Как найти значения k и b в уравнении y kx b

Функция называется линейной, если ее можно записать в виде (y=kx+b), где (k) и (b) -некоторые числа.

Функция не всегда сразу задана в виде (y=kx+b), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, (y=6(x-1)+10x) — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим (y=16x-6).

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций (y=2x), (y=fracx-5), (y=8).

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

Как меняется график при разных (k)?

Чтобы определить, как влияет на график коэффициент (k), построим несколько функций разными (k): (frac),(-frac),(2),(-2) и (0). При этом во всех функциях сделаем (b) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
То есть, построим графики для функций: (y=fracx), (y=-fracx), (y=2x), (y=-2x), (y=0).

Заметьте, что при (k=2) и (frac) — функция возрастает, а при (k=-2) и (-frac) — убывает. На самом деле:

При любом (k>0) функция возрастает и при любом (k модуль (k), тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

1. Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус.
2. Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:

Чтобы определить значение (k) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях (|k|=frac). То есть на первом графике (k=2),а на втором (k=-frac).

Как меняется график при разных значениях (b)?

Чтобы определить, как (b) влияет на график, построим несколько функций с разными (b): (6), (2), (0), (-3) и (-8). При этом (k) пусть во всех функциях будет равен (2).

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на (b) (если (b>0)) либо опускается на (|b|) если
((b 0),(b>0)2) (k 0)3) (k 0), (b 0). Подходит вариант под цифрой 2).

B. — функция возрастает — (k>0). Точка пересечения оси (y) и прямой находится выше нуля, значит (b>0). Подходит вариант под цифрой 1).

Отмечаем точку (b) на оси игреков.

От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю (k), и вверх на количество клеточек равное числителю (k) (если (k>0)) или вниз на тоже количество (если (k 0). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на (3). Ставим точку.

Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции (y=-frac x-3).

(b=-3) отмечаем точку с этим значением на оси (y).

(k=-frac), (k

Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте

Смотрите нас в YouTube

Коэффициенты k и b

Содержание

Положение прямой на графике зависит от величины коэффициентов $k$ и $b$

Коэффициент $k$ называют угловым, так как он показывает угол наклона линейной функции на графике относительно оси $Ox$

При $k > 0$ угол между графиком и осью $Ox$ меньше $90 degree$ (острый)

При $k

Коэффициент b

Коэффициент $b$ называют свободным. На графике он показывает длину отрезка, который отсекает линия функции по оси ординат относительно начала координат.

Другими словами, коэффициент $b$ показывает, насколько график сдвинут вдоль оси $Oy$. Если $b > 0$, то график будет сдвинут вверх, и если $b

Так на нашем графике функции из примера про копилку видно, что прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат на $500$ единиц (этому числу и равен коэффициент $b$).

График функции $y=50x + 500$

Частные случаи. b = 0

В случае, когда коэффициент $b = 0$, а функция прямо пропорциональна, ее график будет проходить через начало координат $O(0;0)$. Ведь при подставлении в формулу $x = 0$ получим и $y = 0$.

Для построения графика такой функции достаточно найти одну точку, вторая – начало координат $О(0;0)$.

Важно: график в виде вертикальной прямой, параллельной оси $Oy$, не является графиком функции. В таком случае одному значению аргумента соответствует множество значений $y$. Это не наш случай, потому что он не соответствует самому определению функции.

При этом прямой, параллельной оси $Ox$, график функции может быть. Это возможно, когда коэффициент $k = 0$. Угол наклона также будет равен $0$. Формула принимает вид $y = b$.

Линейная функция y = kx+b и её график

Определение линейной функции

Рассмотрим движение машины по прямой со скоростью 50 км/ч, но не из начальной точки. Допустим, что мы уже находимся на расстоянии 20 км от начала координат и будем удаляться. Тогда зависимость расстояния до начала координат от времени s = 50t+20. От прямой пропорциональности s = 50t эту формулу отличает дополнительное слагаемое, связанное с ненулевыми начальными условиями.

Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:

$$<left< begin- infty lt x lt + infty — аргумент, quadлюбое quad действительное quad число \ k = const quad — параметр, quad константа \ b = const quad — параметр, quad константа \ y = kx+b quad — функцияend right.>$$

Функция такого вида называется линейной .

Прямая пропорциональность y = kx является частным случаем линейной функции y = kx+b, при k $neq$ 0 и b = 0.

График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая.

Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:

Алгоритм построения графика линейной функции

• Выбрать два произвольных значения аргумента $x_1, x_2$
• Вычислить соответствующие значения функции $y_1 = kx_1+b, y_2 = kx_2+b$
• Отметить на координатной плоскости точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$
• Провести прямую через точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$

Эта прямая – график линейной функции y = kx+b.