Как определить квадратное уравнение или линейное

Разница между линейным уравнением и квадратным уравнением — Наука

Видео:Как решать линейные и квадратные уравненияСкачать

Содержание:

Линейное уравнение против квадратного уравнения

В математике алгебраические уравнения — это уравнения, которые составлены с использованием полиномов. В явном виде уравнения будут иметь вид P (Икс) = 0, где Икс вектор из n неизвестных переменных, а P — многочлен. Например, P (x, y) = x 4 + y 3 + х 2 y + 5 = 0 — алгебраическое уравнение двух переменных, записанное явно. Также (x + y) 3 = 3x 2 у — 3zy 4 является алгебраическим уравнением, но в неявной форме. Он будет иметь вид Q (x, y, z) = x 3 + y 3 + 3xy 2 + 3zy 4 = 0, когда-то написано явно.

Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наивысшая степень членов уравнения. Если терм состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет считаться мощностью члена. Заметим, что согласно этому определению P (x, y) = 0 имеет степень 4, а Q (x, y, z) = 0 — степень 5.

Линейные уравнения и квадратные уравнения — это два разных типа алгебраических уравнений. Степень уравнения — это фактор, который отличает их от остальных алгебраических уравнений.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5 = 0 — это линейное уравнение одной переменной. x + y + 5z = 0 и 4x = 3w + 5y + 7z — линейные уравнения с 3 и 4 переменными соответственно. В общем случае линейное уравнение от n переменных будет иметь вид m₁Икс₁ + м₂Икс₂ +… + М_п-1Икс_п-1 + м_пИкс_п = б. Здесь x_яS — неизвестные переменные, m_яS и b — действительные числа, где каждое из m_я не равно нулю.

Такое уравнение представляет собой гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет собой плоскость в трехмерном евклидовом пространстве.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени. Икс 2 + 3x + 2 = 0 — квадратное уравнение с одной переменной. Икс 2 + y 2 + 3x = 4 и 4x 2 + y 2 + 2z 2 + x + y + z = 4 — примеры квадратных уравнений от 2-х и 3-х переменных соответственно.

В случае одной переменной квадратное уравнение в общем виде имеет вид ax 2 + bx + c = 0. Где a, b, c — действительные числа, из которых «a» не равно нулю. Дискриминант ∆ = (b 2 — 4ac) определяет характер корней квадратного уравнения. Корни уравнения будут действительно различными, действительно похожими и сложными, в зависимости от того, является ли ∆ положительным, нулевым и отрицательным. Корни уравнения легко найти по формуле x = (- b ± √∆) / 2a.

В случае двух переменных общая форма будет иметь вид ax 2 + по 2 + cxy + dx + ex + f = 0, и это представляет собой конику (параболу, гиперболу или эллипс) в декартовой плоскости. В более высоких измерениях этот тип уравнений представляет собой гиперповерхности, известные как квадрики.

В чем разница между линейными и квадратными уравнениями?

• Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1, тогда как квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 2.

• В n-мерном евклидовом пространстве пространство решений линейного уравнения с n переменными является гиперплоскостью, а пространство решений квадратного уравнения с n переменными — квадратичной поверхностью.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ru.mosg-portal.com

Различия между квадратичными и линейными уравнениями — Наука

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Содержание:

Линейное уравнение с двумя переменными не включает в себя какую-либо степень выше единицы для любой переменной. Имеет общий вид секира + По + С = 0, где А, В а также С являются постоянными. Можно упростить это до Y = тх + б, где м = ( − / В) а также б это значение Y когда Икс = 0. Квадратичное уравнение, с другой стороны, включает в себя одну из переменных, возведенных во вторую степень. Имеет общий вид Y = топор 2 + Ьх + с, Помимо дополнительной сложности решения квадратного уравнения по сравнению с линейным, два уравнения создают графики различных типов.

Видео:МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

TL; DR (слишком долго; не читал)

Линейные функции взаимно однозначны, а квадратичные — нет. Линейная функция создает прямую линию, а квадратичная функция — параболу. График линейной функции прост, а график квадратичной функции — более сложный, многоэтапный процесс.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Характеристики линейных и квадратичных уравнений

Линейное уравнение создает прямую линию при построении графика. Каждое значение Икс производит одно и только одно значение YТаким образом, отношения между ними называются взаимно-однозначными. Когда вы строите квадратное уравнение, вы создаете параболу, которая начинается в одной точке, называемой вершиной, и продолжается вверх или вниз в Y направление. Отношение между Икс а также Y не один к одному, потому что для любого данного значения Y кроме Yзначение вершины, есть два значения для Икс.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Решение и построение графиков линейных уравнений

Линейные уравнения в стандартном виде (секира + По + С = 0) легко конвертировать в форму пересечения склона (Y = тх +б), и в этой форме вы можете сразу определить наклон линии, которая ми точка, в которой линия пересекает Y-ось. Вы можете легко составить график уравнения, потому что все, что вам нужно, это две точки. Например, предположим, у вас есть линейное уравнение Y = 12_x_ + 5. Выберите два значения для Иксскажем 1 и 4, и вы сразу получите значения 17 и 53 для Y, Постройте две точки (1, 17) и (4, 53), проведите линию через них, и все готово.

Видео:Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Решение и построение графиков квадратичных уравнений

Вы не можете решить и построить квадратное уравнение так же просто. Вы можете определить несколько общих характеристик параболы, посмотрев на уравнение. Например, знак перед Икс 2 термин говорит вам, открывается ли парабола вверх (положительно) или вниз (отрицательно). Кроме того, коэффициент Икс 2 термин говорит вам, насколько широкая или узкая парабола — большие коэффициенты обозначают более широкие параболы.

Вы можете найти Икс-перехватывает параболу, решая уравнение для Y = 0 :

и используя квадратную формулу

Вы можете найти вершину квадратного уравнения в виде Y = топор 2 + Ьх + с используя формулу, полученную путем заполнения квадрата, чтобы преобразовать уравнение в другую форму. Эта формула —б/ 2_a_. Это дает вам Иксзначение перехвата, который вы можете вставить в уравнение, чтобы найти Y-стоимость.

Зная вершину, направление, в котором открывается парабола, и Икс— точки пересечения дают вам достаточно представления о внешнем виде параболы, чтобы нарисовать ее.

Видео:Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Видео:Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

📹 Видео

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

ОГЭ математика. Задача 9. Решаем квадратное уравнение методом разложения на множителиСкачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать