Как определить кратность корня уравнения

Кратные корни многочленов

Пусть p(x) – многочлен степени n , а q(x) – многочлен степени n – k , где n и k – натуральные числа, удовлетворяющие неравенству Как определить кратность корня уравнения.

Определение . Число α называют корнем кратности k многочлена p(x) , если справедливо равенство

p(x) = (x – α) k q (x) ,(1)

Как определить кратность корня уравнения

Утверждение 1 . Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда оно является корнем производной этого многочлена кратности k – 1 .

Доказательство . Взяв производную от обеих частей формулы (1), получаем

Как определить кратность корня уравнения

Как определить кратность корня уравнения

Поскольку выражение, стоящее в квадратных скобках, при x = α не обращается в нуль, то утверждение 1 доказано.

Из утверждения 1 вытекает следующее

Утверждение 2 . Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда выполнены равенства:

Как определить кратность корня уравнения

Как определить кратность корня уравнения

Задача . Найти все значения параметра m , при которых многочлен

имеет корень кратности 2 .

Решение . Воспользовавшись утверждением 2, получаем

Видео:кратные корниСкачать

кратные корни

Кратные корни многочлена

При рассмотрении вопроса о корнях многочлена, особо выделяют понятие кратных корней.

Определение. Пусть задан многочлен $fleft(xright) in Pleft[xright]$ ($Pleft[xright]$ — множество всех многочленов от буквы $x$ над полем $P$) и $alpha$, где $alpha$ — корень многочлена $fleft(xright)$. Элемент $alpha$ назовем $k$-кратным ($k in mathbb $, $k>1$) корнем многочлена, если имеет место следующее представление: $$fleft(xright)=left(x-alpharight)^k f_left(xright),, f_left(alpharight) ne 0.$$

Принято рассматривать понятие кратного корня для $k>1$. Если же $fleft(xright)$ можно представить следующим образом: $$fleft(xright)=left(x-alpharight) f_left(xright),, f_left(alpharight) ne 0,$$ то $alpha$ называется простым (однократным) корнем многочлена$fleft(xright)$. Если для $fleft(xright)$ имеет место следующее равенство: $$fleft(xright)=left(x-alpharight)^2 f_left(xright),, f_left(alpharight) ne 0,$$ то $alpha$ называется двукратным корнем многочлена $fleft(xright)$. Аналогично, существуют корни трехкратные, четырехкратные и так далее.

Часто условие $f_left(alpharight) ne 0$ заменяют на $f_left(xright),barvdots,(x-alpha)$. Эквивалентность этих условий вытекает из следствий теоремы Безу. Тогда, набор условий, что $f(x),vdots,left(x-alpharight)^k$, но $f(x),barvdots,left(x-alpharight)^$ эквивалентен тому, что $alpha$ — $k$-кратный корень многочлена $f(x)$.

Видео:ЛЕКЦИЯ 4.3: Математическое отступление: понятие кратности корня многочленаСкачать

ЛЕКЦИЯ 4.3: Математическое отступление: понятие кратности корня многочлена

Процесс нахождения кратности корня

Пусть задан многочлен $fleft(xright) in Pleft[xright]$ и его корень $alpha$ ( $deg fleft(xright) > 0$). Рассмотрим задачу о нахождении кратности корня $alpha$.

Так как $alpha$ — корень $fleft(xright)$, то имеет место следующее представление: $$fleft(xright)=left(x-alpharight)f_left(xright).$$ Тогда, если $alpha$ не является корнем $f_left(xright)$ ($f_left(alpharight) ne 0$), то, по определению, $alpha$ — простой корень многочлена $fleft(xright)$. В противном случае, $alpha$ — $k$-кратный ($k in mathbb $, $k > 1 $) корень $fleft(xright)$. Задача сводится к нахождению $k-1$, то есть к нахождению кратности корня $f_left(xright)$, где $deg f_left(xright) = deg fleft(xright) — 1$. Учитывая, что $deg fleft(xright) > 0$, то повторение такого алгоритма решает задачу. Для этого используется алгоритм Горнера.

Стоит упомянуть, что иногда удобней пользоваться критерием кратности корня.

Видео:Схема Горнера. 10 класс.Скачать

Схема Горнера. 10 класс.

Примеры решения задач

  1. Пусть задан многочлен $fleft(xright)=x^3-3x^2+4$. Определить, является ли $2$ корнем многочлена $f(x)$. В случае положительного ответа найти его кратность.

Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера. Стоит обратить внимание на то, что хоть и слагаемое вида $a_x^1$ отсутствует в записи, но нулевой коэффициент необходимо не забыть занести в таблицу.

$1$$-3$$0$$4$
$2$$1$$-1$$-2$$0$
$2$$1$$1$$0$
$2$$1$$3$

Из таблицы видно, что многочлен $f(x)$ поделился на $left(x-2right)^2$ без остатка, а на $left(x-2right)^3$ — нет. Получаем, что $2$ — двукратный корень многочлена $f(x)$.

Так как $alpha$ — двукратный корень многочлена $f(x)$, то $f(x)$ представим в следующем виде: $$fleft(xright)=left(x-alpharight)^2 f_left(xright),$$где $f_(alpha) ne 0$. Аналогично, $g(x)$ можно представить следующим образом: $$gleft(xright)=left(x-alpharight) g_left(xright),$$где $g_(alpha) ne 0$. Тогда, $$f(x)g(x)=left(x-alpharight)^2f_(x)(x-alpha)g_(x)=left(x-alpharight)^3f_(x)g_(x).$$Так как $f_(alpha) ne 0$ и $g_(alpha) ne 0$, то $f_(alpha)g_(alpha)ne0$. Обозначим $f(x)g(x)=h(x)$, $f_(x)g_(x)=h_(x)$, тогда перепишем выражение многочлена $f(x)g(x)$ следующим образом: $$h(x)=left(x-alpharight)^3h_(x),$$ где $h_(alpha)ne0$. Тогда по определению $alpha$ — корень $f(x)g(x)$ третьей кратности.

Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера.

$1$$5$$10$$10$$5$$1$
$-1$$1$$4$$6$$4$$1$$0$
$-1$$1$$3$$3$$1$$0$
$-1$$1$$2$$1$$0$
$-1$$1$$1$$0$
$-1$$1$$0$

Из таблицы видно, что многочлен пятой степени $f(x)$ поделился на $left(x+1right)^5$ без остатка. Получаем, что $-1$ — корень пятой кратности.

По определению, для того, что бы $2$ была корнем второй кратности, необходимо что бы имело место следующее представление: $$f(x)=left(x-2right)^2f_(x),, f_(2) ne 0.$$С другой стороны, в нашем случае: $$f_(x)=x^2+x-6=(x-2)(x+3),, f_(2)=0.$$ Получаем, что $2$ не корень второй кратности. Тогда найдем его кратность. Выразим $f(x)$ подставив $f_(x)=(x-2)(x+3)$:$$f(x)=left(x-2right)^3(x+3)=left(x-2right)^3f_(x),$$ $f_(2)=(2+3)=5ne0$. Значит, по определению, $2$ — корень многочлена $f(x)$ третьей кратности.

Представим исходный многочлен следующим образом: $$f(x)=x^4(x^4-8x^3+10x^2-1).$$
Обозначим $f_(x)=x^4-8x^3+10x^2-1$. Легко убедиться, что $f_(0)=-1ne0$. Получаем, что, по определению кратного корня, $0$ — корень многочлена $f(x)$ четвертой кратности.

Видео:Теорема Безу и разложение многочлена на множителиСкачать

Теорема Безу и разложение многочлена на множители

научная статья по теме ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОСТИ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Математика

Как определить кратность корня уравнения

Цена:

Авторы работы:

Научный журнал:

Год выхода:

Видео:СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯ

Текст научной статьи на тему «ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОСТИ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2008, том 48, 2) — линейно. По скорости сходимости можно определить кратность корня.

Очевидно, что (р — 1)/р = A. + 1/Ai + O(As). Величины As, As + 1 нам не известны, поскольку в них входит неизвестное значение x*. Однако нетрудно показать, что таким же (с точностью до малых величин) будет отношение (xs + 1 — xs)/(xs — xs _ 1). Удобно ввести знаменатель линейной сходимости по формуле

🔍 Видео

Рациональные корни многочлена с целым показателем. 10 класс.Скачать

Рациональные корни многочлена с целым показателем. 10 класс.

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

Математика без Ху!ни. Деление многочлена на многочлен.Скачать

Математика без Ху!ни. Деление многочлена на многочлен.

Жесть на ЕГЭ #3 КОРЕНЬ ЧЁТНОЙ КРАТНОСТИ | КВАДРАТИК?Скачать

Жесть на ЕГЭ #3 КОРЕНЬ ЧЁТНОЙ КРАТНОСТИ | КВАДРАТИК?

Теорема Безу, схема Горнера и корни многочленаСкачать

Теорема Безу, схема Горнера и корни многочлена

О кратности корней в методе интерваловСкачать

О кратности корней в методе интервалов

Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравненияСкачать

Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравнения

4 Кратные корни. Теорема Безу. Наибольший общий делитель многочлена и его производнойСкачать

4 Кратные корни. Теорема Безу. Наибольший общий делитель многочлена и его производной

🔴 Найдите корень уравнения 2+9x=4x+3 | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 7 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Найдите корень уравнения 2+9x=4x+3 | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 7 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Число корней уравнения в кольце. Теорема РушеСкачать

Число корней уравнения в кольце. Теорема Руше

Кратность корня - как она выглядит на графике?Скачать

Кратность корня - как она выглядит на графике?

§49.2 Корни многочленаСкачать

§49.2 Корни многочлена

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 5. Найдите корень уравненияСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 5. Найдите корень уравнения

ЧТО ТАКОЕ КОРЕНЬ В N- СТЕПЕНИ? Пригодится для ЕГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #корни #mathСкачать

ЧТО ТАКОЕ КОРЕНЬ В N- СТЕПЕНИ? Пригодится для ЕГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #корни #math

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.
Поделиться или сохранить к себе: