Как называется система линейных уравнений в которой все свободные числа равны нулю

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи» вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Например, система $left < begin& 2x_1-3x_2-x_3-x_4=0;\ & -4x_1+5x_2+3x_4=0. end right.$ является однородной, так как все свободные члены этой системы (т.е. числа, стоящие в правых частях равенств) – нули.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$ и $x_4=0$ в записанную выше систему. Получим два верных равенства:

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Подставим, например, $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$ и $x_4=3$:

Мы получили два верных равенства, поэтому $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$ – тоже является решением данной СЛАУ. Отсюда, кстати, следует вывод: так как наша СЛАУ имеет более чем одно решение, то эта СЛАУ является неопределенной, т.е. она имеет бесконечное количество решений.

Кстати сказать, чтобы не писать каждый раз выражения вроде «$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$», пишут все значения переменных в матрицу-столбец: $left(begin 1 \ -1 \ 2 \ 3 end right)$. Эту матрицу тоже называют решением СЛАУ.

Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, если $r=n$ ($n$ – количество переменных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $r < n$, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений.

Случай $r=n$ не интересен. Для однородных СЛАУ он означает, что система имеет только нулевое решение. А вот случай $r < n$ представляет особый интерес.

Этот случай уже был рассмотрен в теме «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ». По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.

Что такое базисные и свободные переменные? показатьскрыть

Прежде чем дать определение этим терминам, стоит вспомнить, что означает фраза «ранг матрицы равен $r$». Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют. Теперь можно дать следующее определение:

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

С однородными СЛАУ связано дополнительное понятие – фундаментальная система решений. Дело в том, что если ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен $r$, то такая СЛАУ имеет $n-r$ линейно независимых решений: $varphi_1$, $varphi_2$. $varphi_$.

Часто вместо словосочетания «фундаментальная система решений» используют аббревиатуру «ФСР». Если решения $varphi_1$, $varphi_2$. $varphi_$ образуют ФСР, и $X$ – матрица переменных данной СЛАУ, то общее решение СЛАУ можно представить в таком виде:

$$ X=C_1cdot varphi_1+C_2cdot varphi_2+ldots+C_cdot varphi_, $$

где $C_1$, $C_2$. $C_$ – произвольные постоянные.

Что значит «линейно независимые решения»? показатьскрыть

В данной ситуации под решением понимается матрица-столбец, в которой перечислены значения неизвестных.

Решения $varphi_1$, $varphi_2$, $ldots$, $varphi_n$ называются линейно зависимыми, если существуют такие константы $alpha_1,;alpha_2,;alpha_3,ldots,alpha_n$, что выполняется следующее равенство:

$$ alpha_1cdot varphi_1+alpha_2cdot varphi_2+ldots+alpha_ncdot varphi_n=O $$

при условии, что среди коэффициентов $alpha_i$ есть хотя бы один, не равный нулю.

Если же указанное выше равенство возможно лишь при условии $alpha_1=alpha_2=ldots=alpha_n=0$, то система решений называется линейно независимой.

Буква «$O$» в данном определении обозначает нулевую матрицу. Проще всего пояснить это определение на конкретном примере. Давайте рассмотрим ту СЛАУ, о которой шла речь в начале темы. Мы уже проверили, что $varphi_1=left(begin 1 \-1 \2 \3 endright)$ – решение данной СЛАУ. Точно так же можно показать, что $varphi_2=left(begin 16 \ 11 \ -4 \ 3 endright)$, $varphi_3=left(begin -5 \ -4 \ 2 \ 0 endright)$, $varphi_4=left(begin 7 \ 5 \ -2 \ 1endright)$ – решения данной системы.

Примем $alpha_1=-1$, $alpha_2=0$, $alpha_3=4$, $alpha_4=3$. Выясним, чему же равно выражение $alpha_1cdot varphi_1+alpha_2cdot varphi_2+alpha_3cdot varphi_3+alpha_4cdot varphi_4$:

$$ alpha_1cdot varphi_1+alpha_2cdot varphi_2+alpha_3cdot varphi_3+alpha_4cdot varphi_4= -1cdot left(begin 1 \-1 \2 \3 endright)+ 0cdot left(begin 16 \ 11 \ -4 \ 3 endright)+ 4cdot left(begin -5 \ -4 \ 2 \ 0 endright)+ 3cdot left(begin 7 \ 5 \ -2 \ 1endright)=\ =left(begin -1+0-20+21\ 1+0-16+15 \ -2+0+8-6 \ -3+0+0+3endright)= left(begin 0\ 0\ 0\0endright). $$

Итак, существуют такие значения констант $alpha_1$, $alpha_2$, $alpha_3$, $alpha_4$, не все одновременно равные нулю, что выполняется равенство $alpha_1cdot varphi_1+alpha_2cdot varphi_2+alpha_3cdot varphi_3+alpha_4cdot varphi_4=O$. Вывод: совокупность решений $varphi_1$, $varphi_2$, $varphi_3$, $varphi_4$ – линейно зависима.

Для сравнения: равенство $alpha_1cdot varphi_1+alpha_2cdot varphi_2=O$ возможно лишь при условии $alpha_1=alpha_2=0$ (я не буду это доказывать, поверьте на слово 🙂 ). Следовательно, система $varphi_1$, $varphi_2$ является линейно независимой.

Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.

Итак, мы имеем однородную СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая однородная система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$ left( begin 3 & -6 & 9 & 13 & 0 \ -1 & 2 & 1 & 1 & 0 \ 1 & -2 & 2 & 3 & 0 end right) rightarrow left|begin & text\ & text\ & text endright| rightarrow \ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\ -1 & 2 & 1 & 1 & 0 \ 3 & -6 & 9 & 13 & 0 end right) begin phantom \ II+I\ III-3cdot Iend rightarrow left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 endright) begin phantom \ phantom\ III-IIend rightarrow \ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 endright). $$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $rang A=rangwidetilde = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:

На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $left( begin 3 & -6 & 9 & 13 \ -1 & 2 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 2 & 3 end right)$, так и в преобразованной матрице системы, т.е. в $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 0 endright)$. Так как в преобразованной матрице системы побольше нулей, то будем работать именно с нею.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

$$ M_^=left| begin 1 & -2 \ 0 & 0 endright|=1cdot 0-(-2)cdot 0=0. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2 и №4:

$$ M_^=left| begin 2 & 3\ 3 & 4 endright|=2cdot 4-3cdot 3=-1. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_2$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.

Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_^$.

В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно $n-r=2$. Свободными переменными будут $x_2$ и $x_4$. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 endright)$ от нулевой строки:

$$ left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 endright) $$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 endright)$. Перейдём от матрицы к уравнениям. Первая строка соответствует уравнению $x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0$, а вторая строка соответствует уравнению $3x_3+4x_4=0$. Теперь перенесём свободные переменные $x_2$ и $x_4$ в правые части уравнений. Естественно, что когда мы переносим выражение $4x_4$ в правую часть уравнения, то знак его изменится на противоположный, и в правой части появится $-4x_4$.

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$ left( begin 1 & 2 & 2 & -3\ 0 & 3 & 0 & -4 endright) begin phantom \ II:3 end rightarrow left( begin 1 & 2 & 2 & -3\ 0 & 1 & 0 & -4/3 endright) begin I-2cdot II \ phantom end rightarrow \ rightarrow left(begin 1 & 0 & 2 & -1/3\ 0 & 1 & 0 & -4/3 endright). $$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Вспоминая, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, получим:

Нами найдено общее решение заданной однородной СЛАУ. Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=2x_2-fracx_4$ и $x_3=-fracx_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3cdot left(2x_2-fracx_4right)-6x_2+9cdot left(-fracx_4right)+13x_4=0. $$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Теперь найдем фундаментальную систему решений. ФСР будет содержать $n-r=2$ решения. Для нахождения ФСР составим таблицу. В первой строке таблицы будут перечислены переменные: сначала базисные $x_1$, $x_3$, а затем свободные $x_2$ и $x_4$. Всего в таблице будут три строки. Так как у нас 2 свободные переменные, то под свободными переменными запишем единичную матрицу второго порядка, т.е. $left(begin 1 & 0 \0 & 1endright)$. Таблица будет выглядеть так:

Теперь будем заполнять свободные ячейки. Начнём со второй строки. Мы знаем, что $x_1=2x_2-fracx_4$ и $x_3=-fracx_4$. Если $x_2=1$, $x_4=0$, то:

Найденные значения $x_1=2$ и $x_3=0$ запишем в соответствующие пустые ячейки второй строки:

Заполним и третью строку. Если $x_2=0$, $x_4=1$, то:

Найденные значения $x_1=-frac$ и $x_3=-frac$ запишем в соответствующие пустые ячейки третьей строки. Таким образом таблица будет заполнена полностью:

Из второй и третьей строки таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: $X=left(begin x_1 \x_2 \x_3 \x_4 endright)$. В том же порядке, в котором в матрице $X$ перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:

$$ varphi_1=left(begin 2 \1 \0 \0 endright);; varphi_2=left(begin -1/3 \0 \ -4/3 \1 endright). $$

Совокупность $varphi_1=left(begin 2 \1 \0 \0 endright)$, $varphi_2=left(begin -1/3 \0 \ -4/3 \1 endright)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1cdot varphi_1+C_2cdot varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$ X=C_1cdotleft(begin 2 \1 \0 \0 endright)+C_2cdotleft(begin -1/3 \0 \ -4/3 \1 endright), $$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение: $left <begin& x_1=2x_2-fracx_4;\ & x_2in R;\ & x_3=-fracx_4;\ & x_4 in R. endright.$. Или так: $X=C_1cdotleft(begin 2 \1 \0 \0 endright)+C_2cdotleft(begin -1/3 \0 \ -4/3 \1 endright)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы. Фундаментальная система решений: $varphi_1=left(begin 2 \1 \0 \0 endright)$, $varphi_2=left(begin -1/3 \0 \ -4/3 \1 endright)$.

Записать ФСР однородной СЛАУ

зная общее решение. Записать общее решение с помощью ФСР.

Общее решение уже было получено в теме «метод Крамера» (пример №4). Это решение таково:

Опираясь на предыдущий пример №1, попробуйте составить ФСР самостоятельно, а потом сверить с ответом.

Ранг матрицы системы $r=3$ (поэтому у нас три базисных переменных), количество переменных $n=5$. Количество свободных переменных и количество решений ФСР равно $n-r=2$.

Так же, как и в предыдущем примере, составим ФСР. При составлении учтём, что $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные переменные, а $x_4$, $x_5$ – свободные переменные.

Совокупность $varphi_1=left(begin -17/19 \-15/19 \20/19 \1\0 endright)$, $varphi_2=left(begin 144/19 \ 41/19 \ -4/19\0\1 endright)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1cdot varphi_1+C_2cdot varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$ X=C_1cdotleft(begin -17/19 \-15/19 \20/19 \1\0 endright)+C_2cdotleft(begin 144/19 \ 41/19 \ -4/19\0\1 endright), $$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Фундаментальная система решений: $varphi_1=left(begin -17/19 \-15/19 \20/19 \1\0 endright)$, $varphi_2=left(begin 144/19 \ 41/19 \ -4/19\0\1 endright)$. Общее решение: $X=C_1cdotleft(begin -17/19 \-15/19 \20/19 \1\0 endright)+C_2cdotleft(begin 144/19 \ 41/19 \ -4/19\0\1 endright)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы.

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Системы линейных уравнений

Глава 5. Системы линейных уравнений

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чи­сел.

Числа, записанные в матрице, называются её элементами. При этом они могут быть как действительными, так и комплексными. Пример:

A =.

Наша матрица A состоит из 3 строк и 4 столбцов. Будем записывать это так, что (3, 4) − размер матрицы A (иногда пишут 3×4, но × легко перепутать с x, особливо в рукописном тексте). Вообще, если в матрице s строк и n столбцов, то её размером считается запись (s, n). Матрицу обрамляют круглыми скобками: (). В литературе вы можете встретить другие обозначения: || || или []. Если s = n, то матрица называется квадратною. Матрицу размера (n, n) называют также квадратною матрицею n—го порядка.

Если надобно записать матрицу в общем (буквенном) виде, то пишут так:

A =.

Это матрица размера (s, n), каждый её элемент обозначен одной и той же буквою − обык­новенно (хотя и не обязательно) это та же буква, которая обозначает самоё матрицу, но строчная. Эта буква снабжена двойными индексами: a11 − это не ‘a одиннадцать’, а ‘a один-один’. Первый индекс означает номер строки, в которой стоит данный элемент, вто­рой − номер столбца. Разделителей между индексами обыкновенно не пишут, доколе это не может привести к неопределённости; к примеру, запись a211 непонятна: не то это a2,11, не то a21,1. В этом случае разделитель обязателен (здесь это запятая).

Среди всех матриц выделим матрицы, состоящие из одного столбца, т. е. размера (s, 1):

.

Такую матрицу назовём матрицей—столбцом, или вектор—столбцом. Аналогично матрицу вида

размера (1, n) назовём матрицей—строкой, или вектор—строкой.

5.1.2. Ступенчатая матрица

Определение 1. Строка матрицы называется нулевой строкой, если она состоит из одних нулей.

Определение 2. Главным элементом какой-либо ненулевой строки данной мат­рицы называется первый ненулевой элемент этой строки, считая слева направо.

Нулевая строка не имеет главного элемента, все остальные строки имеют одно­значно определённый главный элемент. В любой матрице число главных элементов равно числу ненулевых строк.

Определение 3. Матрица называется ступенчатой, если для любых двух её после­довательных строк выполняется одно из двух условий:

1) вторая строка состоит из одних нулей (нулевая строка);

2) обе строки ненулевые, и при этом главный элемент первой строки расположен строго левее главного элемента второй строки.

Из этого определения легко понять, что нулевые строки концентрируются в конце (внизу) матрицы, составляя нулевой блок (блок нулевых строк). В самом деле, если какая-либо строка нулевая, то в силу первой части определения все последующие строки также нулевые. Впрочем, нулевых строк может и вовсе не быть.

Определение 4. Матрица называется главной ступенчатой, если она является сту­пенчатой и сверх того

3) все главные элементы равны единице;

4) выше главных единиц (в тех же столбцах) стоят одни нули.

Из определения ясно, что каждый главный столбец главной ступенчатой матрицы устроен так, что в одной позиции стоит 1, а в остальных позициях − нули. (Ниже 1 стоят нули из-за того, что матрица является ступенчатой.) При этом номер позиции (строки), в которой стоит 1, равен номеру этого столбца в череде главных столбцов.

5.1.3. Элементарные преобразования

Определение 1. Элементарным преобразованием первого типа над строками ка­кой-либо матрицы называется перестановка местами двух произвольных строк этой мат­рицы.

Определение 2. Элементарным преобразованием второго типа называется умно­жение произвольной строки данной матрицы на какое-либо число, не равное 0.

Определение 3. Элементарным преобразованием третьего типа называется при­бавление к какой-либо строке данной матрицы другой строки, умноженной предвари­тельно на любое число[1].

5.1.4. Теорема C. F. Gauss’а[2]

Теорема (C. F. Gauss’а). Любую матрицу с помощью нескольких элементарных преобразований над строками можно привести к главному ступенчатому виду.

Доказательство. Будем рассматривать матрицы размера (s, n). Обозначим через N сумму числа строк и столбцов: N = s + n. Доказательство поведём индукцией по этому па­раметру N. Наименьшее возможное значение N равно 2 (для матриц размера (1, 1)).

Основание (база) индукции. Пусть наша матрица A имеет размер (1, 1). Тогда A = = (a11). Если a11 = 0, то матрица уже главная ступенчатая. Если же нет, то разделим (един­ственную) строку матрицы A на a11, получим матрицу (1), которая уже является главной ступенчатой.

Индуктивный переход. Пусть теорема C. F. Gauss’а справедлива для любой мат­рицы, у которой s + n 1 вычтем из i-й строки матрицы D её первую строку, предвари­тельно умножив её на число di1. После этой серии элементарных преобразований в новой матрице E все элементы первого столбца, кроме первого, станут равными нулю. Обозна­чим через F матрицу, получающуюся из E вычёркиванием первой строки и первого столбца. Её размеры меньше размеров матрицы A, и поэтому её можно привести к глав­ному ступенчатому виду G с помощью серии элементарных преобразований над её стро­ками, что равносильно совершению таких же элементарных преобразований над матрицей E. Пусть матрица E привелась таким образом к матрице H. Матрица H уже ступенчатая, но не обязательно главная ступенчатая. Возьмём какой-нибудь главный столбец матрицы G. Пусть главная единица нашего столбца стоит в k-й строке и l-м столбце матрицы H.

Вычтем из первой строки матрицы H её k-ю строку, умноженную предварительно на число h1l, и первый элемент нашего столбца обнулится. Важно, что при этом никак не за­трагивается первый столбец, − он остаётся неизменным. Произведём указанную операцию с каждым главным столбцом матрицы G. Ясно, что новая матрица уже будет главной сту­пенчатой. Теорема доказана.

5.1.5. Обратимость элементарных преобразований

Предложение. Если над матрицей A совершено элементарное преобразование ка­кого-либо типа, приводящее её к матрице B, то существует элементарное преобразование того же типа, приводящее матрицу B снова к матрице A.

Доказательство. Это очевидно для преобразований первого и второго типов. В са­мом деле, если мы совершили перестановку строк, то вторичная перестановка тех же строк вернёт нас к исходной матрице. Если мы умножили некоторую строку на ненулевое число, то умножение той же строки на обратное число вернёт нас к исходной матрице. Допустим теперь, что в данной матрице A мы прибавили к i-й строке j-ю строку (i ≠ j), предварительно умноженную на число α, и таким образом пришли к матрице B. Утвер­ждаю, что можно вернуться к матрице A, если прибавить к i-й строке матрицы B её j-ю строку, предварительно умноженную на число −α. Так как при обоих преобразованиях все строки, кроме i-й, вообще не менялись, то достаточно посмотреть, что произойдёт с ка­ким-нибудь элементом bik матрицы B. Вычисляем:

т. е. мы вернулись к матрице A, QED.

§ 5.2. Системы линейных уравнений

5.2.1. Основные определения

Определение 1. Система уравнений вида

называется системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными x1, x2, …, xn.

Числа aij называются коэффициентами системы, bi − её свободными членами.

Определение 2. Решением системы (1) называется такой набор чисел что при подстановке этих чисел в левые части системы (1) вместо соответствующих неизвест­ных система (1) обратится в систему верных числовых равенств.

Определение 3. Решить систему (1) − значит найти все её решения (множество всех решений).

Определение 4. Система (1) называется совместною, если она имеет хотя бы одно решение (множество всех решений непусто), и несовместною в противном случае, т. е. если она не имеет решений (множество всех решений пусто).

Определение 5. Система (1) называется определённою, если она имеет ровно одно решение, и неопределённою, если имеет более одного решения.

Мы очень скоро увидим, что неопределённая система имеет бесконечно много ре­шений.

5.2.2. Элементарные преобразования над системами уравнений

Определение 1. Элементарным преобразованием первого типа над системой уравнений называется перестановка местами двух произвольных уравнений системы.

Определение 2. Элементарным преобразованием второго типа называется умно­жение любого уравнения системы на какое-либо число, не равное 0.

Определение 3. Элементарным преобразованием третьего типа называется при­бавление к какому-либо уравнению другого уравнения, умноженного предвари­тельно на любое число[3].

Каждой системе уравнений вида (1) можно поставить в соответствие две матрицы: матрицу системы и расширенную матрицу системы.

Определение 4. Матрицей системы уравнений (1) называется матрица, составлен­ная из коэффициентов системы:

­

Определение 5. Расширенной матрицей системы уравнений (1) называется мат­рица, составленная из коэффициентов системы и свободных членов:

­

Иногда в расширенной матрице отделяют столбец свободных членов вертикальной чертой (сплошной или прерывистой), но это не обязательно. Ясно, что матрица системы не даёт полной информации о системе в отличие от расширенной матрицы, по которой можно однозначно восстановить систему уравнений, если только мы знаем список неиз­вестных (буквы, которыми были обозначены неизвестные). Впрочем, последнее не так существенно, потому что ведь мы в первую очередь интересуемся решениями, а каждое решение представляет собою просто набор чисел без обозначений неизвестных.

Определение 6. Пусть даны две системы уравнений относительно одного и того же набора неизвестных x1, x2, …, xn. Говорят, что система (2) является следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является решением системы (2).

Другими словами, множество всех решений системы (1) есть подмножество (часть) множества всех решений системы (2).

Определение 7. Две системы уравнений относительно одного и того же набора не­известных x1, x2, …, xn называются эквивалентными, или равносильными, если множества их решений совпадают, или, что то же, каждая из них является следствием другой.

Иными словами, две системы эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое решение первой системы является решением второй и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой.

Предложение. При совершении одного элементарного преобразования система уравнений переходит в эквивалентную систему.

Доказательство. Достаточно доказать, что вторая система является следствием первой. Действительно, предположив, что это уже доказано, совершим обратное элемен­тарное преобразование, которое вернёт нас к исходной системе (см. п. 5.1.5). По доказанному первая система тогда будет следствием второй, и всё доказано.

Докажем, что вторая система является следствием первой. Для преобразований первых двух типов это совершенно очевидно. Совершим преобразование третьего типа, прибавив к i-й строке j-ю строку, умноженную предварительно на число α. При этом из­менится только i-е уравнение, поэтому я здесь выпишу только его:

Пусть − какое-либо решение исходной (первой) системы. Тогда по определе­нию понятия решения выполняются числовые равенства:

Если подставить наше решение в новую систему, то все равенства, кроме i-го, бу­дут выглядеть точно так же и поэтому выполняются. i-е же равенство будет выглядеть так:

Чтобы убедиться, что оно тоже выполняется, достаточно взять i-е равенство системы (1*) верных числовых равенств и прибавить к нему j-е равенство той же системы, предвари­тельно умножив его на α. Предложение доказано.

5.2.3. Теорема C. F. Gauss’а (о системах линейных уравнений)

Лемма. Если в системе линейных уравнений совершить одно элементарное преоб­разование, то расширенная матрица новой системы может быть получена из расширенной матрицы старой системы с помощью совершения аналогичного (точно такого же, я буду говорить одноимённого) преобразования.

Доказательство: это очевидно.

Следствие. Если в расширенной матрице A системы линейных уравнений (1) со­вершить одно элементарное преобразование над её строками и таким образом прийти к новой матрице B, а затем одноимённое преобразование совершить над системой уравне­ний (1), то расширенная матрица новой системы (2) совпадёт с матрицей B.

Доказательство. В силу леммы расширенная матрица системы (2) может быть по­лучена из матрицы A, т. е. расширенной матрицы системы (1), с помощью совершения преобразования, одноимённого тому, которое было совершено нами над системой уравне­ний (1). С другой стороны, это последнее преобразование было одноимённо тому, которое мы совершили над матрицей A. Таким образом, расширенная матрица системы (2) может быть получена из A с помощью того же самого преобразования, которое мы в самом на­чале совершили над матрицей A. Значит, эта новая расширенная матрица совпадает с B, QED.

Теорема (C. F. Gauss’а, о системах линейных уравнений). Всякая система линей­ных уравнений с помощью конечного числа элементарных преобразований может быть приведена к такой системе уравнений, расширенная матрица которой является главной ступенчатой.

Доказательство. Приведём расширенную матрицу данной системы уравнений с помощью серии элементарных преобразований над её строками к главному ступенчатому виду. Теперь будем совершать над самой данной системой одноимённые преобразования. По следствию из леммы на каждом этапе очередная матрица будет расширенной матрицей соответствующей системы уравнений. Значит, и последняя, главная ступенчатая, матрица будет служить расширенной матрицей последней системы, QED.

Важно, что на каждом этапе в силу предложения из предыдущего пункта система уравнений переходит в эквивалентную. На этом основан метод C. F. Gauss’а решения систем, при котором система приводится с помощью серии элементарных преобразований к главному ступенчатому виду. Множество всех решений системы при этом не меняется, так что достаточно решить последнюю систему. А системы, имеющие главный ступенча­тый вид, решаются очень легко, как будет видно из следующего пункта.

5.2.4. Решение ступенчатых систем уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений, расширенная матрица которой является главной ступенчатой. Допуская известную вольность речи, будем такие системы называть ступенчатыми.

Определение. В ступенчатой системе уравнений неизвестные, соответствующие главным столбцам, называются главными неизвестными, все остальные − свободными не­известными.

Здесь надлежит различать три случая.

1°. Столбец свободных членов является главным. В этом случае система несовме­стна.

В самом деле, пусть главный элемент последнего столбца расширенной матрицы (т. е. столбца свободных членов) находится в i-й строке. Тогда i-е уравнение имеет сле­дующий вид:

(Напомню, что все главные элементы главной ступенчатой матрицы равны 1, а левее лю­бого главного элемента всегда стоят одни нули.) Ясно, что такое уравнение не имеет ре­шений, тем более не может иметь решений вся наша система.

2°. Все столбцы, кроме последнего, главные. (Другими словами: нет свободных не­известных, а столбец свободных членов не является главным, т. е. не содержит главных элементов.) В этом случае в i-м столбце на i-м месте стоит 1 (i ≤ n), на остальных местах − нули. После отбрасывания нулевых уравнений придём к эквивалентной системе, которая в нашем случае приобретает следующий вид:

Ясно, что такая система имеет решение, и притом единственное, а именно, . Система является определённой.

3°. Есть свободные неизвестные, но столбец свободных членов не является глав­ным. Покажем, что в этом случае система имеет бесконечно много решений (и, следова­тельно, является неопределённой). Отбросим в расширенной матрице нулевые строки (они сосредоточены внизу матрицы), что приведёт к эквивалентной системе. Можно счи­тать, что исходная расширенная матрица не была нулевой (для нулевой матрицы доказы­ваемое утверждение очевидно), так что хотя бы одна строка останется. Теперь число строк в матрице равно числу главных неизвестных. Для удобства переобозначим неизвестные: пусть y1, y2, …, yr − главные неизвестные, а z1, z2, …, zn−r − свободные. Разнесём теперь не­известные в разные части: главные неизвестные оставим в левых частях уравнений, а сво­бодные перенесём в правые части, естественно, с противоположным знаком (свободные члены также остаются в правых частях). Получится система, эквивалентная исходной, следующего вида:

Мы видим, что здесь все главные неизвестные явно выражены через свободные, причём эти выражения (правые части) представляют собою линейные функции, т. е. ли­нейные комбинации свободных неизвестных плюс свободный член. Как же решить полу­чившуюся систему? Придадим свободным неизвестным произвольные значения и вычис­лим по написанным формулам соответствующие значения главных неизвестных. Оче­видно, что в совокупности мы получим решение нашей системы. Более того, каждое ре­шение можно получить таким способом при подходящем выборе свободных неизвестных, так как все неизвестные всегда будут связаны соотношениями (3). В этом смысле фор­мулы (3) описывают множество всех решений нашей системы, т. е задают, как говорят, её общее решение. И ясно, что решений будет бесконечно много, потому что хотя бы одно свободное неизвестное у нас есть, значит, придать определённые значения свободным не­известным мы можем бесконечным числом различных способов, и получающиеся реше­ния будут различны.

Попутно мы фактически доказали следующие два утверждения.

Теорема 1 (критерий совместности ступенчатой системы). Система уравнений, расширенная матрица которой имеет главный ступенчатый вид, совместна тогда и только тогда, когда столбец свободных членов не является главным.

Теорема 2. Если система линейных уравнений имеет более одного решения, то она имеет бесконечно много решений.

Таким образом, линейная система не может иметь, например, ровно семь решений.

5.2.5. Однородные системы уравнений

Так называются системы линейных уравнений, в которых все свободные члены равны нулю:

Такая система всегда совместна, т. к. она всегда имеет решение (нулевое, или тривиальное решение).

Теорема. Если в однородной системе линейных уравнений (4) число уравнений s строго меньше числа неизвестных n, то такая система имеет хотя бы одно нетривиальное решение.

Доказательство. Приведём нашу систему к главному ступенчатому виду. На всех этапах однородность, очевидно, сохраняется. После отбрасывания нулевых уравнений мы получим однородную систему уравнений, эквивалентную исходной. Число её уравнений строго меньше числа неизвестных, так как число неизвестных не изменилось, а число уравнений даже могло уменьшиться. Но число строк теперь равно числу главных элемен­тов, а значит, числу главных столбцов и числу главных неизвестных. Таким образом, число главных неизвестных строго меньше общего числа неизвестных. Значит, есть сво­бодные неизвестные, а тогда система неопределённая (нулевой столбец свободных членов не может быть главным) и имеет бесконечно много решений. Значит, есть и ненулевые решения, QED.

[1] При этом результат ставится в первую из этих двух строк, а вторая из них, равно как и все осталь­ные строки матрицы, не меняется.

[2] ́дрих Га́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг − 23 февраля 1855, Гёттинген) − великий немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён.

[3] При этом результат ставится на место первого из этих двух уравнений, а второе из них, равно как и все осталь­ные, не меняется.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Как называется система линейных уравнений в которой все свободные числа равны нулю

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: . Поскольку A -1 A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А -1 .

Решите матричное уравнение AX+B=C, где

Из уравнения получаем .

Следовательно,

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .

1. При
2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

🌟 Видео

Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать

Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Базисные решения систем линейных уравнений (02)Скачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать