Как найти уравнение прямой по двум точкам python

По введенным пользователем координатам двух точек вывести уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b . Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2 . Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.

Так как координаты точки это значения x и y , то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b :
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.

Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:

1. Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1 .
2. Получить значения координат ( x2, y2 ) второй точки.
3. Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2) .
4. Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2 .
5. Вывести на экран полученное уравнение.

Видео:Уравнение прямой по двум точкамСкачать

Вычислительная геометрия

Полезно помнить про документацию на модуль math (ужатая версия на русском). Там есть очень полезные функции, например, atan2 .

Для тех, кто допускает, что его жизнь будет так или иначе связана с программированием, рекомендуется создавать классы для базовых примитивов (точка, вектор, прямая, луч, окружность и т.п.) и определять соответствующие операции с ними. Например, разность двух точек может давать вектор, вектора можно скалярно и векторно перемножать. Сами вектора можно умножать на числа, складывать и вычитать. Прямую можно собрать по двум точкам, по точке и вектору, которому прямая должна быть параллельна или перпендикулярна. Функция «Пересечение» может выдавать список точек (возможно, пустой) И т.п. Здесь хороший простор для продумывания удобной архитектуры решения.

Видео:Решение простых задач на python | Найти уравнение прямой проходящей через две известные точкиСкачать

Русско-английский тематический словарик

0: Класс «Точка»

Реализуйте класс Pt , поддерживающих следующие операции:

• Создание из пары чисел или из строки;
• Сложение и вычитание точек;
• Умножение и деление на число (целое и действительное);
• Скалярное и косое произведения;
• Вычисление длины при помощи abs ;
• Проверка на равенство.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Могущество скалярного и косого (векторного) произведения

Рассмотрим какой-нибудь ненулевой вектор $overrightarrow$ на плоскости. Для каждого вектора $overrightarrow$ посчитаем скалярное и векторные произведения. И в зависимости от знаков и равенства нулю покрасим области разным цветом. В результате плоскость будет разбита на 4 четвертушки, 4 луча и точку. Это позволяет очень быстро и эффективно определять взаимное расположение точек и векторов.

Видео:Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Упражнения на векторные и скалярные произведения

A: Расстояние между двумя точками

Даны координаты двух точек. Найдите расстояние между ними.

Для решения используйте math.hypot .

B: Полярный угол точки

Даны два числа – координаты точки, не совпадающей с началом координат. Выведите ее полярный угол (величину от 0 до $2pi$).

Для решения используйте math.atan2 .

C: Угол между векторами

Даны четыре числа: координаты двух невырожденных векторов.

Выведите величину неориентированного угла между ними.

Для решения используйте math.atan2 .

D: Площадь треугольника

Даны шесть чисел: координаты трех вершин треугольника.

Выведите значение площади треугольника.

В решении разрешается использовать только скалярное и косое произведения. Никаких корней и тригонометрии.

E: Классификация векторов

Даны четыре числа: координаты двух ненулевых векторов. Если эти вектора коллинеарны, выведите 1. Если эти вектора перпендикулярны, выведите 2. Иначе выведите 0.

В решении разрешается использовать только скалярное и косое произведения. Никаких корней и тригонометрии.

F: Три точки

Программа получает на вход шесть чисел: координаты трех точек.

Программа должна вывести YES , если эти точки лежат на одной прямой, или NO в противном случае.

В решении разрешается использовать только скалярное и косое произведения. Никаких корней и тригонометрии.

G: Принадлежность точки лучу

Программа получает на вход шесть чисел: координаты точки и координаты начала и конца вектора. Проверьте, принадлежит ли данная точка лучу, задаваемому данным вектором.

Программа должна вывести YES , если точка принадлежит лучу, или NO в противном случае.

В решении разрешается использовать только скалярное и косое произведения. Никаких корней и тригонометрии.

H: Принадлежность точки отрезку

Программа получает на вход шесть чисел: координаты точки и координаты концов отрезка. Проверьте, принадлежит ли данная точка данному отрезку.

Программа должна вывести YES , если точка принадлежит отрезку, или NO в противном случае.

В решении разрешается использовать только скалярное и косое произведения. Никаких корней и тригонометрии.

I: Расстояние от точки до луча

Дано шесть чисел: координаты точки, координаты начала и конца вектора.

Программа должна вывести единственное число: расстояние от точки до луча, заданного вектором.

В решении разрешается использовать только скалярное и косое произведения. Никакой тригонометрии.

J: Расстояние от точки до отрезка

Дано шесть чисел: координаты точки и координаты двух концов отрезка.

Программа должна вывести единственное число: расстояние от данной точки до данного отрезка.

В решении разрешается использовать только скалярное и косое произведения. Никакой тригонометрии.

K: Принадлежит ли точка углу

Дан угол AOB (O — вершина угла, A и B — точки на сторонах) и точка P. Определите, принадлежит ли точка P углу AOB (включая его стороны: лучи OA и OB).

Программа получает на вход координаты точек A, O, B, P. Все координаты — целые, не превосходят 100 по модулю. Точки A, O, B не лежат на одной прямой.

Программа должна вывести слово YES или NO.

В решении разрешается использовать только скалярное и косое произведения. Никаких корней и тригонометрии.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Подгонка кривой в Python с помощью библиотеки SciPy

Аппроксимация кривой в Python – это разновидность оптимизации, которая находит оптимальный набор параметров для определенной функции, подходящий для предоставленного набора наблюдений.

В отличие от обучения с учителем, аппроксимация кривой требует от нас определения функции, отображающей примеры входов и выходов.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Вступление

Функция, которая используется для отображения, также известна как базовая функция, и она может формировать все, что мы предпочитаем, например прямую линию (линейная регрессия), изогнутую линию (полиномиальная регрессия) и многое другое. Эта функция отображения предлагает гибкость и контроль для определения формы кривой, где процесс оптимизации используется для нахождения конкретных оптимальных аргументов функции.

В данном руководстве мы разберем, что такое аппроксимация кривой и как мы можем ее выполнить в Python.

К концу урока мы поймем следующее:

1. Подгонка кривой включает в себя поиск оптимальных аргументов для функций, отображение примеров входов и выходов.
2. Библиотека SciPy Python предлагает интерфейс прикладного программирования (API) для подгонки кривой к набору данных.
3. Использование подгонки кривой в SciPy для подгонки множества различных кривых к набору наблюдений.

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Что такое подгонка кривой в Python?

Как мы обсуждали ранее, подгонка кривой в Python – это задача оптимизации, которая позволяет нам найти линию, подходящую для набора наблюдений.

Это становится проще, когда мы представляем себе кривую, подбираемую в двух измерениях, как график.

Предположим, мы собрали примеры данных из проблемной области, включая входные и выходные данные.

Ось X графика действует как независимая переменная, которая является входом для функции. С другой стороны, ось Y графика действует как зависимая переменная, которая является выходом функции. Мы можем не знать форму функции, которая отображает примеры входов на выходы; однако мы можем аппроксимировать функцию, используя стандартную форму функции.

Аппроксимация кривой включает следующие этапы:

1. Прежде всего, определите функциональную форму функции отображения (также известной как целевая функция или базовая функция).
2. Во-вторых, найдите аргументы функции, которые приводят к минимальной ошибке.

Ошибка оценивается с использованием наблюдения, предоставленного областью, и передачи входных данных целевой функции кандидата и оценки выходных данных. Расчетный результат сравнивается с экспериментальным.

После того, как мы закончили подгонку, мы можем использовать базовую функцию, чтобы интерполировать или экстраполировать новые точки в области. Обычно последовательность значений входных данных выполняется с использованием базовой функции для оценки последовательности выходных данных. После этого мы строим линейный график на основе результата, демонстрируя разницу между входом и выходом и подгоняя линию к наблюдаемым точкам.

Объяснение аппроксимации кривой – это форма базовой функции. Прямая линия между входами и выходами может быть описана с помощью формулы, приведенной ниже:

Где y – предполагаемый результат, x – это вход, а a и b – аргументы базовой функции, найденной с помощью алгоритма оптимизации.

Это уравнение известно как линейное уравнение, поскольку оно представляет собой взвешенное сложение входных данных.

В модели линейной регрессии эти аргументы указываются как коэффициенты, тогда как в нейронной сети эти аргументы называются весами.

Мы можем обобщить это уравнение на любое количество входных данных, подразумевая, что понятие аппроксимации кривой не привязано к двум измерениям (где одно является входным, а другое – выходным). Однако оно может содержать несколько переменных для ввода.

Например, формула для линейной целевой функции для двух входных переменных может выглядеть так, как показано ниже:

y = a1 × x1 + a2 × x2 + b

Необязательно, чтобы уравнение представляло собой прямую линию.

Мы можем определить кривые целевой функции, вставив экспоненты. Например, мы можем вставить квадратную версию ввода, представленную другим аргументом, как описано ниже:

у = а × х + Ь × х2 + с

Это уравнение называется полиномиальной регрессией, а член уравнения в квадрате относится к полиному второй степени.

Этот тип линейных уравнений может быть составлен путем уменьшения наименьших квадратов и оценен аналитически, что означает, что мы можем найти оптимальные значения аргумента с помощью некоторой линейной алгебры.

Некоторые из нас могут также захотеть включить в уравнение другие математические функции, такие как sin, cos, tan и многие другие. Каждый член уравнения взвешивается с использованием аргумента и добавляется ко всему уравнению, чтобы получить следующий результат:

у = а × sin(Ь × х) + с

Добавляя произвольные математические функции к целевой функции, мы не можем оценить аргументы аналитически; однако нам потребуется использовать алгоритм для итеративной оптимизации.

Это уравнение считается нелинейным методом наименьших квадратов, потому что функция отображения больше не является выпуклой (она нелинейная), и ее относительно не легче решить.

Поскольку мы успешно уяснили, что такое подгонка кривой, пора нам перейти к вопросу, как подгонка кривой может быть выполнена в Python.

Видео:#5. Математические функции и работа с модулем math | Python для начинающихСкачать

Выполнение аппроксимации кривой в Python

Подгонку кривой можно выполнить для набора данных с помощью Python. Python предоставляет библиотеку с открытым исходным кодом, известную как пакет SciPy. Этот пакет включает функцию, известную как функция curve_fit(), которая используется для подгонки кривой с помощью нелинейных наименьших квадратов.

Функция curve_fit() принимает те же входные и выходные данные, что и параметры, в дополнение к имени целевой функции, которую нужно использовать.

Целевая функция должна включать примеры входных данных и небольшое количество параметров. Оставшиеся параметры станут коэффициентами или весовыми константами, которые оптимизируют процесс нелинейной оптимизации методом наименьших квадратов.

Давайте рассмотрим демонстрационный пример, чтобы понять эту концепцию.

Предположим, что у нас есть несколько наблюдений из области, загруженной как x количество входных переменных и y количество выходных переменных.

Теперь нам нужно разработать целевую функцию, чтобы подогнать строку к данным и реализовать ее как функцию в Python, которая принимает входные данные, а также параметры.

Предположим, что функция представляет собой прямую линию, которая будет выглядеть, как показано ниже:

Как только функция определена, мы можем вызвать функцию curve_fit(), чтобы подогнать прямую линию к набору данных с помощью определенной функции сопоставления.

Функция curve_fit() вернет оптимальные значения целевой функции. Например, значения коэффициента. Функция также вернет матрицу ковариации для вычисленных аргументов; однако на это можно не обращать внимания.

После успешной подгонки мы можем использовать оптимальные аргументы и отображение целевой функции(), чтобы оценить результат для любого субъективного ввода.

Эта функция может включать выходы для примеров, которые мы уже собрали из домена. Также может включать некоторые новые значения, которые могут интерполировать наблюдаемые значения, и включать экстраполированные значения, выходящие за пределы наблюдаемых значений.

Поскольку мы поняли, как использовать API для подбора кривой, давайте посмотрим на рабочий пример.

Видео:Решение простых задач на python | Площадь и периметр прямоугольного треугольникаСкачать

Рабочий пример аппроксимации кривой в Python

Начнем с импорта необходимых пакетов и библиотек для проекта.

Когда мы закончим импорт пакетов, нам понадобятся тестовые данные для программы, чтобы реализовать аппроксимацию кривой. Итак, мы определяем базовые входные данные x и выходные данные y, как показано ниже.

После этого мы определим некоторые функции отображения, чтобы использовать метод curve_fit() и проверить их различия при подгонке. Мы будем использовать приведенные ниже уравнения в качестве функций отображения:

1. y = ax2 + bx + c
2. у = ax3 + bx + c
3. y = ax3 + bx2 + c
4. у = а × ехр?(Ьх) + с

Процедура для этого описана в следующем синтаксисе:

Подобрать данные с помощью функции curve_fit() довольно просто, она предоставляет функцию сопоставления, данные x и y соответственно. Метод curve_fit() возвращает оптимальные аргументы и рассчитанные значения ковариации в качестве выходных данных.

Как мы можем заметить, функция curve_fit() оценила оптимальные аргументы и ковариацию. Затем мы распечатали эти значения для пользователей.

Мы начнем подгонку данных с настройки целевой функции и данных x и y в методе curve_fit() и получим результирующие данные, содержащие значения аргументов для a, b и c. Поскольку здесь мы не используем значения Co-Variance, мы можем пропустить его. После этого мы оценим подгонку y, используя полученные значения a, b и c для каждой функции.

Наконец, построим график, чтобы визуально проверить различия.

График результатов программы представлен ниже:

📸 Видео

Python для самых маленьких. Линейные уравнения. Решение задачСкачать

§51 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точкиСкачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

№972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2)Скачать

Алгоритмы. Пересечение отрезков.Скачать

ПРОГА для 6 ЗАДАНИЯ на PYTHON, которая сама СЧИТАЕТ ТОЧКИ! | ЕГЭ по информатике 2023Скачать

Решение задачи CodeAbbey 010 на PythonСкачать

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Алгоритмы на Python 3. Лекция №7Скачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать