Как найти уравнения задающие ортогональное дополнение подпространства

Ортогональным дополнением непустого подмножества [math]M[/math] евклидова пространства [math]mathbb[/math] называется множество векторов, ортогональных каждому вектору из [math]M[/math] . Ортогональное дополнение обозначается

forall mathbfin M Bigr>.[/math]

Рассмотрим примеры ортогональных дополнений евклидова пространства.

1. Ортогональным дополнением нулевого подпространства [math] <mathbf> triangleleft mathbb[/math] служит все пространство [math]mathbb colon, <mathbf>^= mathbb[/math] . Ортогональным дополнением всего пространства является его нулевое подпространство [math]mathbb^= <mathbf>[/math] .

2. Пусть в пространстве [math][/math] радиус-векторов (с началом в точке [math]O[/math] ) за даны три взаимно перпендикулярных радиус-вектора [math]overrightarrow[/math] , [math]overrightarrow[/math] и [math]overrightarrow[/math] . Тогда ортогональным дополнением вектора [math]overrightarrow[/math] является множество радиус- векторов на плоскости, содержащей векторы [math]overrightarrow[/math] и [math]overrightarrow[/math] , точнее, [math]<overrightarrow>^= operatorname(overrightarrow,overrightarrow)[/math] . Ортогональным дополнением векторов [math]overrightarrow[/math] и [math]overrightarrow[/math] служит множество радиус-векторов на прямой, содержащей вектор [math]overrightarrowcolon <overrightarrow,overrightarrow>^= operatorname (overrightarrow)[/math] . Ортогональным дополнение трех заданных векторов служит нулевой радиус-вектор: [math]<overrightarrow, overrightarrow, overrightarrow>^= <overrightarrow>[/math] .

3. В пространстве [math]P_2(mathbb)[/math] многочленов степени не выше второй со скалярным произведением (8.29) задано подмножество [math]P_0(mathbb)[/math] — многочленов нулевой степени. Найдем ортогональное дополнение этого подмножества. Для этого приравняем нулю скалярное произведение многочлена [math]p_2(x)=ax^2+bx+c[/math] на постоянный многочлен [math]p_0(x)=dcolon[/math] [math]langle p_2(x),p_0(x)rangle= acdot0+bcdot0+ccdot d=0[/math] . Поскольку величина [math]d[/math] произвольная, то [math]c=0[/math] . Следовательно, ортогональным дополнением подмножества [math]P_0(mathbb)[/math] является множество многочленов из [math]P_0(mathbb)[/math] с нулевым свободным членом.

Видео:Ортогональное дополнение. ТемаСкачать

Свойства ортогонального дополнения

Рассмотрим свойства ортогональных дополнений подмножеств n-мерного евклидова пространства [math]mathbb[/math] .

1. Ортогональное дополнение [math]M^[/math] непустого подмножества [math]Msubset mathbb[/math] является линейным подпространством, т.е. [math]M^ triangleleft mathbb[/math] , и справедливо включение [math]Msubset (M^)^[/math] .

В самом деле, множество [math]M^[/math] замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число, так как сумма двух век торов, ортогональных [math]M[/math] , ортогональна [math]M[/math] , и произведение вектора, ортогонального [math]M[/math] , на любое число является вектором, ортогональным [math]M[/math] . До кажем включение [math]Msubset (M^)^[/math] . Пусть [math]mathbfin M[/math] , тогда [math]langle mathbf,mathbfrangle=0[/math] для любого вектора [math]mathbfin M^[/math] . Но это означает, что [math]mathbfsubset (M^)^[/math] .

2. Пересечение любого непустого подмножества [math]Msubset mathbb[/math] со своим ортогональным дополнением есть нулевой вектор: [math]Mcap M^= <mathbf>[/math] .

Действительно, только нулевой вектор ортогонален самому себе.

3. Если [math]L[/math] — подпространство [math]mathbb

(Ltriangleleft mathbb)[/math] , то [math]mathbb=Loplus L^[/math] .

Действительно, возьмем в [math]L[/math] ортогональный базис [math](mathbf)= (mathbf_1, ldots,mathbf_k)[/math] . До полним его векторами [math](mathbf)= (mathbf_,ldots, mathbf_n)[/math] до ортогонального базиса [math](mathbf),,(mathbf)[/math] всего пространства [math]mathbb[/math] . Тогда произвольный вектор [math]mathbfin mathbb[/math] можно представить в виде суммы

где [math]mathbfin L[/math] , а [math]mathbfin L^[/math] , так как [math]langle mathbf,mathbf_irangle= sum_^mathbflangle mathbf_j, mathbf_i rangle_<_>=0[/math] для [math]i=1,ldots,k[/math] . Следовательно, любой вектор пространства [math]mathbb[/math] раскладывается по подпространствам [math]L[/math] и [math]L^[/math] , т.е. [math]mathbb= L+L^[/math] . Эта алгебраическая сумма является прямой суммой по свойству 2, поскольку [math]Lcap L^=<mathbf>[/math] . Следовательно, [math]mathbb=Loplus L^[/math] .

4. Если [math]Ltriangleleft mathbb[/math] , то [math]dim<L^>= dimmathbb-dim[/math] .

5. Если [math]L[/math] — подпространство [math]mathbb[/math] , то [math]L=(L^)^[/math] .

Из первого свойства следует включение [math]Lsubset(L^)^[/math] . Докажем, что [math](L^)^subset L[/math] . Действительно, пусть [math]mathbfin (L^)^[/math] . По свойству 3: [math]mathbf=mathbf+mathbf[/math] , где [math]mathbfin L,

mathbfin L^[/math] . Найдем скалярное произведение

Следовательно, [math]langle mathbf,mathbfrangle=0[/math] , и согласно аксиоме 4 скалярного произведения [math]mathbf=mathbf[/math] , поэтому [math]mathbf=mathbf+ mathbf= mathbf+mathbf=mathbfin L[/math] . Значит, [math](L^)^subset L[/math] . Из двух включений [math]Lsubset (L^)^[/math] и [math](L^)^ subset L[/math] следует равенство [math]L=(L^)^[/math] .

6. Если [math]L_1triangleleft mathbb[/math] и [math]L_2triangleleft mathbb[/math] , то [math](L_1+L_2)^=L_1^cap L_2^[/math] и [math](L_1cap L_2)^= L_1^+ L_2^[/math] .

Последние свойства аналогичны свойствам алгебраических дополнений.

Видео:Ортогональное дополнение (задача 1366)Скачать

Нахождение ортогонального дополнения подпространства

Ранее для описания подпространств линейных пространств использовались два способа описания (внешний и внутренний). Рассмотрим применение этих способов описания для нахождения ортогональных дополнений подпространств. Учитывая изоморфизм евклидовых пространств, будем рассматривать арифметическое пространство [math]mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27).

Для заданного подпространства [math]Ltriangleleft mathbb^n[/math] требуется найти его ортогональное дополнение [math]L^[/math] . В зависимости от способа описания подпространства [math]L[/math] используем одно из следующих двух утверждений.

1. Если подпространство [math]Ltriangleleft mathbb^n[/math] задано как линейная оболочка [math]L=operatorname(a_1,ldots,a_k)[/math] столбцов матрицы [math]A= begina_1&cdots&a_kend[/math] , то множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] является его ортогональным дополнением [math]L^triangleleft mathbb^n[/math] , т.е.

2. Если подпространство [math]Ltriangleleft mathbb^n[/math] задано как множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] [math]m[/math] уравнений с [math]n[/math] неизвестными, то линейная оболочка столбцов [math]a_1^T,ldots,a_m^T[/math] транспонированной матрицы [math]A^T=begina_1^T&cdots&a_m^Tend[/math] является его ортогональным дополнением [math]L^triangleleft mathbb^n[/math] , т.е.

где [math]a_i^T[/math] — i-й столбец матрицы [math]A^T[/math] .

Докажем, например, первое утверждение. Линейное однородное уравнение

1. В отличие от алгебраического дополнения [math]L^[/math] подпространстве [math]Ltriangleleft mathbb[/math] ортогональное дополнение [math]L^[/math] находится однозначно.

2. Ортогональное дополнение [math]L^[/math] подпространства [math]Ltriangleleft mathbb[/math] в силу свойства 3 является также и алгебраическим дополнением. Это обстоятельстве учитывалось при нахождении алгебраических дополнений при помощи утверждений (8.16) и (8.17), которые по существу совпадают с утверждениями (8.34) и (8.35).

Пример 8.19. В примере 8.10 для линейного подпространства [math]L= operatorname[(t-1)^2,(t+1)^3][/math] пространства [math]P_3(mathbb)[/math] многочленов не более, чем 3-й степени, было найдено алгебраическое дополнение

Доказать, что это алгебраическое дополнение является ортогональным дополнением подпространства [math]L[/math] евклидова пространства [math]P_3(mathbb)[/math] со скалярным произведением (8.29).

Решение. Для решения задачи достаточно показать, что образующие подпространства [math]L:[/math]

ортогональны образующим алгебраического дополнения [math]L^:[/math]

Видео:Ортогональное дополнение. ПримерСкачать

Учебное пособие: Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008

Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова

Институт математики, экономики и механики

( решение типовых задач)

Методические указания для студентов 1 курса

Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,

к-т ф-м н., доц. Савастру О.В.

Рецензенты: д-р ф-м н., проф. Евтухов В.М.,

к-т ф-м н., доц. Белозеров Г.С.

Рекомендовано к печати

Ученым советом ИМЭМ Одесского национального университета им. И. И. Мечникова

протокол № 1 от 5 февраля 2008 г.

1. Линейные пространства …………………………………. 5

1.1. Линейные пространства и подпространства………….5

1.2. Базис пространства, его размерность…………………6

1.3. Координаты вектора в данном базисе…………….…11

1.4. Сумма и пересечение подпространств………………12

2. Евклидовы и унитарные пространства ………….…. 17

2.1. Процесс ортогонализации Шмидта………………….17

2.3. Ортогональная проекция и перпендикуляр на подпространство……………………………………………………..20

3. Операторы в линейных пространствах……………. 23

3.1. Образ, ядро линейного оператора……………………28

3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах…..29

3.3. Собственные векторы и собственные значения..…. 31

3.4. Канонический корневой базис и жорданова нормальная форма…………………………………………………….34

4. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах..40

5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду…………………………………………………………. 45

Линейные пространства и линейные операторы представляют собой начало абстрактной части математики, с которой студенту в дальнейшем неоднократно придется иметь дело.

Эти методические указания по самостоятельной работе студентов предполагают использование следующего задачника:

И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений (если в тексте нет специальной оговорки):

¾ — произвольные пространства над некоторым полем ;

¾ — пространство — мерных строк (столбцов) с элементами из поля над полем (арифметическое пространство).

¾ — действительное — мерное арифметическое пространство;

¾ — комплексное — мерное арифметическое пространство;

¾ — пространства геометрических векторов (прямой, плоскости, пространства);

¾ — евклидовы пространства (с указанием размерности или без него);

¾ — подпространства данного пространства (— индекс, не связанный с размерностью);

¾ векторы рассматриваемого пространства; — нулевой вектор;

¾ скаляры из данного поля, — нуль этого поля;

¾ линейные операторы, в отдельных случаях – матрицы;

¾ матрицы линейных операторов в базисах соответственно ;

¾ размерности пространств ;

¾ ранги операторов (матриц) ;

¾ скалярное произведение в данном пространстве;

¾ векторное произведение в данном пространстве .

Основными типами задач этого параграфа являются следующие:

А) выяснение вопроса, будет ли данное множество с указанными операциями линейным пространством, подпространством;

В) выделение базиса пространства, определение его размерности;

С) вычисление координат вектора в данном базисе;

D) нахождение суммы, пересечения подпространств, их размерностей и базисов.

1.1. Линейные пространства и подпространства.

Для решения задач первой группы необходимо знание аксиом линейного пространства (вообще, не следует приниматься за решение задач любого раздела, не ознакомившись предварительно с основными понятиями и теоремами данного раздела). Заметим, что в группе аксиом линейного пространства содержатся требования неограниченной применимости, однозначности и замкнутости линейных операций, которые не выделены под отдельными номерами. Распространенная ошибка: забывают проверить выполнение этих условий.

В тех условиях, когда данное множество состоит из векторов некоторого известного пространства, полезной является следующая теорема (критерий подпространства):

Теорема. Подмножество векторов пространства над полем является подпространством тогда и только тогда, когда

1. замкнуто относительно сложения, т.е. ,

2. замкнуто относительно умножения векторов на любые скаляры из основного поля : .

Некоторые из задач требуют хорошего знания других разделов курса (элементарной теории матриц, квадратичных форм, систем линейных уравнений). Ниже мы подробнее остановимся на одной из этих задач.

1.2. Базис пространства, его размерность.

Построение базиса пространства, подпространства несколько упрощается, если мы располагаем некоторыми представлениями о размерности пространства, подпространства. Одним из наводящих соображений здесь может быть следующее. Подмножество векторов пространства выделяется из с помощью дополнительных условий, накладываемых на векторы. При этом, чем больше таких условий, тем меньшей, вообще говоря, будет размерность подпространства . Если , а выделено с помощью условий специального вида, то есть основания ожидать, что .

Задача 1.1. (№1297[4]) Доказать, что множество п -мерных векторов, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Множество образует линейное подпространство пространства , так как удовлетворяет критерию подпространства. Действительно, выделяется из с помощью одного условия , поэтому

1.

,

2.

.

Кроме того, нетрудно показать, что . Для этого рассмотрим векторы стандартного базиса . Векторы не принадлежат . Но построение базиса подпространства в ряде случаев удобно выполнить, исходя из стандартного базиса самого пространства, изменяя его векторы так, чтобы они «попали» в подпространство. Поэтому преобразуем векторы так, чтобы у них первая и последняя координаты были равны. Например, пусть . Рассмотрим систему векторов . Она образует базис , так как нетрудно проверить, что она является линейно независимой и каждый вектор из подпространства линейно выражается через вектора этой системы. А так как количество векторов системы равно , то и . Итак, наше предположение оказалось верным.

Линейные подпространства, размерности которых на 1 меньше размерности самого пространства называются гиперплоскостями .

В следующей задаче условий больше.

Задача 1.2. (№1298[4]) Доказать, что множество п -мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны нулю, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Для доказательства того, что является подпространством, нужно также воспользоваться критерием подпространства. Так как поэтому следует ожидать, что , где — наибольшее четное число, не превышающее (, если — четное, и , если — нечетное). Базисом является подсистема стандартного базиса пространства , содержащая векторы только с нечетными номерами.

Задача 1.3. Проверить, является ли множество многочленов степени 3 с вещественными коэффициентами подпространством пространства многочленов степени ().

Решение. Воспользуемся критерием подпространства. Проверим условие .

Пусть , тогда

,

так как степень суммы этих двух многочленов равна двум. Итак, множество не является подпространством.

Задача 1.4. (№№1291, 1308[4]) Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства пространства , если составляют все векторы из , у которых сумма координат .

Решение. Очевидно векторы стандартного базиса

(1 на — ой позиции ) множеству не принадлежат ни при каком . Однако, замена на векторах последнего нуля числом (-1) дает нам векторы из . Таким образом мы получаем систему векторов

из , которая линейно независима (почему?) и обязана быть базисом , ибо из условия задачи явно следует, что из и, следовательно, .

Попутно решен вопрос (и подтвердилась гипотеза) о размерности ( выделено из одним условием).

Задача 1.4. (№1306[4]) Пусть — неотрицательная квадратичная форма от неизвестных ранга . Доказать, что все решения уравнения =0 образуют мерное линейное подпространство пространства .

Поиск решения. Вспоминаем основные понятия теории квадратичных форм (матрица формы, ранг формы, определение формы). Очевидно, что более подробные записи данного уравнения в виде

, никак не указывают на способ решения задачи.

В процессе дальнейших размышлений начинаем понимать, что мы должны исходить из неотрицательной определенности формы . Нормальный вид такой формы

(1)

а множество решений уравнения =0 в этом случае состоит из векторов вида

, (2)

Где — произвольные числа из . Имеющийся опыт (задача 1.2) подсказывает, что множество векторов такого вида есть ()-мерное подпространство пространства . Но данная нам форма не обязательно нормальная. И здесь мы вспоминаем, что каждая неотрицательно определенная форма ранга невырожденным линейным преобразованием приводится к виду (1). Создается план решения: преобразовать форму к виду (1) , найти решения (2) уравнения =0 для преобразованной формы, а затем с помощью обратного преобразования построить решения уравнения =0 для данной формы .

Решение. По теореме о приведении квадратичной формы к нормальному виду существует невырожденное линейное преобразование

, приводящее форму к виду

Множество решений уравнения состоит из векторов где , то есть из векторов

.

Обозначим (1 на — ой позиции) и докажем, что множество решений уравнения =0 есть линейная оболочка системы векторов

.

Пусть . Тогда

Очевидно и другое:

Кроме того, система линейно независима (проверяется непосредственно). Составляем линейную комбинацию . Получаем . Мы пришли к матричному уравнению, которое имеет единственное решение, так как матрица является невырожденной.

.

Отсюда . Тем самым мы показали, что система является линейно независимой. Следовательно, — линейное пространство (по построению) и его размерность

1.3. Координаты вектора в данном базисе.

Решение вопроса о ранге системы векторов, заданных координатами в некотором базисе, выделение из системы ее максимальной линейно независимой подсистемы, выражение остальных векторов в виде линейных комбинаций векторов этой подсистемы сводится к решению этих же задач для системы строк (столбцов) координатной матрицы, которые подробно обсуждались в соответствующем параграфе первой части.

1.4.Сумма и пересечение подпространств.

Пусть — данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств и . находится по формуле

. (3)

Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения . В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй — с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали).

Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов

и

Решение. Обозначим , . Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе .

1 способ. Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов , . Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.

Итак, . Базис составляют .

. Базис составляют .

.

Базис составляют . По формуле (3) получаем . Базис пересечения будем искать из условия . Значит, представим в виде и . Приравниваем правые части . Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда будет образовывать базис пересечения.

Решив систему, строим ФСР.

Вектор образует базис .

2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов , и перебрасываем наверх сначала векторы , пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы , переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем.

Видео:Ортогональная проекция на подпространство. ПримерСкачать

Линейные и евклидовы пространства с примерами решения и образцами выполнения

Евклидово пространство — это вещественное линейное пространство, в котором зафиксирована симметричная положительно определенная билинейная форма. Значение билинейной формы на паре элементов называется скалярным произведением этих векторов.

Видео:Ортогональные многочлены. Изометрия унитарных пространств. Ортогональные подпространства. 4 лекцияСкачать

Линейные и евклидовы пространства

Определение линейного пространства

Определение:

Множество V элементов х, у, z,… называется линейным пространством (действительным или комплексным), если по некоторому правилу

I. любым двум элементам х и у из V поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый х + у и называемый суммой элементов х и у;

II. любому элементу х из V и каждому числу а (вещественному или комплексному) поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый ах и называемый произведением элемента х на число а, и эти правила сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам:

1. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность);
2. х + у = у + х (коммутативность)-,
3. во множестве V существует элемент θ такой, что для любого элемента х из V выполняется равенство х + θ = х;
4. для любого элемента х из V во множестве V существует элемент (-х) такой, что х + (-х) = θ;
5. а(х + у) = ах + ау;
6. (а + β)х = ах + βх;
7. а( β х) = (а β )х;
8. 1х = х.

Элемент θ называется нулевым элементом, а элемент (-х) — противоположным элементу х.
Элементы х, у, z,… линейного пространства часто называют векторами. Поэтому линейное пространство называют также векторным пространством.

Примеры линейных пространств

1. Совокупность свободных геометрических векторов V3 в пространстве с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. 1).

Этим же свойством обладают: совокупность V1 векторов на прямой и совокупность V2 векторов на плоскости.

2, Совокупность упорядоченных наборов () из n действительных чисел.

Операции — сложение и умножение на действительное число — вводятся так:

б) умножение на число —

Обозначение: Rn (n -мерное вещественное координатное пространство).

3. Совокупность всевозможных матриц Rmxn размера m х n с введенными правилами сложения матриц,

и умножения матрицы на число,

В частности, совокупность n-строк, R1xn и совокупность столбцов высоты m, Rmx1, являются линейными пространствами.

4. Множество С(-1, 1) вещественных функций, непрерывных на интервале (-1, I), с естественными операциями сложения функций и умножения функции на число.

Во всех приведенных примерах требования 1-8 проверяются непосредственно.

Простейшие свойства линейных пространств

1. Нулевой элемент θ определен однозначно.

Пусть θ1 и θ2 — нулевые элементы пространства V. Рассмотрим их сумму θ1 + θ2. Вследствие того, что θ2 — нулевой элемент, из аксиомы 3 получаем, что θ1+ θ2 = θ1, а так как элемент θ1 — также нулевой, то θ1 + θ2 = θ2 + θ1 = θ2 , т. е. θ1 = θ2 .

2. Для любого элемента х противоположный ему элемент (—х) определен однозначно.

Пусть x — и х_ — элементы, противоположные элементу х. Покажем, что они равны.

Рассмотрим сумму х_ + х + x — . Пользуясь аксиомой 1 и тем, что элемент x — противоположен элементу х, получаем:

Аналогично убеждаемся в том, что

Нетрудно убедится также в справедливости следующих свойств:

1. Для любого элемента х выполняется равенство 0х = θ.
2. Для любого элемента х выполняется равенство —х = (- 1)х.
3. Для любого числа а выполняется равенство аθ = θ.
4. Из того, что ах = θ, следует, что либо а = 0, либо х = θ.

Видео:ОртогональностьСкачать

Линейные подпространства

Непустое подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если для любых элементов х и у из W и любого числа а выполняются следующие условия:

Иногда говорят: «множество W замкнуто относительно указанных операций».

Примеры линейных подпространств

1.Множество векторов на плоскости V2 является линейным подпространством линейного пространства V3.

2. Совокупность решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными

образует линейное подпространство линейного пространства Rnx1. В самом деле, сумма решений однородной системы () является решением этой же системы и произведение решения системы (*) на число также является ее решением.

3. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на интервале (-1, 1) и обращающихся в нуль при t = 0, образует линейное подпространство линейного пространства С(— 1,1).

Сумма f(t) + g(t) функций f(t) и g(t), обращающихся в нуль при t = 0, t(0) = f(0) = 0, и произведение af(t) функции f(t), обращающейся в нуль при t = 0, f(0) = 0, на число а равны нулю при t = 0.

Свойства линейного подпространства

1. Если x1, …, хq — элементы линейного подпространства W, то любая их линейная комбинация также лежит в W.
2. Линейное подпространство W само является линейным пространством.

Достаточно убедиться лишь в том, что нулевой элемент 0 и элемент, противоположный произвольному элементу из W, лежат в W. Указанные векторы получаются умножением произвольного элемента х ∈ W на 0 и на -1: θ = 0х, -х = (- 1)х.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть V — линейное пространство, W1 w W2 — его линейные подпространства. Суммой W1 + W2 линейных подпространств W1 и W2 называется совокупность всевозможных элементов х пространства V, которые можно представить в следующем виде

где x1 лежит в W1, а х2 — в W2. Коротко это можно записать так:

Сумма линейных подпространств W1 и W2 нaзывается прямой, если для каждого элемента х этой суммы разложение (1) единственно (рис. 3).

Обозначение: W1⊕W2

Пересечением W1 ∩ W2 линейных подпространств W1 и W2 линейного пространства V называется совокупность элементов, которые принадлежат одновременно и линейному подпространству W1, и линейному подпространству W2.

Свойства пересечения и суммы линейных подпространств

1. Сумма W1 + W2 является линейным подпространством пространства V.

Возьмем в W1 + W2 два произвольных элемента х и у. По определению суммы подпространств найдутся элементы х1, у1, из W1 и х2, у2, из W2 такие, что

Это позволяет записать сумму х + у в следующем виде

Так как то сумма х + у лежит в W1 + W2.

Аналогично доказывается включение ах ∈ W1 + W2.

2. Пересечение W1 ∩ W2 является линейным подпространством пространства V.

3. Если нулевой элемент является единственным общим вектором подпространств W1 й W2 линейного пространства V, то их сумма является прямой — W1 ⊕ W2.

Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Линейная оболочка

Линейной оболочкой L(X) подмножества X линейного пространства V называется совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов из X,

Последнее читается так: «линейная оболочка L(X) состоит из всевозможных элементов у, представимых в виде линейных комбинаций элементов множества X».

Основные свойства линейной оболочки

1. Линейная оболочка L(X) содержит само множество X.
2. L(X) — линейное подпространство пространства V.

Сумма линейных комбинаций элементов множества X и произведение линейной комбинации элементов на любое число снова являются линейными комбинациями элементов множества X.

3. L(X) — наименьшее линейное подпространство, содержащее множество X.

Это свойство следует понимать так: если линейное подпространство W содержит множество X , то W содержит и его линейную оболочку L(X).

Пусть W — линейное подпространство, содержащее заданное множество X. Тогда произвольная линейная комбинация элементов множества X — элемент линейной оболочки L(X) — содержится и в подпространстве W.

Пример:

Рассмотрим в линейном пространстве R3 две тройки ξ = (1,1,0) и η = (1,0, I) (рис.4). Множество решений уравнения

является линейной оболочкой L(ξ , η) троек ξ и η.
Действительно, тройки (I, 1, 0) и (1, 0, I) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (2), и значит, любое решение этого уравнения является их линейной комбинацией.

Пример:

Рассмотрим в линейном пространстве С(- ∞, ∞) вещественнозначных функций, непрерывных на всей числовой оси, набор X одночленов 1, х,…, хn:

Линейная оболочка L(X) представляет собой совокупность многочленов с вещественными коэффициентами, степени которых не превосходят n.

Обозначение:

Видео:Лекция №;12. Ортогональное дополнение. Ортогонализация. Сопряженное пространствоСкачать

Линейная зависимость

Определение. Система элементов х1 . .. , хq линейного пространства V называется линейно зависимой, если найдутся числа a1,… , аq, не все равные нулю и такие, что
(1)

Если равенство (1) выполняется только при а1 = … = аq = 0, то система элементов x1,…, хq называется линейно независимой.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема:

Система элементов x1,…, хq (q ≥ 2) линейно зависима в том и только в том случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Предположим сначала, что система элементов x1,…, xq линейно зависима. Будем Считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент аq. Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на аq ≠ 0 получим, что элемент хq является линейной комбинацией элементов х1 …, хq:

Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных,

то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию

в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 ≠ 0). Значит, система элементов x1,…., хq линейно зависима.

Теорема:

Пусть система элементов х1,…,хq линейно независима и y=. Тогда коэффициенты a1 ,… ,аq определяются по элементу у единственным образом.
Пусть

Из линейной независимости элементов x1…, xq вытекает, что a1 — β1 = … = аq — βq = 0 и, значит,

Теорема:

Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Пусть первые q элементов системы х1 … , хq, xq+1… , xm линейно зависимы. Тогда найдется линейная комбинация этих элементов такая, что

и не все коэффициенты а1 … ,аq равны нулю. Добавляя элементы xq+1… , xm с нулевыми множителями, получаем, что и в линейной комбинации

равны нулю не все коэффициенты.

Пример. Векторы из V2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис.5).

Базис. Размерность

Упорядоченная система элементов e1,…, еn линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства, если элементы e1,…, еn линейно независимы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы п элементов можно построить n! упорядоченных систем.

Пример:

Пусть a, b, с — тройка некомпланарных векторов из Vз (рис.6). Тогда упорядоченные тройки а, b, с; b, с, а; с, а, b; b, а, с; а, с, b и с, b, а — различные базисы V3.

Пусть с = (e1 … еn) — базис пространства V.

Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел такой, что

В силу теоремы 2 числа — координаты элемента х в базисе с — определены однозначно.

Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейших действиях с ними.

и для любого числа а

Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это число.

Координаты элемента часто удобно записывать в виде столбца. Например,

— координатный столбец элемента в базисе e.

Разложим произвольную систему элементов x1,…, хq по базису e,

ли рассмотрим координатные столбцы элементов ч1,…, хq в этом базисе:

Теорема:

Система элементов х1,… ,хq линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе.

причем хотя бы один из коэффициентов λk отличен от нуля. Запишем это подробнее

Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что

Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов x1,…, xq равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами λ1,…, λg). Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима.

Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу (1).

Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу.

Теорема:

Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда всякая система из то элементов, где т > п, линейно зависима.

4 В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай m = п + 1.

Пусть x1. . ,хп+1 — произвольные элементы пространства V. Разложим каждый элемент по базису e = (е1 …, еп):

и запишем координаты элементов х1 …, xn+1 в виде матрицы, отводя j-й столбец координатам элемента xj, j = 1,…, п + 1. Получим матрицу из п строк и п + 1 столбцов —

Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ее строк, столбцы матрицы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов x1…..хп+1, то согласно теореме 4 система элементов x1…..хп+1 также линейно зависима.

Следствие:

Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового числа элементов.
Пусть базис e состоит из п элементов, а базис e’ из п‘ элементов. В силу только что доказанной теоремы из линейной независимости системы е’1,…, е’n заключаем, что п’ ≤ п. Меняя базисы e и e’ местами, в силу этой же теоремы получаем, что п ≤ п’.

Тем самым, п = п’.
Размерностью линейного пространства V называется число элементов базиса этого пространства.

Пример:

Базис координатного пространства R» образуют элементы

Система элементов e1,e2, …,еп линейно независима: из равенства

и значит, a1 = … = an = 0.

Кроме того, любой элемент из R» можно записать в виде линейной комбинации элементов e1…..еп: ‘

Тем самым, размерность пространства R» равна п.

Пример:

Однородная линейная система

имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. п — r, где r — ранг матрицы коэффициентов однородной системы, an — число неизвестных.

Пример:

Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + I.

Так как всякий многочлен P(t) степени не выше п имеет вид

то достаточно показать линейную независимость элементов

где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что ао = 0.

Продифференцируем равенство (3) по t:

Вновь положив t = 0, получим, что a1 = 0.

Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что a0 = a1 = … = ап = 0. Это означает, что система элементов e1 = I,… ,en+1 = t» линейно независима. Следовательно, искомая размерность равна n + 1.

Линейное пространство, размерность которого равна п, называется п-мерным.

Обозначение: dim V = п.

Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линейного пространства V равна п.

Ясно, что если W — подпространство n-мерного линейного пространства V, то dim W ≤ п.

Покажем, что в п-мерном линейном пространстве V есть линейные подпространства любой размерности k ≤ п.

Пусть e = (е1 … еn) — базис пространства V. Легко убедиться в том, что линейная оболочка

имеет размерность k.

По определению dim = 0.

Теорема:

О пополнении базиса. Пусть система элементов а1.. , аk линейного пространства V размерности п линейно независима и к

так как в нетривиальной линейной комбинации

коэффициент μ ≠ 0 вследствие линейной независимости системы а1…., аk.

Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b пространства V, то исходная система a1…, аk была бы базисом согласно определению. Но в силу условия k

строками которой являются координаты векторов а1, а2, а3, а4, равен четырем. Это означает, что строки матрицы А, а, значит, и векторы а1, а2, а3, а4 линейно независимы.

Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему k линейно независимых элементов

до базиса пространства R» , матрица

элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п — k строками вида

(0 … 1 … 0)

так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение.

Теорема:

Пусть W1 и W2 — линейные подпространства линейного пространства V. Тогда

Замена базиса

Пусть e = (e1 … еn) и e’ = (е’1, … е’n) — базисы линейного пространства V. Разложим элементы базиса e’ по базису с. Имеем

Эти соотношения удобно записать в матричной форме
(2)

называется матрицей перехода от базиса e к базису e’.

Свойства матрицы перехода

1. det S ≠ 0.

Доказательство этого свойства проводится от противного.

Из равенства detS = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти столбцы являются координатными столбцами элементов е’1,…, е’n в базисе e. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е’1…..с’n должны быть линейно зависимыми.

Последнее противоречит тому, что e’ — базис. Значит, допущение, что det S = 0, неверно.

2. Если и — координаты элемента х в базисах e и e’ соответственно, то:
(3)

Заменяя в формуле

e’j их выражениями (1), получаем, что

Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем

Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2.

3. S -1 — матрица перехода от базиса e’ к базису e.

Свойство 3 доказывается умножением обеих частей матричного равенства (2) на матрицу S -1 справа.

Видео:Ортогональная проекция на подпространство. ТемаСкачать

Евклидовы пространства

Вещественное линейное пространство V называется (вещественным) евклидовым пространством, если любым двум элементам х и у из V ставится в соответствие число, обозначаемое через (х,у), такое, что для любых элементов х, y,z и произвольного вещественного числа а выполняются следующие условия:

4. (х, х) ≥ 0; причем равенство нулю возможно в том и только в том случае, если х = θ.

Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у. Примеры евклидовых пространств.

1. В пространстве свободных векторов К] скалярное произведение векторов а и b определяется так:

2. Скалярное произведение произвольных элементов из координатного пространства R» можно определить формулой

3, Линейное подпространство евклидова пространства само является евклидовым пространством.

Пользуясь определением евклидова пространства, нетрудно доказать следующие свойства:

Теорема:

Неравенство Коши—Буняковского. Для любых двух элементов х и у евклидова пространства V справедливо неравенство

Если (х, х) = θ , то х = θ и неравенство выполняется вследствие того, что ( θ , у) = 0.

Обратимся к случаю (х, х) ≠ 0. Тогда (х, х) > 0. По определению скалярного произведения неравенство

справедливо для любых элементов х и у из пространства V и любого вещественного числа t. Запишем неравенство (1) подробнее:

Левую часть последнего неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно t. Из того, что знак этого квадратного трехчлена не изменяется при любых t, заключаем, что его дискриминант неположителен,

Перенося вычитаемое в правую часть, получаем требуемое неравенство.

Замечание:

Часто доказанное неравенство записывают в равносильной форме,

Следует подчеркнуть, что слева в этом неравенстве стоит абсолютная величина (модуль) скалярного произведения, а в правой части — нормы векторов х и у.

Определение:

Длиной (нормой) элемента х называется число |х|, вычисляемое по правилу

Ясно, что |х| ≥ 0 для любого х, причем равенство |х| = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.

Рассмотрим цепочку равенств:

Заменяя второе слагаемое на 2|(х, у)| ≥ 2(х, у) и применяя неравенство Коши—Буняковского |(х,у)| ≤ |х| • |у|, получаем, что

После извлечения квадратного корня приходим к неравенству треугольника:
|х + у| ≤ |х| + |у|
(рис.7).

Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова пространства называется число φ, подчиненное следующим двум условиям:

Определение угла корректно, так как согласно теореме 8 имеем

для любых ненулевых элементов х и у.

Элементы х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Для ортогональных элементов из соотношения (2) вытекает равенство

являющееся обобщением известной теоремы Пифагора’, квадрат длины суммы ортогональных элементов равен сумме квадратов их длин (рис. 8).

Система элементов f1…..f k называется ортогональной, если (fi, fj) =0′ при i ≠ j, и ортонормированной, если

Определение:

называют символом Кронекера.

Теорема:

Ортонормированная система элементов линейно независима.

Умножая обе части равенства

скалярно на элемент fj, j = 1 ,… ,k, получаем, что

И так как (fj, fj) = 1,то aj = 0, j = 1,…, k.

Метод ортогонализации

Покажем, как, пользуясь заданной системой линейно независимых элементов f1,… ,fk евклидова пространства Е, построить в нем ортонормированную систему из к элементов.

Для того, чтобы элемент

был ортогонален элементу g1, необходимо выполнение следующего равенства:

Тем самым, элемент

ортогонален элементу g1 (рис. 9 а).

Пользуясь построенными элементами g1, g2 и заданным элементом fз, построим элемент

ортогональный как элементу g1, так и элементу g2. Для этого коэффициенты β1 и β2 должны удовлетворять следующим условиям:

Таким образом, элемент
, (f3,g|) (f3,g2)

ортогонален элементам g1 и g2 (рис. 9 6).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что элемент

ортогонален элементам

Делением каждого элемента gi (i = 1…..k) на его длину |g

Базис e = (e1 … еn) евклидова пространства называется ортонормированным, или ортобазисом, если

Суммируя вышеизложенное, получаем следующий результат.

Теорема:

В любом евклидовом пространстве существует о ртонормированный базис.
Пример:

Методом ортогонализации построить ортоиормированный базис евклидова пространства Е по его базису

Полагаем b1 = a1 и b2 = а2 — ab1. Для того, чтобы вектор

был ортогонален вектору b1, необходимо выполнение неравенства

Для того, чтобы вектор

был ортогонален векторам b1 и b2, необходимо выполнение равенств

Тем самым, вектор

Система векторов b1, b2, b3 ортогональна. Поделив каждый вектор на его длину, получим

— ортонормированный базис пространства Е.

При помощи ортонормированного базиса скалярное произведение элементов вычисляется особенно просто. Пусть e = (e1 … еn) — ортонормированный базис пространства Е. Вычислим скалярное произведение элементов х и у, предварительно разложив их по базису e

Видео:Ортогональная проекция на подпространство. ОтветыСкачать

Ортогональное дополнение

Пусть W — линейное подпространство евклидова пространства V. Совокупность W⊥ элементов у пространства V, обладающих свойством

(y. х) = 0,

где х — произвольный элемент из W, называется ортогональным дополнением подпространства W. Другими словами, ортогональное дополнение W⊥ состоит из всех элементов у, ортогональных всем элементам подпространства W.

Свойства ортогонального дополнения

1. W⊥ — линейное подпространство пространства V. Пусть элементы y1, у2 лежат в W⊥ , т. е.

для любого элемента х из W. Складывая эти равенства и пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем,что

для любого элемента х из W. Это означает, что

Из того, что (у, х) = 0 для любого элемента х из W, вытекает равенство (ау, х) = а(у, х) и, значит, включение ay ∈ W⊥ .

Свойство 2 означает, что любой элемент х пространства V можно представить, причем единственным образом, в виде суммы элементов из W и W⊥ :

x = y+z. ‘ (*)

Элемент у ∈ W называется ортогональной проекцией элемента х на линейное подпространство W, а элемент z ∈ W⊥ — его ортогональной составляющей (рис. 11).

Покажем, как по заданным элементу х и линейному подпространству W найти его ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую г.

Можно считать, что в линейном подпространстве W задан ортонормированный базис e1…..еk. Запишем искомый элемент у в виде линейной комбинации

Подставляя это выражение в формулу (*):

и умножая обе части полученного равенства последовательно на элементы e1,…, еk, в предположении z ⊥ W приходим к соотношениям

обладают требуемыми свойствами. *

Пример:

Найти ортогональную проекцию вектора х = (4, 2, 3, 5) на линейное подпространство W ⊂ R4, заданное системой уравнений

Векторы a1 = (1,0,0,-1) и а2 = (0,1,-1,0) образуют фундаментальную систему решений и, следовательно, базис подпространства W. Кроме того, векторы a1 и а2 ортогональны. Для того, чтобы построить ортонормированный базис подпространства W, достаточно разделить эти векторы на иx длины. В результате получим

является ортогональной проекцией вектора х = (4,2, 3, 5), на подпространство W, а вектор

— его ортогональной составляющей.

Унитарные пространства

Унитарным пространством называется линейное комплексное пространство U, в котором каждой упорядоченной паре элементов х и у из U ставится в соответствие число — скалярное произведение (х, у) так, что для любых элементов х, у и z из U и любого комплексного числа а выполняются следующие соотношения:

1. (у, х) = (х, у) (черта в правой части указывает на операцию комплексного сопряжения);
2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z);
3. (ах, у) = а(х, у);
4. (х, х) ≥ 0, причем равенство (х, х) = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.

Пример:

В координатном пространстве Сn, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п комплексных чисел, скалярное произведение можно ввести так

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🎦 Видео

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

4.1 Сумма и пересечение подпространств.Скачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

1 5 Подпространство линейного пространстваСкачать

Лекция 22. Ортогональное дополнениеСкачать

[s2] Линейная алгебра, практика 5Скачать

01.02.2022 Подпространства и системы линейных уравнений, Сумма подпространств.Скачать

Вариант #20 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 БалловСкачать

Урок 2. Обратная матрица: метод Гаусса, алгебраическое дополнение | Высшая математика | TutorOnlineСкачать