = 12 | : (-4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Видео:Линейное уравнение с одной переменнойСкачать
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
Видео:Линейное уравнение. Что это?Скачать
Линейные уравнения
Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Примеры линейных уравнений:
- 3 x = 2
- 2 7 x = − 5
Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.
Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .
Примеры решения линейных уравнений:
- 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
Для начала раскроем скобки:
2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:
Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
x 2 + 3 x − 8 = x − 1
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (встречаются редко, но знать их полезно).
- 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 2 x = − 4 + 4
И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 16
2 x − 2 x = − 16 + 4
В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.
Видео:Линейное уравнение с одной переменной | Алгебра 7 класс #17 | ИнфоурокСкачать
Задания для самостоятельного решения
№1. Найдите корни уравнения 2 − 3 ( 2 x + 2 ) = 5 − 4 x .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
2 − 3 ( 2 x + 2 ) = 5 − 4 x
2 − 6 x − 6 = 5 − 4 x
Переносим иксы влево, числа вправо:
− 6 x + 4 x = 5 + 6 − 2
x = 9 − 2 = − 9 2 = − 4,5
№2. При каком значении x значения выражений 7 x − 2 и 3 x + 6 равны?
Решение:
Приравниваем эти два выражения:
№3. Решите уравнение ( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти все корни данного уравнения, надо приравнять каждый множитель к нулю и оба корня взять в ответ.
( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0 ⇔ [ − 5 x + 3 = 0 − x + 6 = 0 ⇒ [ − 5 x = − 3 ; − x = − 6 ; ⇒ [ x = − 3 − 5 = 3 5 = 0,6 x = − 6 − 1 = 6 1 = 6
В задании указано, что в ответ надо записать корни в порядке возрастания 0,6 6.
№4. Решите уравнение ( x − 4 ) 2 + ( x + 9 ) 2 = 2 x 2 .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Раскроем квадраты, используя ФСУ (формулы сокращенного умножения):
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 4 + 4 2 + x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9 2 − 2 x 2 = 0
Замечаем, что x 2 сокращается:
x 2 − 8 x + 4 2 + x 2 + 18 x + 9 2 − 2 x 2 = 0
− 8 x + 18 x + 16 + 81 = 0
№5. Решите уравнение ( x + 10 ) 2 = ( 5 − x ) 2 .
Решение:
Раскроем скобки, используя ФСУ.
( x + 10 ) 2 = ( 5 − x ) 2
x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 10 + 10 2 = 5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ x + x 2
x 2 + 20 x + 100 = 25 − 10 x + x 2
x 2 + 20 x + 100 − x 2 + 10 x − 25 = 0
№6. Решите уравнение x − 11 = x + 7 7 .
Решение:
Домножим левую и правую часть уравнение на 7 . Получим:
📽️ Видео
Линейное уравнение с одной переменной - как решать?Скачать
Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать
Линейное уравнение с одной переменной. Практическая часть. 6 класс.Скачать
Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения с одной переменной.Скачать
АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Видеоурок | АЛГЕБРА 7 классСкачать
Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать
Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать
Линейные уравнения с одной переменной . Алгебра . 7 класс .Скачать
