Как найти x из уравнения в маткаде (8 видео)

Как найти x из уравнения в маткаде

Электронный курс по MathCAD

Лекция 5.
Решение уравнений и систем.

Содержание

5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).
5.3 Задание.
5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
Линейные алгебраические уравнения.
Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.
Иррациональное уравнения (уравнения с радикалами).
Как найти x из уравнения в маткаде
Как найти x из уравнения в маткаде
🔍 Видео

5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.

5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).

5.3 Задание.

5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.

Линейные алгебраические уравнения.

Определение: Уравнение вида ax+b=0 с заданным базовым множеством G_x, a из G_a , b из G_b называется линейным уравнением.

Этапы решения при помощи Mathcad:

Ввести уравнение (знак «=» вводится при помощи комбинации [Ctrl++]).
Выделить курсором переменную, относительно которой должно быть решено уравнение.
Выбрать команду Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы).

При решении линейных уравнений (без параметров) или дробных уравнений, которые сводятся к линейным, MathCAD находит все существующие решения. Однако при этом следует правильно интерпретировать сообщения, выдаваемые системой.

Нормальный случай.

В качестве решения MathCAD выдает число — это означает,

что уравнение однозначно разрешимо (однозначное решение линейного уравнения над множеством действительных чисел, которое одновременно является областью определения этого уравнения).

Рассмотрим другой пример:

После выполнения описанных выше действий для нахождения решения Mathcad выдает сообщение о том, что решение не найдено.

Проанализировав данное уравнение приходим к выводу, что выданное Mathcad сообщение означает, что решений нет L=.

MathCAD выдает сообщение «Решение не найдено», даже если уравнение имеет «формальное решение», которое не принадлежит области определения (смотри примеры ниже).

Многозначность.
Если в качестве решения MathCAD выдает имя переменной, это означает, что множество решений уравнения совпадает с областью определения. Однако, такие понятия, как множество решений уравнения и область определения, отсутствуют в MAthCAD и он не выписывает оболасть определения. Вы можете найти область определения, решая с помощью Mathcad систему неравенств или уравнений

Такой результат, выданный Mathcad после выполнения действий по решению уравнения, означает, что любое значение x из базового множества удовлетворяет этому уравнению, т. е. L=R.

Дробные уравнения

Команда Solve (Вычислить) из подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы)выдает множество решений: L = .

Решение 6 копируем в буфер, а затем выделяем маркером переменную x и активизируем команду Substitute (Замена) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы) для замены переменной значением 6.

Рассмотрим другой пример:

Последнее уравнение (рисунок справа) условно эквивалентно уравнению:2x=4. Решение уравнения Mathcad: 2. Формальное решение x = 2 не входит в область допустимых значений. Mathcad выдает правильное сообщение!

Здесь также правильное решение: множество решений совпадает с областью допустимых значений L = D. Только следует учесть, что D=<R>.

Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.

Определение: Уравнение P(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-го порядка, если P(x) представляет собой полином степени n, при n=2 данное уравнение называется квадратным уравнением.

При решении такого рода уравнения необходимо выполнить те же действия, что и при решении линейных уравнений.

Квадратное уравнение.

Команда Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы) дает решение в виде вектора: L= .

Иррациональное уравнения (уравнения с радикалами).

Корни (радикалы) могут вычисляться в MathCAD либо при помощи знака корня (клавиши [Ctrl+]), либо как степени (клавиша [^] с дробными показателями. Знак квадратного корня вводится нажатием клавиши []. Знак корня и квадратный корень можно найти на панели Calculator (Калькулятор). Последовательность действий при решении уравнений с радикалами та же, что и при решении рассмотренных ранее уравнений.

С точки зрения теории, между решениями уравнений с радикалами и решением алгебраических уравнений имеется два важных различия, по крайней мере, при нахождении действительных решений.

Радикалы определены не везде в действительной области. Это обстоятельство приводит к необходимости находить область определени, прежде чем решать само уравнение. Данная проблема справедливо игнорируется MathCAD, поскольку он не может знать, во множестве каких чисел (действительных или комплексных) вы намерены решать уравнение. Выход: вы можете самостоятельно найти область определения, воспользовавшись при этом возможностями MathCAD, связанными с решениями неравенств.
Вторая проблема, возникающая при решении уравнений с радикалами, имеет принципиальный характер. Функция x 2 (как и любая другая функция с четным показателем) на является инъективной (проблема главных значений). В связи с этим возведение в квадрат обеих частей уравнения, содержащего квадратные корни, не является эквивалентным преобразованием. Как всегда, при применении к обеим частям уравнения не инъективного преобразования увеличивается множество решений. В результате в него могут войти «фиктивные» решения. Как ни удивительно, MAthCAD сам производит проверку решений на «фиктивность».

Классический случай решения уравнения с радикалами.

Mathcad распознает «фиктивные» решения (которые могут возникнуть в результате неэквивалентного преобразования «возведение в квадрат») и выдает верное сообщение: Решение не найдено. L =

В приведенных примерах демонстрируется способность MathCAD находить область определения иррационального уравнения путем решения неравенств.

Уравнения с радикалами третьей степени, как и уравнения с комплексными коэффициентами, не представляют для MathCAD никакой сложности.

Уравнения с параметрами.
При решении уравнений с параметрами MathCAD ведет себя по-разному, в зависимости от того, каким образом производятся символьные вычисления — с помощью символьного знака равенства или команд меню Symbolics.

В данном примере использование палитры символьных преобразований позволяет решить уравнение (solve) и упрстить результат (simplify)

Видео:Найти корень уравнения на заданном интервале (MathCad)Скачать

Как найти x из уравнения в маткаде

Для решения одного уравнения с одним неизвестным используется функция root. Аргументами этой функции являются выражение и переменная, входящая в выражение. Ищется значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Функция возвращает значение переменной, которое обращает выражение в ноль.

root( f(z), z)

Возвращает значение z, при котором выражение или функция f(z) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Первый аргумент есть либо функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

Второй аргумент — имя переменной, которое используется в выражении. Это та переменная, варьируя которую Mathcad будет пытаться обратить выражение в ноль. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

Рассмотрим пример, как найти a — решение уравнения e x = x 3 . Для этого выполните следующие шаги:

Определите начальное значение переменной x. Введите x:3. Выбор начального приближения влияет на корень, возвращаемый Mathcad (если выражение имеет несколько корней).

Определите выражение, которое должно быть обращено в ноль. Для этого перепишите уравнение e x = x 3 в виде x 3 — e x = 0. Левая часть этого выражения и является вторым аргументом функции root
Определите переменную a как корень уравнения. Для этого введите a:root(x^3[Space]-e^x[Space],x).

Напечатайте a=, чтобы увидеть значение корня.

При использовании функции root имейте в виду следующее:

Удостоверьтесь, что переменной присвоено начальное значение до начала использования функции root.
Для выражения с несколькими корнями, например x 2 — 1 = 0, начальное значение определяет корень, который будет найден Mathcad. На Рисунке 1 приведен пример, в котором функция root возвращает различные значения, каждое из которых зависит от начального приближения.
Mathcad позволяет находить как комплексные, так и вещественные корни. Для поиска комплексного корня следует взять в качестве начального приближения комплексное число.
Задача решения уравнения вида f(x) = g(x) эквивалентна задаче поиска корня выражения f(x) — g(x) =0. Для этого функция root может быть использована следующим образом:

Функция root предназначена для решения одного уравнения с одним неизвестным. Для решения систем уравнений используйте методику, описанную в следующем разделе “Системы уравнений”. Для символьного решения уравнений или нахождения точного численного решения уравнения в терминах элементарных функций выберите Решить относительно переменной из меню Символика. См. Главу “Символьные вычисления”.

Рисунок 1: Использование графика и функции root для поиска корней уравнения.

Что делать, когда функция root не сходится

Mathcad в функции root использует для поиска корня метод секущей. Начальное значение, присвоенное переменной x, становится первым приближением к искомому корню. Когда значение выражения f(x) при очередном приближении становится меньше значения встроенной переменной TOL, корень считается найденным, и функция root возвращает результат.

Если после многих итераций Mathcad не может найти подходящего приближения, то появляется сообщение об ошибке “отсутствует сходимость”. Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

Уравнение не имеет корней.
Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.
Выражение имеет локальные максимумы или минимумы между начальным приближением и корнями.
Выражение имеет разрывы между начальным приближением и корнями.
Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным (или наоборот).

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f(x)=0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее функция root будет сходиться к точному значению. roots;using plots to find

Некоторые советы по использованию функции root

В этом разделе приведены несколько советов по использованию функции root:

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, можно изменить значение встроенной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида TOL := 0.01. Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите из меню Математика команду Встроенные переменные и введите подходящее значение в поле TOL. Нажав “OK”, выберите из меню Математика команду Пересчитать всё, чтобы обновить все вычисления в рабочем документе с использованием нового значения переменной TOL.
Если уравнение имеет несколько корней, пробуйте использовать различные начальные приближения, чтобы найти их. Использование графика функции полезно для нахождения числа корней выражения, их расположения и определения подходящих начальных приближений. Рисунок 1 показывает пример. Если два корня расположены близко друг от друга, можно уменьшить TOL, чтобы различить их.
Если f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко . В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f(x)=0 на g(x)=0, где

Для выражения f(x) с известным корнем a нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x)=0, где h(x)=f(x)/(x-a). Подобный приём полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Часто бывает проще искать корень выражения h(x), определенного выше, чем пробовать искать другой корень уравнения f(x)=0, выбирая различные начальные приближения.

Решение уравнений с параметром

Предположим, что нужно решать уравнение многократно при изменении одного из параметров этого уравнения. Например, пусть требуется решить уравнение для нескольких различных значений параметра a. Самый простой способ состоит в определении функции

Чтобы решить уравнение для конкретного значения параметра a, присвойте значение параметру a и начальное значение переменной x как аргументам этой функции. Затем найдите искомое значение корня, вводя выражение f(a,x)=.

Рисунок 2 показывает пример того, как такая функция может использоваться для нахождения корней исследуемого уравнения при различных значениях параметра. Обратите внимание, что, хотя начальное значение x непосредственно входит в определение функции, нет необходимости определять его в другом месте рабочего документа.

Рисунок 2: Определение функции пользователя с функцией root.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения. Кроме того, функция polyroots возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. На Рисунках 3 и 4 приведены примеры использования функции polyroots.

polyroots(v)

Возвращает корни полинома степени . Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n+1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Функция polyroots всегда возвращает значения корней полинома, найденные численно. Чтобы находить корни символьно, используйте команду Решить относительно переменной из меню Символика. См. Главу “Символьные вычисления”.

Рисунок 3: Использование функции polyroots для решения задачи, изображенной на Рисунке 1.

Рисунок 4: Использование функции polyroots для поиска корней полинома.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:Mathcad-09. Пример: уравненияСкачать

Как найти x из уравнения в маткаде

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например: