Как найти уравнения директрис гиперболы

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

3.7.2. Директрисы гиперболы

У гиперболы, как и у эллипса, две директрисы, и определяются они точно так же.

В каноническом положении Как найти уравнения директрис гиперболыдиректрисы расположены между ветвями гиперболы и задаются теми же уравнениями Как найти уравнения директрис гиперболы, где «эпсилон» – эксцентриситет данной гиперболы.

В нашей задаче:
Как найти уравнения директрис гиперболы

Более того, для гиперболы справедлива абсолютно такая же теорема:

Гипербола – есть множество всех точек плоскости, таких, что отношение расстояния от каждой точки до фокуса к расстоянию от неё до соответствующей (ближайшей) директрисы равно эксцентриситету:
Как найти уравнения директрис гиперболы

То есть, для любой точки Как найти уравнения директрис гиперболыгиперболы отношение её расстояния до фокуса Как найти уравнения директрис гиперболык расстоянию от неё же до ближайшей директрисы Как найти уравнения директрис гиперболыравно эксцентриситету: Как найти уравнения директрис гиперболы. Для пары Как найти уравнения директрис гиперболыи любой точки Как найти уравнения директрис гиперболыгиперболы (ради разнообразия я выбрал демонстрационную точку дальней ветви) отношение такое же: Как найти уравнения директрис гиперболы

К слову, у параболы с её единственным фокусом и единственной директрисой по определению эти длины относятся «один к одному», поэтому эксцентриситет любой параболы и равен единице.

Ответ: искомая линия представляет собой гиперболу Как найти уравнения директрис гиперболыс центром симметрии в точке Как найти уравнения директрис гиперболыи повёрнутую на Как найти уравнения директрис гиперболыотносительно своего канонического положения. Каноническое уравнение: Как найти уравнения директрис гиперболы, фокусы: Как найти уравнения директрис гиперболы, эксцентриситет: Как найти уравнения директрис гиперболы, асимптоты: Как найти уравнения директрис гиперболы, директрисы: Как найти уравнения директрис гиперболы.

Но я вас просто так не отпущу 🙂 – всё-таки разберу второй способ приведения линии Как найти уравнения директрис гиперболык каноническому виду. Осуществим поворот системы Как найти уравнения директрис гиперболына угол Как найти уравнения директрис гиперболырадиан против часовой стрелки и её параллельный перенос в точку Как найти уравнения директрис гиперболы. Тогда в системе Как найти уравнения директрис гиперболыуравнение примет вид: Как найти уравнения директрис гиперболы.

Чертёж будет выглядеть точно так же, как и чертежи выше – с той поправкой, что гиперболу мы изобразим в системе Как найти уравнения директрис гиперболы. Соответственно, все вычисления будут проводиться в новых координатах, и переменные следует записывать со значком «тильда»: Как найти уравнения директрис гиперболы. В частности, асимптоты запишутся так: Как найти уравнения директрис гиперболы, а директрисы – так: Как найти уравнения директрис гиперболы.

Очень хотелось упростить и даже вообще не рассматривать эту задачу, но она взята из конкретной контрольной работы, причём, заочного отделения. Поэтому пришлось с упорным занудством разобрать все-все-все тонкости и технические приёмы.

Налью вам стакан молока за вредность и предложу задачу для самостоятельного решения, она проще:)

Задача 110

Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки Как найти уравнения директрис гиперболык расстоянию до прямой Как найти уравнения директрис гиперболыпостоянно и равно Как найти уравнения директрис гиперболы. Сделать точный чертеж.

Подумайте, о какой это точке и о какой прямой шепчет условие 😉 Краткое решение и чертёж в конце книги.

И теперь вы готовы! (в хорошем смысле:))

– готовы рассмотреть суперзадачу, к которой я вас морально и технически готовил чуть ли не с первых параграфов темы.

…анекдот тут ещё вспомнился садистский про готовку, но, пожалуй, не буду – он неэтичный 🙂

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Гипербола и её свойства

Видео:Гипербола (часть 7). Директрисы гиперболы. Высшая математика.Скачать

Гипербола (часть 7). Директрисы гиперболы. Высшая математика.

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac<x^><a^>-frac<y^><b^>=1.label
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Как найти уравнения директрис гиперболыРис. 8.6. Гипербола.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac<x^><a^>-frac<k^x^><b^>=1.
$$
Поэтому, если (b^-a^k^ > 0), то
$$
x=pm frac<sqrt<b^-a^k^>>.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^-a^k^)^). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

Как найти уравнения директрис гиперболыРис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Урок 11

Директрисы эллиПса и гиПерболы.

Директрисы эллиПса и гиПерболы.

оПреДеление. Две Прямые, ПерПенДикулярные большой оси эллиПса и расПоложенные симметрично относительно центра на расстоянии а/e от него, называются Директрисами эллиПса (гДе а — большая Полуось эллиПса, e — эксцентриситет)

оПреДеление. Две Прямые, ПерПенДикулярные Действительной оси гиПерболы и расПоложенные симметрично относительно центра на расстоянии а/e от него, называются Директрисами гиПерболы (гДе а — Действительная Полуось, e — эксцентриситет)

уравнения Директрис эллиПса и гиПерболы имеют виД: х= ± а/e.

с Помощью Понятия Директрисы и эксцентриситета можно сформулировать общее свойство, Присущее эллиПсу и гиПерболе.

теорема. если r — расстояние от Произвольной точки м эллиПса (гиПерболы) До какого-нибуДь фокуса, d — расстояние от этой же точки До соответствующей этому фокусу Директрисы, то отношение r/d есть Постоянная величина, равная эксцентриситету эллиПса (гиПерболы).

Данное свойство можно Положить в основу общего оПреДеления этих линий: множество точек, Для которых отношение расстояний До фокуса и До соответствующей Директрисы является величиной Постоянной, равной e, есть эллиПс, если e 1.

возникает воПрос, что ПреДставляет собой множество точек, При условии e=1. оказывается, это новая линия второго ПоряДка, называемого Параболой.

оПреДеление. Параболой называется множество всех точек Плоскости, кажДая из которых нахоДится на оДинаковом расстоянии от Данной точки, называемой фокусом, и от Данной Прямой, называемой Директрисой и не ПрохоДящей через фокус.

Пусть м(х,у) — Произвольная точка Параболы. обозначим через r расстояние от точки м До фокуса f, через d — расстояние от точки м До Директрисы, а через P — расстояние от фокуса До Директрисы.

величину P называют Параметром Параболы. точка м лежит на Параболе, если r=P.

уравнение Параболы: у 2 =2Pх (каноническое уравнение).

исслеДуем форму Параболы По ее каноническому уравнению (Для не отрицательных значений у):

если х у 2 =2Pху 2 =-2Pхх 2 =2Pух 2 =-2Pу

Пример. Дано уравнение Параболы у 2 =6х. составьте уравнение ее Директрисы и найти коорДинаты фокуса.

решение. сравнивая Данное уравнение с каноническим уравнением Параболы, Получим, что 2р=6, откуДа р=3. так как фокус Параболы имеет коорДинаты (р/2;0), а Директриса — уравнение х=-р/2, то Для Данной Параболы Получаем: коорДинаты фокуса (1,5; 0) и уравнение Директрисы х=-1,5.

уПражнения .

  1. составьте уравнение Параболы с вершиной в начале коорДинат и уравнение Директрисы Параболы, если известно, что осью симметрии является ось ох и что точка Пересечения Прямых у=х и у=2-х лежит на Параболе. (ответ: у 2 =х и х=-0,25)
  2. Даны точки а(-1;0) и в(2;0). точка м(х;у) Движется так, что в треугольнике амв угол авм остается вДвое больше угла мав. оПреДелить траекторию точки м. (ответ: гиПербола)
  3. Доказать, что если оси Двух Парабол взаимно ПерПенДикулярны и Параболы Пересекаются в четырех точках, то эти точки Пересечения лежат на оДной окружности.

Автор: Вяликова Мария Владимировна — учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области

🔍 Видео

§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

§29 Эксцентриситет гиперболы

IIT JEE 2010, Лист 1, Задача 50, Эксцентриситет гиперболыСкачать

IIT JEE 2010, Лист 1, Задача 50, Эксцентриситет гиперболы

213. Фокус и директриса параболы.Скачать

213. Фокус и директриса параболы.

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.

Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Написать каноническое уравнение гиперболы.  Дан эксцентриситет

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Кривые второго порядкаСкачать

Кривые второго порядка

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Лекция 14, 2021. Вывод уравнения эллипса и гиперболыСкачать

Лекция 14,  2021. Вывод уравнения эллипса и гиперболы

кривые второго порядка (решение задач)Скачать

кривые второго порядка (решение задач)

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Гипербола и её касательнаяСкачать

Гипербола и её касательная

Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графика
Поделиться или сохранить к себе: