Как объединить систему уравнений в одно (3 видео)

Системы уравнений: определение, виды, примеры решения

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Содержание

Определение системы уравнений
Основные виды систем уравнений
Решение систем уравнений
Как решать системы уравнений с двумя переменными
Что такое система уравнений с двумя переменными
Графический метод решения
Метод подстановки
Метод сложения
Задания для самостоятельного решения
Системы линейных уравнений с примерами решений
Уравнения с двумя переменными
🔥 Видео

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2 · x + y = − 3 и x = 5 , после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2 · x + y = — 3 , x = 5 .

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1 , говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x + y = 5 , 2 · x — 3 · y = 1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у .

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2 x = 11 , x — 3 · z 2 = 0 , 2 7 · x + y — z = — 3

Данная система имеет 3 переменные х , у , z . Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z . Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z , а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

2 x + 0 · y + 0 · z = 11

А другое уравнение x + 0 · y − 3 · z = 0 .

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

2 · x — y = 1 , x + 2 · y = — 1 и — 3 · x + y = 0 . 5 , x + 2 2 3 · y = 0

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

x 2 — 4 · x · y = 1 , x — y = 2 и x = y 3 x · y = — 5

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

x + y = 3 , 1 x + 1 y = 2 5

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

x + y — x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = — 1 , y — log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение систем уравнений

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

К примеру, пара значений х = 5 и у = 2 являются решением системы уравнений x + y = 7 , x — y = 3 . Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5 + 2 = 7 и 5 − 2 = 3 . Если подставить пару х = 3 и у = 0 , тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3 + 0 = 7 .

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

t 2 = 4 , 5 · ( t + 2 ) = 0

Число — 2 – решение уравнения, так как ( − 2 ) · 2 = 4 , и 5 · ( − 2 + 2 ) = 0 являются верными числовыми равенствами. При t = 1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12 = 4 и 5 · ( 1 + 2 ) = 0 .

Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Если имеем значения переменных х = 1 , у = 2 , z = 0 , то подставив их в систему уравнений 2 · x = 2 , 5 · y = 10 , x + y + z = 3 , получим 2 · 1 = 2 , 5 · 2 = 10 и 1 + 2 + 0 = 3 . Значит, эти числовые неравенства верные. А значения ( 1 , 0 , 5 ) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5 · 0 = 10 , 1 + 0 + 5 = 3 .

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.

Видео:Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Как решать системы уравнений с двумя переменными

Видео:Решение систем уравнений второй степениСкачать

Что такое система уравнений с двумя переменными

Системой уравнений в алгебре называется некое условие, смысл которого заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (либо одной) переменных.

Это значит, что система представляет собой комплекс уравнений. Данные равенства могут содержать одну, две или более переменных. Основным условием понятия «система уравнений» является то, что все эти уравнения выполняются в одно время.

Объединить уравнения в систему можно с помощью фигурной скобки:

У р а в н е н и е 1 У р а в н е н и е 2 У р а в н е н и е 3 …

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Графический метод решения

Принцип решения систем уравнений графическим способом заключается в построении графиков для каждого уравнения в общей системе координат. Тогда решения системы соответствуют точкам, в которых данные графики пересекаются. После объяснения решения ответ принято записывать, как координаты этих точек.

Разберем наглядный пример. Предположим, что дана некая система уравнений, решать которую нужно графическим способом. Выполним работу последовательно:

Запишем систему.
Выразим одну из переменных (пусть это будет у).
Построим на координатной прямой графики функций.
Найдем точки пересечения графиков.

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7 ⇔ y = 4 — 2 3 x y = 3 x — 7

Заметим, что точка пересечения графиков имеет следующие координаты:

Графический метод решения систем уравнений уступает в точности другим способам. Использовать график целесообразно в том случае, когда в задаче записана система линейных уравнений. Подобные задачи встречаются в средних классах школы. Такие уравнения имеют вид y = a x + b без квадратных членов, а их графики являются прямыми.

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Метод подстановки

Алгоритм решения системы уравнений с помощью метода подстановки:

выражение одной переменной через другие;
подстановка выражения, которое получилось, в начальные уравнения на место выраженной переменной;
повторение второго шага до тех пор, пока не будут определены другие переменные.

Рассмотрим последовательность действий на практике. Предположим, что имеется некая система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7

Выразим у из второго уравнения:

Выполним подстановку полученного выражения в первое равенство:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

Для полученного уравнения с одной переменной несложно найти корни:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

2 x + 3 · 3 x — 3 · 7 = 12

2 x + 9 x — 21 = 12

Зная х, выполним подстановку и найдем у:

y = 3 x — 7 = 3 · 3 — 7 = 2 .

Запишем в ответ значения двух переменных.

Ответ: x = 3 ; y = 2 , либо (3;2).

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Метод сложения

При сложении левых частей пары (или более) уравнений выражение, полученное в результате, равно сложенным правым частям этих же равенств, согласно формуле:

a = b c = d ⇒ a + c = b + d

В обратную сторону записанное свойство не работает:

a + c = b + d ◃ ≠ ▹ a = b c = d

Таким образом, при решении систем уравнений можно увеличивать обе части уравнения на одинаковое число. Например, сложим первое уравнение с числом с:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c

Исходя из того что c=d, можно выполнить замену c на d справа:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c ⇒ a + c = b + d .

В качестве примера попробуем решить систему уравнений:

2 x + y = 12 3 x — y = 3

Следуя правилу, суммируем уравнения. В процессе левые части складываем друг с другом. Аналогичным образом поступим с правыми частями равенств. В результате:

2 x + y = 12 3 x — y = 3 ⇒ 2 x ¯ ¯ + y ¯ + 3 x ¯ ¯ — y ¯ = 15 ⇔ 5 x = 15 ⇔ x = 3 .

Получилось избавиться от переменной у. В итоге задача значительно упростилась. Подставим число 3 на место слагаемого с х:

2 x + y = 12 x = 3 ⇔ 2 · 3 + y = 12 x = 3 ⇔ y = 6 x = 3

В следующем примере система уравнений имеет следующий вид:

2 x + 3 y = 13 4 x + 5 y = 23

Заметим, что с помощью сложения задание не получится упростить. В этом случае можно воспользоваться умножением уравнения на какое-либо число, отличное от нуля. Важно выбрать такой множитель, который позволит избавиться от одной из переменных. В этом случае лучше использовать (-2):

2 x + 3 y = 13 · — 2 4 x + 5 y = 23 ⇔ — 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23

Приступим к сложению:

— 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23 ⇒ — 4 x — 6 y + 4 x + 5 y = — 26 + 23 ⇔ — y = — 3 ⇔

Выполним подстановку у=3 в первое уравнение:

2 x + 3 y = 13 y = 3 ⇔ 2 x + 9 = 13 y = 3 ⇔ x = 2 y = 3

Видео:Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Задания для самостоятельного решения

Нужно решить систему уравнений:

13 x + 6 y = 7 2 x — 4 y = 6

Выразим х с помощью второго уравнения:

Найти значения переменных:

2 x + 5 y = 10 8 y — 5 x = 57

Из первого равенства выразим х:

2 x + 5 y = 10 2 x = 10 — 5 y

Подставим полученное значение во второе уравнение и запишем ответ.

Дана система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 5 y = 10 3 x — 2 y = 1

В данном случае следует умножить первое уравнение на число 2, а второе равенство умножить на число 5:

2 x + 5 y = 10 · 2 3 x — 2 y = 1 · 5 ⇔ 4 x + 10 y = 20 15 x — 10 y = 5

После сложения уравнений остается лишь определить х:

19 x = 25 ⇔ x = 25 19

При подстановке х в какое-либо из двух уравнений можно вычислить у и записать ответ.

Ответ: ( 25 19 ; 28 19 ) .

Требуется найти переменные:

3 y — 4 x = — 13 3 x + 7 y = 56

Здесь следует в первую очередь найти произведение первого уравнения и числа 3, умножить второе уравнение на множитель 4. Далее остается суммировать уравнения и записать ответ.

Нужно решить систему уравнений:

7 x + 3 y = 21 4 y — 5 x = — 15

Множителем для первого уравнения является число 4. Второе уравнение нужно умножить на -3. Полученные равенства следует сложить и записать ответ.

Решить систему уравнений:

6 x — 8 y = — 2 9 x + 10 y = 8

В данном случае предполагается умножение уравнений на дробные числа. Множителем для первого уравнения является дробь 1 4 . Второе уравнение следует умножить на 1 5 :

6 x — 8 y = — 2 · 1 4 9 x + 10 y = 8 · 1 5 ⇔ 6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5

Далее выполним сложение:

6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5 ⇔ 3 2 x + 9 5 x =-0,5+1,6 ⇔ ⇔ 15 10 x + 18 10 x = 1,1 ⇔ 33 10 x = 1 , 1 ⇔ ⇔ 33 = 11 x x = 3

Путем подстановки определим y:

6 3 — 8 y = — 2 x = 3 ⇔ — 8 y = — 4 x = 3 ⇔ y = 2 x = 3

Найти корни следующих систем уравнений:

2 x + 3 y = 11 3 x + 2 y = 9

3 x — y = 85 5 x + 2 y = 17

x — 3 y = 6 2 y — 5 x = — 4

y 4 — x 5 = 6 x 15 + y 12 = 0

y — x = 5 x + 3 y = 3

Ответ: (1; 3), (17; -34), (0; -2), (-15; 12), (-3; 2).

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Системы линейных уравнений с примерами решений

Содержание:

Системы уравнений, как и отдельные уравнения, используют для решения сложных и необходимых задач. Системы уравнений бывают с двумя, тремя и более переменными. В этой главе вы ознакомитесь с простейшими системами двух уравнений с двумя переменными. Основные темы лекции:

уравнения с двумя переменными;
график линейного уравнения;
системы уравнений;
способ подстановки;
способ сложения;
решение задач составлением системы уравнений.

Уравнения с двумя переменными

До сих пор мы рассматривали уравнение с одной переменной. Однако существуют задачи, решение которых приводит к уравнениям с двумя переменными.

Пример:

На 22 руб. купили несколько книжек по 5 руб. и географических карт — по 3 руб. Сколько купили книжек и карт?

Решение:

Пусть купили х книжки у карт. За книжки заплатили 5х руб., а за карты — 3у руб. Всего заплатили 22 руб., то есть, 5х + Зу = 22.

Это уравнение с двумя переменными. Приведём и другие примеры таких уравнений с двумя переменными:

Уравнение вида ах + by = с, где а, b, с — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Если

Примеры линейных уравнений:

два первых из них — уравнение первой степени с двумя переменными.

Паре чисел х = -1 и у = 9 удовлетворяет уравнение 5х + Зу -= 22, так как А пара чисел х = 1 и у = 2 этому уравнению не удовлетворяет, поскольку

Каждая пара чисел, удовлетворяющая уравнение с двумя переменными, т. е. обращающая это уравнение в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Обратите внимание: одно решение состоит из двух чисел, на первом месте записывают значение х, на втором — у. Корнями их не называют.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, следует подставить в уравнение произвольное значение первой неременной и, решив полученное уравнение, найти соответствующее значение второй переменной.

Для примера найдем несколько решений уравнения

Если х = 1, то отсюда у = -2. Пара чисел х = 1 и у = -2 — решение данного уравнения. Его записывают ещё и так: (1; -2). Придавая переменной х значения 2, 3, 4, . , так же можно найти сколько угодно решений уравнения: (2; 1), (3; 4), (4; 7), (5; 10), . Каждое уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений.

Уравнение также имеет бесконечно много решений, но сформулированную выше задачу удовлетворяет только одно из них: (2; 4).

Два уравнения с двумя переменными называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Для уравнения с двумя переменными остаются справедливыми свойства, сформулированные для уравнений с одной переменной.

Обе части уравнения с двумя переменными можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Любой член такого уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. В результате получается уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение можно преобразовать так: . Каждое из этих уравнений равносильно друг другу.

Иногда возникает потребность решить уравнение с двумя переменными во множестве целых чисел, то есть определить решения, являющиеся парами целых чисел. Способы решения таких уравнений определил древнегреческий математик Диофант (III в.), поэтому их называют диофантовыми уравнениями. Например, задача о книжках и картах сводится к уравнению где х и у могут быть только целыми (иногда натуральными) числами.

Переменную у из этого уравнения выразим через х:

Будем подставлять в равенство вместо х первые натуральные числа до тех пор, пока не получим целое значение переменной у. Это можно делать устно. Если х = 2, то у = 4. Других натуральных решений уравнение не имеет. Поэтому задача имеет единственное решение: 2 книги и 4 карты.

Пример:

Решение:

а) При любых значениях х и у значения выражения не может быть отрицательным числом. Поэтому уравнение не имеет решений.

б) Значение выражения равно нулю только при условии, когда x -3 = 0 и y = 0. Значит, уравнение имеет только одно решение: х = 3, у = 0.

Пример:

Составьте уравнение с двумя переменными, решением которого будет пара чисел (1; -5).

Решение:

Пишем любой двучлен с переменными х и у, например Если х = 1, а у = -5, то значение даного двучлена равно 28. Следовательно, уравнение удовлетворяет условие задачи.

Есть много других линейных уравнений с двумя переменными, имеющих такое же решение (1; -5).

График линейного уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение Давая переменной х значения -2, -1,0,1,2, 3. найдём соответствующие значения переменной у. Будем иметь решение данного уравнения: (-2; -б), (-1; -4,5), (0; -3),

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.