Как определить аргумент в уравнении

Функция, аргумент, значение функции

В стилистике учебников и пособий по математике определения понятий: «функция, аргумент функции, значение функции» звучат примерно так:

Функция — это зависимость значения одной переменной, как правило обозначаемой литерой у, от значения второй переменной, как правило обозначаемой литерой х, если каждому возможному значению переменной х соответствует только одно значение у.

Переменная х — это аргумент функции, независимая переменная.

Переменная у — зависимая переменная, так как ее значение зависит от значения переменной х.

Значение функции — это значение переменной у при заданном значении переменной х.

В общем виде функция записывается так:

у = f(x) (538.1)

Вот собственно и все, что следует знать о функциях, аргументе и значении функции. Однако — знать, не означает — понимать. А как это может понимать ученик 6 класса, который еще обычные уравнения решает с трудом. я даже и не знаю, поэтому попробовал к строгим и выверенным несколькими поколениями редакторов определениям функции, аргумента, значения функции и т.п. добавить немного наглядности, да и вообще объяснить, зачем это в жизни может пригодиться.

Конечно же язык математики невероятно прост и универсален, пример тому — выше приведенное уравнение (538.1), прочитать которое сможет любой грамотный гражданин нашей планеты вне зависимости от того, на каком языке он разговаривает. А вот что означает данное уравнение, мы сейчас и попробуем выяснить.

Начнем с элементарного:

Неизвестная величина

Как правило жизнь ставит перед нами не очень сложные задачи и решаем мы их с легкостью. Например: если один пирожок стоит 3 рубля, а мы хотим купить 2 пирожка, то сколько для этого нам потребуется денег?

Ответ на первый взгляд очевиден и вроде бы никакого особого решения не требует: 6 рублей. Но давайте подойдем к этой ситуации с точки зрения математики и запишем соответствующие уравнения сначала с необходимыми пояснениями в скобках:

х (требуемое количество денег) = 2 (пирожка) · 3 (рубля/пирожок) (538.2.1)

х (требуемое количество денег) = 6 (рублей) (538.2.2)

При умножении пирожки сокращаются и остаются только рубли. Если использовать чистую математическую запись, т.е. без пояснения в скобках, то это будет выглядеть так:

х = 2 · 3 (538.3.1)

х = 6 (538.3.2)

В данном случае неизвестное изначально количество денег, необходимых для покупки 2 пирожков — это и есть та самая неизвестная величина х, которую нам нужно определить.

Как правило в начальных классах школы на этом даже акцент не делается, детям просто предлагаются к решению задачи по определению неизвестной величины в виде:

5 + 2, определите сумму (538.4.1)

9 : 3, определите частное (538.4.2)

Но на мой взгляд это не правильно. Детей, начиная с начальных классов, следует готовить к определению неизвестной величины и в подобных случаях формулировка задания должна выглядеть примерно так:

5 + 2 = х или х = 5 + 2 — сделайте неизвестную величину х известной (538.4.1.2)

9 : 3 = х или х = 9 : 3 — определите неизвестную величину х (538.4.2.2)

Постоянная неизвестная величина

В приведенных выше уравнениях (538.3 и 4) неизвестная величина х может иметь только одно значение. Поэтому такая величина называется постоянной (хотя варианты обсчета продавцом не исключены, но к теме данной статьи это никак не относится).

При этом уравнений, при решении которых требуется определить эту самую постоянную неизвестную величину, может быть бесконечное количество. Вот только на решение этих самых уравнений это никак не влияет.

Если в уравнении, каким бы сложным оно ни было, есть только одна неизвестная величина, то такая величина является постоянной.

Вообще-то постоянные неизвестные величины более правильно обозначать литерами а, b, c и др. Впрочем в уравнениях с одной неизвестной, а потому постоянной величиной это большого значения не имеет и неизвестная величина часто обозначается литерой х.

Переменные неизвестные величины

Иногда жизнь ставит перед нами более сложные задачи. Например, мы по-прежнему хотим купить 2 пирожка, но еще не определились с выбором, так как пирожков с различной начинкой на рынке много и цена у них разная, от 3 до 30 рублей, а денег в кармане мало.

В этом случае с точки зрения математики разная цена пирожков становится переменной величиной х, а требуемая сумма денег для покупки пирожков — переменной величиной у, зависящей от значения переменной х. Языком математики эту зависимость можно выразить так:

у = 2 · х (538.5)

Т.е если один пирожок стоит 3 рубля, то нам для приобретения 2 пирожков потребуется как и прежде 6 рублей, а если мы хотим купить 2 пирожка, стоящих по 30 рублей каждый, то нам потребуется уже 60 рублей. Это конечно еще не высшая математика, но очень близко к тому.

В данном случае переменная х — возможная цена пирожка — это аргумент функции (или аргумент продавца, расхваливающего различные начинки пирожков). От нашего желания купить пирожков побольше и подешевле цена никак не зависит, поэтому переменная х является независимой переменной. А вот переменная у — необходимое количество денег, которое мы готовы потратить на покупку 2 пирожков, зависит и от нашего желания сэкономить и от значения переменной х.

Часто переменные величины называются просто переменными, а уравнения с двумя переменными — функциональными уравнениями.

Область определения функции

Как правило простые уравнения с одной неизвестной постоянной величиной вида (538.4.1.2) имеют только одно решение. В уравнениях с двумя неизвестными вида (538.5) решений может быть столько, сколько существует возможных значений переменной х. Т.е. если на рынке есть пирожки с 10 различными ценами, то нам, чтобы определить все возможные значения у, нужно решить уравнение (538.5) 10 раз, а если пирожки со 100 различными ценами, то 100 раз.

А все это ценовое разнообразие от 3 до 30 рублей и будет областью определения функции

Примечание: Вообще в данном случае возможно еще большее ценовое разнообразие, если цена пирожков будет изменяться с шагом в 1 копейку.

При этом минимальная цена — 3 рубля за пирожок — будет нижним пределом функции, а максимальная — 30 рублей за пирожок — верхним пределом функции.

Функция

Даже такие относительно простые уравнения как (538.5), решать 100 раз очень долго. А ведь уравнения бывают гораздо более сложными, а область определения практически бесконечной.

Для таких случаев и придумано понятие функции. Т.е. функция — это не только обозначение связи между неизвестными переменными, но еще и как бы обозначение действий, которые необходимо совершить для определения значения функции. Возможно поэтому и выбрано название «функция», от латинского functio — исполнение, совершение, осуществление.

При этом математическая запись следующего вида:

у = f(x) = x · 2 (538.5.2)

означает, что у является функцией аргумента х, а для определения значения функции — переменной у — достаточно значение аргумента функции — независимой переменной х — умножить на 2.

График функции

А еще это означает, что решать уравнение для всех возможных значений х нет необходимости. Для функции можно построить график, т.е. отобразить зависимость у от х визуально. Для этого используется плоская система координат с осями х и у. Соответственно по оси х откладывается значение переменной х, а по оси у значение переменной у, определенной для этого значения х.

В простых случаях, т.е. когда между переменными существует линейная зависимость, для построения графика достаточно знать координаты 2 точек. Например для функции f(x) = 2х в пределах от 0 до 4 график будет выглядеть так:

Рисунок 538.1. График функции f(x) = 2x.

Сначала мы определяем значения функции для нижнего (х = 0) и верхнего (х = 4) пределов: f(0) = 2·0 = 0, f(4) = 2·4 = 8. Эти результаты и будут координатами точек (показаны на рисунке 538.1 красным цветом), через которые проходит график функции. Прямая, соединяющая эти точки (показана на рисунке 538.1 синим цветом) — это и есть график рассматриваемой функции.

Таким образом, для всех промежуточных значений х, а это могут быть не только натуральные (т.е. целые) числа, мы можем определять значения у по графику. Для этого достаточно провести вертикальную линию из точки, обозначающей значение х, до графика (показан на рисунке 538.1 синей линией), а затем провести горизонтальную линию из точки пересечения вертикальной линии и графика. Пересечение горизонтальной линии с осью у покажет значение переменной у для соответствующего значения х. На рисунке 538.1 подобные действия не показаны, чтобы не усложнять график.

Более того, понятие функции применимо и к простым уравнениям, содержащим только одну неизвестную, а потому постоянную величину, и для таких уравнений тоже можно построить график. Например, уравнение у = 7 — 2 можно записать так: у = f(x) = 5 и тогда графиком функции будет прямая горизонтальная линия, проходящая на высоте 5 делений от оси х.

А теперь несколько слов о том, зачем все это может понадобиться например при изучении теоретической механики или теории сопротивления материалов.

При расчете строительных конструкций, например балок, необходимо определить значение поперечных сил и моментов, действующих в различных сечениях балки, а также углы поворота и перемещения нейтральной оси балки. Для этого строятся эпюры поперечных сил, моментов, углов поворота и прогиба. Так вот эти эпюры и есть графики соответствующих функций.

При этом длина балки l измеряется по оси х, соответственно нижний предел функции х = 0, а верхний предел функции х = l.

Например уравнение моментов М(х) = qlx/2 — qx 2 /2 при действии на балку равномерно распределенной нагрузки в обще виде можно записать так:

у = f(x) = qlx/2 — qx 2 /2 (538.6)

Но на этом увлекательный мир уравнений, а также функций, их аргументов и т.п. не заканчивается, а только начинается. Следующий уровень сложности — это дифференциальные уравнения, когда одна из неизвестных величин является производной или дифференциалом второй неизвестной величины, но это уже отдельная большая тема.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:

• Расчет конструкций . Уравнения, основные понятия

Оценка пользователей:10.0 (голосов: 2)Переходов на сайт:11332Комментарии:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Функция. Аргумент. Прямая и обратная зависимость

Содержание

Вокруг нас происходит множество событий или процессов, которые можно измерить. При этом величина одних зависит от величины каких-либо других.

Так, например, от того, сколько мы испишем страниц в тетради, зависит количество оставшихся в стержне чернил. Чем больше кружек наполнено компотом, тем меньше его останется в кастрюле. Чем больше мама оставит денег на обеды, тем больше можно на них купить мороженого. А чем сильнее велосипедист крутит педали, тем больше километров он проедет. Придумайте свои примеры?

В наших описанных выше примерах первые два имеют обратную зависимость, то есть при увеличении одной величины (количество страниц и кружек в наших случаях), уменьшается вторая (количество чернил и компота в кастрюле).

Обратная зависимость

Примеры с велосипедистом и мороженым имеют прямую зависимость, то есть при увеличении одной величины (скорость движения педалями и количество оставленных мамой денег) увеличивается и другая (пройденное расстояние и количество мороженого).

Прямая пропорциональность

Зависимость, которая показывает как одна величина связана с другой величиной, как раз и называется функцией.

Аргумент и функция

Если одна величина меняется независимо от другой (например, оставленные мамой деньги, исписанные страницы), то она называется независимой или аргументом и обозначается обычно $x$

Если же величина зависит от другой, то ее называют зависимой переменной или функцией и обычно обозначают как $y$ или $f(x)$. То есть $y=f(x)$.

Зависимые и независимые переменные могут обозначаться и любыми другими буквами (латинскими или греческими).

Примеры аргумента и функции

• Чем старше дерево, тем оно выше. Возраст дерева — аргумент, рост — функция
• Чем дольше машина едет с одной скоростью, тем большее расстояние она проедет. Время — аргумент, скорость — неизменяемая величина, расстояние — функция
• Чем меньше цена мороженого, тем больше можно купить за 100 рублей. Цена мороженого — аргумент, количество мороженого — функция, 100 рублей — неизменяемая величина
• Чем меньше мы вычтем из числа, тем больше результат. Вычитатель — аргумент, результат — функция

Запись функции

Посмотрим как можно записать функциональную зависимость купленного мороженого от оставленных денег на обед. Допустим мороженое стоит $20$ рублей. Тогда:

• если мама оставит $20$ рублей, мы купим только одно мороженое;
• если $40$ рублей – два мороженых;
• если $100$ рублей – целых пять мороженых.

Таким образом, количество порций мороженого обозначим $у$, а количество оставленных денег $x$. Функция будет выглядеть следующим образом:

Слово «функция» произошло от латинского слова functio – исполнение, осуществление. Это одно из главных понятий в математике, показывающее зависимость одних переменных величин от других. Понятие «величина» в данном случае может включать в себя совершенно любое число.

Переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Важно: во всех случаях, когда употребляется термин «функция», подразумевается однозначная зависимость величин, при которой каждому значению аргумента $х$ соответствует только одно единственное значение зависимой переменной $y$.

Функции

Если две переменные величины находятся между собой в такой зависимости, что каждому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая его функцией.

Функция — это зависимая переменная величина. Аргумент — это независимая переменная. Зависимость функции от аргумента называется функциональной зависимостью.

Если нужно указать на тот факт, что y функция от x, не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто:

где f (начальная буква слова function — функция) заменяет слово функция , y — это функция, а x — аргумент.

Иногда, чтобы показать, что y зависит от x, пишут просто:

Обратите внимание, что вместо y и x могут использоваться любые другие буквы.

Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции. Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Для функции f приняты следующие обозначения:

D(f) — область определения функции
(множество значений аргумента).

E(f) — множество значений функции.

Пример. Возьмём формулу нахождения расстояния по скорости и времени:

где S — это расстояние, v — скорость, а t — время. Если взять скорость, равную 50 км/ч, то каждому неотрицательному значению t будет соответствовать строго определённое значение S:

t (ч)	1	1,5	2	2,5	3
S (км)	50	75	100	125	150

Следовательно, S является функцией от t — S(t) , область определения функции — D(S) ⩾ 0, так как время не может быть отрицательным, но при этом можно не затратить времени вообще, если не двигаться, в этом случае t = 0. Значение этой функции в точке t₀ можно обозначить в виде S(t₀), то есть записать таблицу со значениями в таком виде:

🎥 Видео