Как найти уравнение кривой по трем точкам

Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье….

Видео:Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Начало поиска

Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.

Рисунок 1. Классический вид параболы

На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая параллельная оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы. Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.

Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:

(1).

В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:

(2).

Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.

Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Расчет коэффициентов и основных точек параболы

К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.

Численное значение координаты вершины на оси абсцисс

Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:

(3).

Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.

Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:

(4).

Это интересно! Что такое деление с остатком: примеры для ребенка в 3, 4 классе

Значение вершины на оси ординат

Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:

.

Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а&lt,0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости, в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.

Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.

Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Видео:Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Построение кривой параболического типа

Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти координату вершину на оси X.
2. Найти координату расположения вершины на оси Y.
3. Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.

Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.

При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А ( , B (, C ( . Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.

При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:

(6).

Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.

Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Наглядные примеры

Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:

Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10, 5) данной кривой.

Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой

Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:

Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25, -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.

Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2,3), B (3,5), C (6,2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:

Используя полученные значения, получим следующие уравнение:

На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):

Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки

Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.

В частности, если a&lt,0, то ветки» будут направлены вниз. При a&gt,1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.

Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c&gt,0, то парабола «ползет» вверх, в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:

Если коэффициент b&gt,0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.

Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.

Полезное видео: как найти вершину параболы

Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика

Видео:Уравнение прямой по двум точкамСкачать

Вывод

Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

1) всякая прямая в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени относительно переменных и ;

2) всякое уравнение первой степени в прямоугольной системе координат определяет прямую и притом единственную.

Мы займемся изучением линий, определяемых уравнениями второй степени относительно текущих
координат и :

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (1) могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство и нулю (в противном случае уравнение (1) не будет уравнением второй степени).

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Окружность и ее уравнения

Как известно, Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть дана окружность радиуса с центром в точке требуется составить ее уравнение.

Возьмем на данной окружности произвольную точку
(рис. 38). Имеем

удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как и . Следовательно, (I) есть уравнение окружности радиуса с центром в точке . Если центр окружности находится на оси , т. е. если , то уравнение (I) примет вид

Если центр окружности находится на оси т. е. если то уравнение (I) примет вид

Наконец, если центр окружности находится в начале координат, т. е. если , то уравнение (I) примет вид

Пример:

Составить уравнение окружности радиуса с центром в точке .

Решение:

Имеем: . Подставив эти значения в уравнение (I), найдем .

Из изложенного выше следует, что уравнение окружности является уравнением второй степени относительно переменных и , как бы она ни была расположена в плоскости . Уравнение окружности (I) является частным случаем общего уравнения второй степени с
переменными

В самом деле, раскрыв скобки в уравнении (1), получим

Справедливо следующее утверждение: если в уравнении (5) , то Уравнение (5) определяет окружность.

Действительно, разделив уравнение (5) почленно на , получим:

Дополним группы членов, стоящие в скобках, до полного квадрата:

Положим Так как, по условию, то можно положить
Получим

Если в уравнении то оно определяет точку (говорят также, что окружность вырождается в точку). Если же то уравнению (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел (говорят также, что уравнение (5) определяет «мнимую» окружность).

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Решение:

Сравнивая данное уравнение с уравнением (1), находим: . Следовательно, .

Пример:

Установить, какое из уравнений:

определяет окружность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.

Решение:

Первое уравнение не определяет окружность, потому что . Во втором уравнении . Однако и оно не определяет окружность, потому что . В третьем уравнении условия выполняются. Для окончательного вывода преобразуем его так:

Это уравнение, а следовательно, и уравнение 3), определяет окружность с центром и радиусом .

В четвертом уравнении также выполняются условия Однако преобразовав его к виду
, устанавливаем, что оно не определяет никакой линии.

Эллипс и его каноническое уравнение

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, фокусы и которого лежат на оси
и находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат (рис. 39).

Обозначив , получим Пусть произвольная точка эллипса. Расстояния называются фокальными радиусами точки . Положим

тогда, согласно определению эллипса, — величина постоянная и По формуле расстояния между двумя точками находим:

Подставив найденные значения и в равенство (1), получим уравнение эллипса:

Преобразуем уравнение (3) следующим образом!

Имеем: положим

последнее уравнение примет вид

Так как координаты и любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (3),то они удовлетворяют уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (5) то она принадлежит эллипсу.

Пусть — произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5)

то откуда

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

Но так как то

т. е. точка действительно принадлежит эллипсу.

Уравнение (5) называется каноническим уравнением
эллипса.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Определим форму эллипса по его каноническому
уравнению

1. Координаты точки не удовлетворяют уравнению (1), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением не проходит через начало координат.

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (1) , найдем Следовательно, эллипс пересекает ось в точках . Положив в уравнении (1) , найдем точки пересечения эллипса с осью :
(рис.40).

3. Так как в уравнение (1) переменные и входят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных и . В предыдущем параграфе (см. (7)) мы уже показали, что

Аналогично, переписав уравнение эллипса (1) в виде

получим откуда или

Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
(см. рис, 40).

5. Переписав уравнение (1) соответственно в вида

мы видим, что при возрастании от 0 до величина убывает от до 0, а при возрастании от 0 до величина убывает от до 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 41.

Точки пересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Отрезок называется
большой осью эллипса, а отрезок — малой осью. Оси являются осями симметрии эллипса, а точка — центром симметрии (или просто центром) эллипса.

Пример:

Определить длину осей и координаты фокусов эллипса

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 1176, приведем его к каноническому виду

Следовательно,

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, если фокусное расстояние равно 10, а малая ось равна 6.

Решение:

Другие сведения об эллипсе

Мы рассмотрели эллипс, у которого Если же то уравнение

определяет эллипс, фокусы которого лежат на оси (рис. 42). В этом случае длина большой оси равна , а малой . Кроме того, связаны между собой равенством

Определение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой .

Если , то, по определению,

При имеем

Из формул (3) и (4) следует . При этом с
увеличением разности между полуосями и увеличивается соответствующим образом и эксцентриситет

эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между и уменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс; чем меньше эксцентриситет, тем круглее эллипс. В частности, если и уравнение эллипса примет вид , которое определяет окружность с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Из рис. 43, на котором изображены эллипсы и окружность , хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета. В заключение поясним, как можно построить эллипс

Для этого на осях координат строим вершины эллипса . Затем из вершины (можно из ) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки (рис. 44). Это будут фокусы эллипса, потому что . Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна , и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить

острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси , если его большая ось равна 14 и

Решение. Так как фокусы лежат на оси , то По
формуле (2) находим:

Следовательно, искомое уравнение, будет

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение:

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Составим уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси и находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (рис. 45).

Обозначив получим , Пусть
— произвольная точка гиперболы.

Расстояния называются фокальными радиусами точки . Согласно определению гиперболы

где — величина постоянная и Подставив

в равенство (1), получим уравнение гиперболы

Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:

Имеем: . Положим

тогда последнее равенство принимает вид

Так как координаты и любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).

Как и в случае эллипса (см. конец § 2), можно показать, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению

1. Координаты точки (0; 0) не удовлетворяют уравнению (1), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (1) , найдем . Следовательно, гипербола пересекает ось в точках . Положив в уравнение (1) , получим , а это означает, что система

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось .

3. Так как в уравнение (1) переменные и входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных и ; для этого из уравнения. (1) находим:

Имеем: или ; из (3) следует, что — любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева от прямой и справа от прямой

5. Из (2) следует также, что

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой , а другая слева от прямой .

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 46.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы. Отрезок Рис. 46.

соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок , , называется мнимой осью. Число называется действительной полуосью, число — мнимой полуосью. Оси являются осями симметрии гиперболы. Точка пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. У гиперболы (1) фокусы всегда находятся на действительной оси.

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках , а расстояние между фокусами равно 14.

Решение:

Имеем: . По формуле находим

Следовательно, искомое уравнение будет

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси , если длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку .

Решение:

Имеем: . Положив в уравнении (1) , получим

Другие сведения о гиперболе

Асимптоты гиперболы

Определение:

Прямая называется
асимптотой кривой при , если

Аналогично определяется асимптота при . Докажем, что прямые

являются асимптотами гиперболы

при

Так как прямые (2) и гипербола (3) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 47). Напишем уравнения прямых (2) и гиперболы (3), соответствую*
щие первой четверти:

Положив найдем:

Следовательно, прямые (2) являются асимптотами гиперболы (3).

Отметим, что асимптоты (2) совпадают с диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны осям и и равны соответственно и , а его центр находится в начале координат. При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов,
образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис.48).

Пример:

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку и, имеющей асимптоты

Решение:

Из данных уравнений асимптот имеем:

Заменив в уравнении гиперболы переменные и координатами точки и его найденным значением, получим:

Следовательно, искомое уравнение будет

Эксцентриситет гиперболы

Определение:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами

к длине действительной оси и обозначается буквой :

Из формулы (§ 5) имеем поэтому

Пример:

Найти эксцентриситет гиперболы .

Решение:

По формуле (5) находим

Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т. е. . В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

Равносторонняя гипербола определяется одним пара*
метром и асимптотами являются биссектрисы координатных углов:

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет:

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол (рис.49).

Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат . Для этого воспользуемся формулами
(4) § 3 гл. 2:

Положив , получим:

Учитывая равенство (6), получим

Уравнение (8) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (8) следует, что переменные — величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.

Пример:

Составить каноническое уравнение
равносторонней гиперболы, проходящей через точку .

Решение:

Заменив в уравнении (6) переменные координатами точки , получим:

Следовательно, искомое уравнение будет

Видео:Метод координат Урок №2 2 Нахождение уравнения плоскости по трем точкамСкачать

Парабола и ее каноническое уравнение

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и
называемой директрисой.

Составим уравнение параболы, фокус которой лежит на оси , а
директриса параллельна оси и удалена от нее на такое же расстояние, как и фокус от начала координат (рис.50).

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через . Из рис. 50 видно, что следовательно, фокус имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или

Пусть — произвольная точка параболы. Соединим точки
и и проведем . Непосредственно из рис. 50 видно, что

а по формуле расстояния между двумя точками

согласно определению параболы

Уравнение (1) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (1) преобразуем его следующим образом:

Последнее уравнение эквивалентно

Координаты точки параболы удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (3).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит параболе.

Но так как из (3) , и в левой части последнего уравнения можно оставить знак «плюс», т. е. оно является исходным уравнением параболы (1).

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению

Определим форму параболы по ее каноническому уравнению

1. Координаты точки удовлетворяют уравнению (1), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2. Так как в уравнение (1) переменная входит только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Так как . Следовательно, парабола расположена справа от оси .

4. При возрастании абсциссы ордината изменяется от , т. е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси , так и от оси .

Парабола имеет форму, изображенную на рис. 51.

Ось является осью симметрии параболы. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок называется фокальным радиусом точки .

5. Если фокус параболы лежит слева от оси , а директриса справа от нее, то ветви параболы расположены слева от оси (рис. 52, а). Уравнение такой параболы имеет вид

Координаты ее фокуса будут ; директриса определяется уравнением .

6. Если фокус параболы имеет координаты , а директриса задана уравнением , то ветви параболы направлены вверх (рис. 52,6), а ее уравнение имеет вид

7. Наконец, если фокус параболы имеет координаты а директриса задана уравнением , то ветви параболы направлены вниз (рис. 52, в), а ее уравнение имеет вид

Пример:

Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси , ветви направлены вверх. Сравнивая данное уравнение с уравнением (3), находим:

Следовательно, фокус имеет координаты , а уравнение директрисы будет , или .

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, директриса которой задана уравнением .

Решение:

Из условия задачи следует, что парабола симметрична относительно оси и ветви расположены слева от оси , поэтому искомое уравнение имеет вид . Так как и, следовательно,

Параллельный перенос параболы

Пусть дана парабола с вершиной в точке , ось симметрии которой параллельна оси , а ветви направлены вверх (рис. 53).

Требуется составить ее уравнение. Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало в точке . Относительно новой системы координат парабола определяется уравнением

Чтобы получить уравнение данной параболы относительно старой системы, воспользуемся формулами преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе;

Подставив значения из формул (2) в уравнение (1), получим

Преобразуем это уравнение следующим образом:

С уравнением параболы вида (5) читатель хорошо знаком по школьному курсу.

Пример 1. Составить уравнение параболы с вершиной в точке и с фокусом в точке .

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси (у них абсциссы одинаковы), ветви параболы направлены вверх (ордината фокуса больше ординаты вершины), расстояние фокуса от вершины равно

Заменив в уравнении (3) и координатами точки и его найденным значением, получим:

Пример:

Дано уравнение параболы

Привести его к каноническому виду.

Решение:

Разрешив данное уравнение относительно переменной , получим

Сравнивая это уравнение с уравнением (5), находим Из формул (4) имеем:
следовательно, Подставляем найденные значения в уравнение (3):

Положив получим т. е, каноническое уравнение данной параболы.

Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными

Выше было установлено, что уравнение окружности есть частный случай общего уравнения второй степени с переменными и :

Покажем, что и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). В самом деле:
1) при и уравнение (1) примет вид

т. е. определяет эллипс;
2) при и уравнение (1) примет вид

т. е. определяет гиперболу;
3) при и уравнение (1) примет вид т. е. определяет параболу.

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

Дополнение к кривым второго порядка

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

где — действительные числа; и одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная , является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным . Если , то кривая второго порядка — эллипс; — парабола; — гипербола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная . Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: .

Если , то эллипс расположен вдоль оси ; если , то эллипс расположен вдоль оси (рис. 9а, 9б).

Если , то, сделав замену , перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то .

Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки , лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. .

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе имеют вид .

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная (рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. и называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то .

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки , лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно .

Гипербола с равными полуосями называется равносторонней.

Прямые с уравнениями в канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые называют директрисами гиперболы в канонической системе координат.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой параболы.

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось — осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы имеет координаты .

Директрисой параболы называется прямая в канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса равно .

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Решение:

1) Вычисляя значения с точностью до сотых при указанных значениях , получим таблицу:

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

2) Используя формулы перехода

из полярной в декартовую систему координат, получим: .

Возведем левую и правую части в квадрат: Выделим полный квадрат и приведем к каноническому виду: , где

3) Это эллипс, смещенный на вдоль оси .

Ответ: эллипс , где

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Кривая второго порядка и её определение

Окружность и ее уравнение

Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение окружности. Пусть радиус ее равен r, а центр находится в точке

О1(а; b). Возьмем на окружности произвольную точку М(х; у) (рис. 27).

По формуле расстояния между двумя точками можем написать:

или, после возведения обеих частей равенства в квадрат,

Так как точка М нами взята произвольно, а радиус r — величина постоянная, то равенство (1) справедливо для всех точек окружности, т. е. координаты любой ее точки удовлетворяют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать как уравнение окружности.

В уравнении (1) а и b — координаты центра окружности, а х и у — текущие координаты.

Если положить а = 0, то уравнение (1) обратится в следующее:

и будет определять окружность с центром на оси Оу (рис. 28).

При b = 0 уравнение (1) примет вид

и будет определять окружность с центром на оси Ох (рис. 29).

Наконец, при а = 0 и b = 0 уравнение (1) преобразуется в следующее:

и будет определять окружность с центром в начале координат (рис. 30).

Можно построить окружность, имея ее уравнение. Пусть, например, требуется построить окружность

Перепишем это уравнение в следующем виде:

сравнивая это уравнение с(1), видим, что координаты центра окружности суть (2; — 3) и радиус ее r = 3. Построив

точку О1(2;—3), опишем из нее радиусом, равным 3 единицам масштаба, искомую окружность (рис. 31).

Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени

Раскрыв скобки в уравнении (1) , можем написать:

Умножив все члены последнего равенства на А, получим:

тогда уравнение (1) окружности примет вид

Уравнение (2) является частным случаем общего уравнения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (2) с общим уравнением второй степени с двумя переменными, имеющим, как известно, следующий вид:

Мы видим, что уравнение (2) отличается от уравнения (3) только тем, что у первого коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и отсутствует член, содержащий произведение ху.

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (2), вообще говоря, определяет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

Перепишем его в следующем виде:

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4+16. Получим:

Последнее равенство является уравнением окружности, имеющей радиус, равный 5, и центр в точке О1(-2; 4).

Бывают однако случаи, когда уравнение (2) при некоторых значениях коэффициентов не определяет окружности; например, уравнению

удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению

не удовлетворяют координаты ни одной точки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Пример:

и хорда Найти длину этой хорды.

Решение:

Так как концы хорды являются общими точками окружности и хорды, то их координаты удовлетворяют как уравнению первой, так и уравнению второй линии. Поэтому, чтобы найти эти координаты, нужно решить совместно уравнения окружности и хорды. Подставив значение

в уравнение окружности, получим:

Находим значение у:

Итак, концами хорды служат точки с координатами (4; 3) и (6; 1).

По формуле расстояния между двумя точками можем определить искомую длину хорды

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (и болыиая, чем расстояние между фокусами).

Пусть, например, на эллипсе взяты точки М1, M2, M3, М4 и т. д. (рис. 32). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:

Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойствам (1), и есть эллипс.

На основании определения эллипса составим его уравнение. Для этого выберем систему координат следующим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и F1, а за ось Оу — прямую перпендикулярную

к FF1 и проведенную через середину отрезка FF1 (рис. 33). Обозначим расстояние F1F между фокусами через 2с, тогда координаты фокусов будут:

Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у). Обозначим постоянную величину суммы расстояний каждой точки от фокусов через 2а, тогда

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Теперь равенство (2) перепишется следующим образом:

и будет представлять уравнение эллипса в принятой системе координат.

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

Приведем подобные члены:

Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части равенства, получим:

Перенесем все члены, содержащие х и у, в левую часть равенства, остальные члены — в правую:

Но согласно определению эллипса

Из последнего неравенства следует, что а потому эту разность можно обозначить через Подставив это обозначение в равенство (4), найдем:

Наконец, разделим все члены последнего равенства на окончательно получим:

где х и у — текущие координаты точек эллипса, а

Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эллипса *).

*) Уравнение (6) получилось в результате двукратного возведения в квадрат уравнения (3), благодаря чему, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что уравнение (6) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6), лежит на эллипсе.

Исследование уравнения эллипса

Определим сначала у из уравнения (5) :

Из того же уравнения (5) найдем:

Рассмотрим теперь равенства (1) и (2).

I. Пусть

*) | х | означает, что х берется по абсолютной величине; таким образом, запись | х |

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х равные по абсолютной величине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точки, симметричные относительно оси Оу.

Из сказанного заключаем: эллипс симметричен относительно координатных осей.

II. Найдем точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть

тогда из равенства (2) имеем:

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (точки А и А1 на рис. 34).

III. Найдем точки пересечения эллипса с осью Оу. Пусть

тогда из равенства (1) имеем:

Отсюда заключаем, что эллипс пересекает ось Оу в двух точках, координаты которых (0; b) и (0; —b) (точки В и В1 на рис. 35).

IV. Пусть х принимает такие значения, что

тогда выражение под корнем в равенстве (1) будет отрицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллипса, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс расположен внутри полосы, заключенной между прямыми х = + а и х = — а (рис. 34, прямые КL и РQ).

Если же положить

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между прямыми у = + b и у = — b (рис. 35, прямые РК и QL .

Из сказанного следует, что все точка эллипса лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2b, а диагонали пересекаются в начале координат (рис. 36).

Эллипс имеет форму, показанную на рис. 37, Точки A,, A1, В и В1 называются вершинами эллипса, а точка О — его центром. Отрезок А1А = 2а называется его большой осью, а отрезок В1В = 2b — малой осью, Отрезки FМ и F1М носят название фокальных радиусов точки М.

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большой оси, т. e.

Эксцентриситет обычно обозначают буквой е. Таким образом,

Но согласно формуле (7)

Поэтому для определения эксцентриситета может служить

Так как 0 а уравнение (6) представляет эллипс, фокусы которого лежат на оси Оу; в этом случае его большая ось равна 2 b , а малая 2 а . В соответствии с этим формула (7) и формулы (1) и (2) настоящей лекции примут такой вид:

Пример:

Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 400, получим:

Итак, большая ось эллипса а малая

Координаты вершин его будут:

Чтобы найти координаты фокусов, нужно узнать величину

Из равенства (7) имеем:

Следовательно, координаты фокусов будут:

Наконец, по формуле (1) настоящей лекции находим:

Связь эллипса с окружностью

Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т. е. а = b, тогда уравнение эллипса примет вид

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2)

Отсюда заключаем, что окружность есть частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная берется по абсолютному значению, причем она меньше расстояния между фокусами и не равна нулю).

Пусть, например, точки М1, М2, M3, М4 лежат на гиперболе, фокусы которой находятся в точках F и F1 (рис. 39). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее уравнение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фокусы F и F1 (рис. 40), а за ось Оу — прямую, перпендикулярную к отрезку F1F и делящую его пополам.

Положим F1F = 2c тогда координаты фокусов будут

Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х; у) и обозначим величину разности расстояний каждой точки от фокусов через 2а; тогда

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

и, заменив в равенстве (2) F1М и FМ их выражениями, напишем:

Это и есть уравнение гиперболы относительно выбранной системы координат, так как оно согласно равенствам (1) справедливо для любой ее точки.
*) Знак + берется в случае, если F1М > FМ , и знак —, если F1М

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Приведем подобные члены:

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

Перенесем в левую часть члены, содержащие х и у, а остальные члены в правую:

Согласно определению гиперболы

При условии (5) разность имеет только положительное значение, а потому ее можно обозначить через

Сделав это в равенстве (4), получим:

Разделив последнее равенство на найдем окончательно:

где х и у— текущие координаты точек гиперболы, а

Равенство (7) представляет собой простейший вид уравнения гиперболы *).

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

Исследование уравнения гиперболы

Из уравнения (6) имеем:

Из этого же уравнения (6) находим:

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения геометрической формы гиперболы.

I. Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох. Для этого полагаем, у = 0 и из уравнения (2) получаем:

Отсюда следует: гипербола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (рис. 41, точки А и А1).

II. Положим в уравнении (1)

тогда у получит мнимое значение, а это значит, что на гиперболе нет точек, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, в полосе между прямыми х = + а и х = — а (прямые KL и РQ на рис. 41) нет точек гиперболы

III. Пусть

тогда из равенства (1) найдем для каждого х два действительных значения у, равных по абсолютной величине, но с противоположными знаками. А это значит, что каждому значению х, удовлетворяющему неравенству (4), соответствуют на нашей кривой две точки, симметричные относительно оси Ох.

Следовательно, гипербола симметрична относительно оси Ох.

С другой стороны, для каждого значения у из равенства (2) найдем два действительных значения х, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, т. е. каждому значению у на гиперболе соответствуют две точки, симметричные относительно оси Оу.

Следовательно, гипербола 1 симметрична относительно оси Оу.

IV. Если в уравнении (1) давать х значения, заключенные между +a и то величина у будет изменяться от 0 до : т. е. в этом случае каждому значению х соответствуют на кривой две точки, симметричные относительно оси Ох и отстоящие друг от друга тем дальше, чем больше величина абсциссы. Таким образом, можно сказать, что гипербола имеет бесконечную ветвь, расположенную справа от прямой х = с.

Если же давать х значения, заключенные между — а и , то у будет изменяться опять от 0 до а это значит, что, как в предыдущем случае, гипербола имеет бесконечную ветвь, но идущую влево от прямой х = — а. Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей, простирающихся в бесконечность.

Из всего изложенного следует, что гипербола

состоит из двух симметричных относительно оси Оу бесконечных ветвей, одна из которых расположена справа от

прямой х = + а, а другая слева от прямой х = — а. Каждая из этих ветвей симметрична относительно оси Ох (рис. 42).

Точки А(а; 0) и А1(- а; 0) называются вершинами гиперболы, а точка О (0; 0) — ее центром.

Отрезок АА1 = 2а носит название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси ВВ1 = 2b, называемой мнимой *).

*) Отрезок ВВ1 = 2b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

Отрезки F1М и FМ — фокальные радиусы точки М.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т. е.

Эксцентриситет гиперболы, так же как и для эллипса, обозначается буквой е:

Но согласно равенству (8)

поэтому формулу (1) можно представить в следующем виде:

Так как для гиперболы с > а , то дробь

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Асимптоты гиперболы

Построим на осях гиперболы

прямоугольник LQRS со сторонами, равными 2а и 2b и проведем его диагонали LR и QS продолжив их по обе стороны (рис. 43).

Прямая LR проходит через начало координат, поэтому ее уравнение будет:

Но угловой коэффициент

Заменив в уравнении (1) найденным его значением, получим уравнение прямой LR в следующем виде:

Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:

Таким образом, уравнение прямой QS будет:

Обычно уравнения (2) и (3) записывают следующим образом:

Между прямыми, представленными уравнениями (4), и гиперболой существует связь; выясним ее.

Решим совместно способом подстановки уравнения (4) и

уравнение гиперболы

что невозможно, так как

Таким образом, прямые (4) х2 уа

и гипербола не имеют общих точек, т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

Возьмем на прямой LR и на гиперболе точки М и N, расположенные в первом координатном углу и имеющие одну и ту же абсциссу. Ординатой точки М служит РМ; обозначим ее через Y в отличие от ординаты точки N которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно написать:

Из уравнения гиперболы имеем:

и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть последнего равенства на выражение

Пусть величина х в равенстве (5) бесконечно возрастает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким образом, гипотенуза NМ и, следовательно, катет NT в прямоугольном треугольнике МNТ стремится к нулю. Из сказанного делаем вывод: при неограниченном возрастании абсциссы х гипербола приближается к прямой LR как угодно близко, нигде ее не пересекая.

Так как прямые LR и QS, а также точки гиперболы симметричны относительно оси Ох, то можно сказать, что и часть гиперболы, расположенная в четвертом координатном углу, как угодно близко подходит к прямой QS , нигде ее не пересекая.

Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.

называются асимптотами гиперболы.

Из сказанного в настоящей лекции можно сделать заключение, что гипербола расположена всеми своими точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и нигде не выходит за их границы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения гиперболы в случае, если не требуется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого, нарисив асимптоты, нужно провести плавную кривую линию, постепенно приближая ее к асимптотам.

Пример:

Дана гипербола

Узнать, лежит ли точка A(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте.

Решение:

Из данного уравнения имеем:

Следовательно, уравнения асимптот будут:

Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном углу, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением

Подставив в него вместо х и у координаты точки А, получим тождество:

Значит, точка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.

Равносторонняя гипербола

Если в уравнении гиперболы

положим а = b то это уравнение примет вид

Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полуоси равны между собой. Такая гипербола называется равносторонней. Уравнения асимптот в этом случае будут:

так как отношение

Как видно из уравнения (2), угловые коэффициенты асимптот равны + 1 и —1 . Если обозначить углы, образуемые асимптотами с положительным направлением оси Ох, соответственно через а и а1 (рис. 44), то

Следовательно, угол между асимптотами будет:

Отсюда заключаем: асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать гиперболу по отношению к этим новым осям. Выведем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.

Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координатным осям Ох и Оу (рис. 45)

выразится, как было пока-* у зано в , в виде

Взяв на гиперболе произвольную точку М (х; у) и построив ее координаты, будем иметь:

Примем теперь за оси координат асимптоты гиперболы: ОХ— за ось абсцисс, ОY — за ось ординат. Опустив перпендикуляр МС на новую ось абсцисс, найдем:

Выразим новые координаты X н Y точки М через старые х и у. Для этого из точки А проведем и

Обратим внимание на то, что в образовавшихся прямоугольных треугольниках АМВ и АОD

как углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми. Но

Из рисежа имеем:

Перемножив равенства (2) и (3) и приняв во внимание равенство (1), получим:

Положим для краткости

тогда равенство (4) перепишется так:

где m— постоянная величина.

Таково уравнение равносторонней гиперболы, если за оси координат принять ее асимптоты.

Как видно из уравнения (5), переменные X и Y — величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представляет собой график обратно пропорциональной зависимости между переменными величинами.

Парабола и ее простейшее уравнение

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой <при условии, что фокус не лежит на директрисе).

Пусть точки М1 М2, М3, М4 лежат на параболе (рис. 46).

Если точка F изображает фокус, а прямая АВ— директрису, то согласно данному выше определению можем написать:

Выведем уравнение параболы, пользуясь ее определением. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе АВ, а за

ось Оу — прямую, проходящую через середину отрезка КF перпендикулярно к последнему (рис. 47). Обозначим

тогда координаты фокуса F будут

Возьмем на параболе произвольную точку М(x; у) расстояния ее от фокуса F и от директрисы АВ будут выражаться соответственно отрезками FМ и МN. Согласно определению параболы, можем написать:

Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты , найдем:

Заменив FМ и МN в равенстве (1) их выражениями, получим:

Это и есть уравнение параболы относительно выбранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.

Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе части его в квадрат:

Приведя подобные члены, получим простейшее уравнение параболы

*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравнению (2). Величина р называется параметром параболы.

Исследование уравнения параболы

Из уравнения (3) найдем:

Исследуем уравнение (1) для выяснения геометрической формы нашей кривой, полагая р > 0.

I. Положим

Отсюда следует: парабола проходит через начало координат.

II. Если х 0, то у имеет два действительных значения, равных по абсолютной величине, но с разными знаками. Это значит, что каждому положительному значению х на параболе соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно оси Ох.

Следовательно, парабола симметрична относительно оси Ох.

IV. Пусть х неограниченно возрастает, тогда и будет неограниченно расти, т. е. точки параболы с перемещением вправо от оси Оу неограниченно удаляются вверх и вниз от оси Ох.

Итак, парабола состоит из бесконечных ветвей.

Вышеизложенное позволяет представить параболу, как показано на рис. 48.

Точка О называется вершиной параболы, отрезок FМ — фокальным радиусом точки М параболы, а бесконечная прямая Ох является ее осью симметрии.

Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то фокус и ветви ее расположатся как показано на рисеже 49.

При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию

а потому ее уравнение примет вид:

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу в этом случае фокус ее будет лежать па оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно при этом условии координатные оси поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

если ветви ее направлены вверх (рис. 50), и

если ветви направлены вниз (рис. 51).

Пример:

Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена направо от оси Оу. Из уравнения находим:

Расстояние фокуса от начала координат равно , поэтому абсцисса фокуса будет Итак, фокус находится в точке

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии Следовательно,

уравнение директрисы параболы будет х = — 3.

Пример:

Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0; —4). Написать уравнение этой параболы.

Решение:

Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу, а ветви ее направлены вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

и уравнение параболы будет:

Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу

Возьмем уравнения параболы (2) и (3) и запишем их в следующем виде:

Положив в уравнении (1)

Уравнение (2) определяет параболу, ветви которой направлены вверх, если А > О, вниз, если А

Возьмем на параболе произвольную точку М(х; у). Опустив из нее перпендикуляр МР на ось Ох, будем иметь:

Проведем через О1 прямые О1Х и QY, параллельные координатным осям Ох и Оу, и положим временно, что прямые О1Х и О1Y служат осями новой системы координат. Обозначим координаты точки М в этой системе через X и Y, т. е.

Уравнение параболы в новой системе координат напишется следующим образом:

Чтобы найти ее уравнение относительно прежних осей Ох и Оу, нужно X и Y выразить через х и y. Так как

Подставив в уравнение (3) найденные значения X и Y, получим:

Упростим уравнение (4); для этого раскроем в нем скобки.

тогда уравнение (5) примет вид

Это—уравнение параболы с вершиной, лежащей в любой точке плоскости, и с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть абсцисса вершины параболы a = 0; тогда величина В в равенстве (6) также будет нулем и уравнение (8) примет следующий вид:

Полученное уравнение определяет параболу, у которой вершина лежит на оси Оу, являющейся в то же время и ее осью симметрии (рис. 53).

Положим, что одна из точек параболы (исключая ее вершину) лежит в начале координат; тогда координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению (8). Заменив в нем х и у нулями, найдем С=0. В этом случае уравнение (8) получит вид

и будет определять параболу, проходящую через начало координат (рис. 54).

Заметим, что и уравнение (2) можно рассматривать как частный случай уравнения (8). Действительно, положив в равенствах (6) и (7)

вследствие чего уравнение (8) преобразуется в следующее:

Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением

при любых значениях А, В и С, кроме А = 0.

Убедимся на примере, что справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение вида (8) определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

Преобразуем его следующим образом:

тогда уравнение (10) примет вид:

Уравнение (11) имеет такой же вид, как и уравнение (2), поэтому оно, а следовательно, и уравнение (9) определяют параболу, у которой ось симметрии параллельна оси Оу.

Для построения параболы, определяемой уравнением вида (8), можно использовать обычный прием, применяемый для вычерчивания графиков функций, а именно: дав х ряд значений, вычислить значения у, а затем, построив точки по найденным координатам, провести через них плавную линию.

Пример:

Решение:

Прежде всего найдем абсциссы точек пересечения данной параболы с осью Ох; положив у = 0, получим:

Так как найденные точки симметричны относительно оси параболы, то вершина последней, находясь на этой оси, имеет 0 + 4 0

абсциссу, равную ордината же ее

Этих трех точек достаточно для приближенного изображения параболы.

Для более точного ее представления нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу:

Построив эти точки и прозедя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 55).

Пример:

Решение:

мнимые, а потому ось Ох не пересекает данную параболу. В этом случае следует найти абсциссы точек пересечения параболы с прямой

(-1 — свободный член данного уравнения параболы)

Решая для этой цели систему уравнений

Полученные точки симметричны относительно оси параболы, поэтому абсцисса ее вершины равна ордината же ее

Присоединим к этим точкам несколько дополнительных точек. Составим таблицу:

Конические сечения

Окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются, как мы установили в предыдущих лекциях уравнениями второй степени относительно текущих координат; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения прямого кругового конуса плоскостью в следующих четырех случаях.

I. Секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса; в сечении получается окружность (рис. 57).

II. Секущая плоскость образует с осью конуса угол, не равный 90°, и пересекает все его образующие по одну сторону от вершины S; в сечении получается эллипс (рис. 58).

III. Секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса; при этом получается кривая, называемая параболой (рис. 59).

IV. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; при этом получаются две бесконечные ветви, образующие гиперболу (рис. 60).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Конические сечения изучались в древности исключительно геометрическим путем, что представляло большие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Кривая второго порядка и её вычисление

Уравнение линии. Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение к каноническому виду.

Уравнение линии в декартовых и полярных координатах

В лекции 3 было введено понятие неявной функции, задаваемой уравнением вида F(x,y) = 0.

Определение 6.1. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
(6.1) F(x;y) = 0
называется линией (плоской кривой).

Не всякое уравнение определяет линию. Например, уравнение x² + y² = -1 не определяет никакой линии. Кроме того, линия может состоять из отдельных точек. Так, например, уравнению x² + y² = 0 удовлетворяет только начало координат.

Линия не обязательно является графиком функции. Так, например, уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиуса 1 (т.к. d = = 1, расстояние от начала координат равно 1). Однако это не будет графиком функции у от х, т.к. каждому х, |x| ≤ 1, соответствует два значения у: у = ±, т.е. линия задается двумя функциями у = (верхняя полуокружность) и у = — (нижняя полуокружность).

Уравнение произвольной окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R будет иметь вид:
(6.2) (х — а)² + (у- b)² = R²,
т.к. окружность радиусом R есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии R от центра, т.е. в соответствии с формулой ( 6.2) d = = R.

В частности, окружность с центром в начале координат, радиусом R, описывается уравнением
x² + y² = R².

Пример 6.1. Какую линию описывает уравнение x² + y² = Rx?

Решение: Перенося Rx в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем:
x² + y² = Rx ⇔ X2 — Rx + у² = 0 ⇔ x² — Rx + ⇔
(х — ) + y² = .

Ответ: данное уравнение описывает окружность с центром в точке M(;0) и радиусом .

Линия может определяться на плоскости уравнением как в декартовых, так и в полярных координатах: F(; r) = 0. Если при этом зависимость r от обладает тем свойством, что каждому значению из области определения соответствует единственное значение r, то данная линия будет графиком функции r от : r = f().

Пример 6.2. Построить график функции, заданной в полярных координатах уравнением r = 2 sin3, ∈ (—∞; ∞).

Решение: Составим таблицу некоторых значений этой функции:

	0
r	0	1		2		1	0	-2

Рис. 70. График функции r = 2 sin 3 в декартовых координатах

Далее, пользуясь тем, что из вида графика функции r = 2 sin 3, приведенного в декартовых координатах на рис. 70, следует, что неотрицательные значения г повторяются на промежутках ∈ [0; ], ∈ [;π], ∈ [-;] и т. д.. Отсюда заключаем, что если в полярных координатах построить график в секторе ∈ [0; ], то в секторах ∈ [; π], ∈ [— ; ] и т. д. вид графика будет аналогичный, а в секторах ∈ (; ), ∈ ;0) и т.д. графика не будет, т.к. там r Рис. 71. График функции r = 2 sin 3 в полярных координатах

Такой график называют называют “трехлепестковая роза”.

Кривые второго порядка:

Определение 6.2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
(6.3) Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = O.

Здесь коэффициенты — действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел A₁B или C не равно нулю. Удобство таких обозначений для коэффициентов (2В, 2D, 2Е) станет ясно позже.

Всего существует три ’’реальных” кривых второго порядка: эллипс, (окружность — частный случай эллипса) гипербола и парабола, не считая такие линии, как ’’пара пересекающихся прямых” (ху = 0), «пара параллельных прямых” ((x — у)² — 4), ’’точка” ((x — 5)² + (у — 1)² = 0), ’’прямая” (х — 1)² = 0) и ’’мнимые кривые” (x² + y² + 5 = 0), которым не соответствует ни одна точка.

Окружность

Ранее было получено уравнение ( 6.2) окружности с центром в точке M(а; b), радиусом R. Это уравнение вида ( 6.3), т.е. окружность есть кривая второго порядка — можно показать, что уравнение (6.3), в котором A = C и B = O c помощью дополнения до полного квадрата каждой группы членов Ax² + 2Dx и By² + 2Еу приводится к виду (6.2), определяющему окружность радиуса R, или к виду: (х — а)² + (у — b)² = -R², не определяющему линию при R ≠ 0. Покажем это на примере.

Пример:

Показать, что уравнение 2x² + 2y² — 4x + 8y — 13 = 0 определяет окружность.

Решение: Поделив обе части на 2, получим уравнение в виде: x² + y² — 2x + 4y — 6,5 = 0 или, выделяя полный квадрат: (x² — 2х + 1) + (у² + 4y + 4) = 11,5 ⇔ (х — 1)² + (у + 2)² =11,5. Мы получим уравнение окружности с центром M(1; —2) и радиусом R = √11,5.

Пример:

Показать, что уравнение х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 не определяет никакой линии.

Решение:

Аналогично предыдущему, выделяя полный квадрат, получаем: х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 ⇔ (х² + 6х + 9) + (у² — 6у + 9) = — 4 ⇔ (x + 3)² + (y — 3)² =-4.

Эллипс

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₁, расстояние между ними 2с, а сумму расстояний до них от точек эллипса через 2а (2а > 2с). Выберем декартову систему координат как показано на рис. 72. По определению эллипса: MF₁ + MF₂ = 2а. Пользуясь формулой (2.6) получаем:

Рис. 72. Фокусы эллипса и гиперболы

Обозначив b² = a² — с² > 0, получаем: b²x² + a²y² — a²b² или:
(6.4)

Уравнение ( 6.4) называется каноническим уравнением эллипса, а и b — полуосями, а — большая полуось, b — малая, т.к. b = Рис. 73. Эллипс

Так как 2а > 2с, то ε т.е. тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси Ох. В пределе, при ε → 0,a = b и получается окружность x² + у² = а² радиусом а При этом с = = 0, т.е. F₁ — F₂ = 0. Если эллипс расположен так, что центр его симметрии находится в точке P(x₀; y₀), а полуоси параллельны осям координат, то, перейдя к новым координатам X = х — х₀, У = у — у₀, начало которых совпадает с точкой Р, а оси параллельны исходным (см. п. 2.8), получим, что в новых координатах эллипс описывается каноническим уравнением Уравнение такого эллипса в старых координатах будет:
(6.5)

Гипербола

Определение 6.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними 2с, а модуль разности расстояний до них от точек гиперболы через 2a (2c > 2a > 0). Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 72. По определению гиперболы: MF₁ — MF₂ = ±2а. Пользуясь формулой (2.6), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получаем:
= ±2a ⇒ (а² — c²)x² + a²y² = a²(a² — с²). Обозначив b² = с² — a² > 0 (сравните с выводом формулы ( 6.4) для эллипса), получаем: -b²x² + a²y² = -b²a², или:

Уравнение (6.6) называется каноническим уравнением гиперболы, а и b — полуосями, а — действительной полуосью, b — мнимой. Так как х и у входят в уравнение только в четных степенях, гипербола симметрична относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.6), получаем: , |x| ≥ а, что означает, что гипербола состоит из двух симметричных половин, верхней у = и нижней у = — . При х = а у = 0, при возрастании х от 0 до +∞, у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии, получаем линию, изображенную на рис. 74.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox (фокальной осью) называются ее вершинами A₂(а;0), A₁(-a;0). C осью ординат гипербола не пересекается, поэтому фокальная ось называется действительной осью (а — действительная полуось), а перпендикулярная ей ось — мнимой осью (b — мнимая полуось). Можно показать, что при неограниченном возрастании абсциссы точка гиперболы неограниченно приближается к прямой у = (изображена на рис. 74 пунктиром). Такая прямая, к которой неограниченно приближается некоторая линия, называется асимптотой. Из соображений симметрии вытекает, что у гиперболы две асимптоты: у = и у =-, изображенные на рис. 74 пунктиром. Прямоугольник, с центром в начале координат, со сторонами 2а и 2b, параллельными осям, называется основным. Асимптоты являются его диагоналями.

Рис. 74. Гипербола

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Т.к. 2α 1. Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем меньше е, тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник (= = — 1 = ε² — 1). Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной). Для нее х² — у² = а², асимптоты: у = х, у = —х, ε = = √2. Если центр гиперболы (центр ее симметрии) находится в точке P(x₀; y₀), a оси параллельны осям координат, то, применяя параллельный перенос координат (п. 2.8), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получим уравнение гиперболы:
(6.7)

Уравнение асимптот такой гиперболы будет: у — y₀ =

Парабола

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой (F ∉ d).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Выберем декартову систему координат как показано на рис. 75.

По определению параболы MF=MN. Из рис. 75. ясно, что:

Рис. 75. Фокус и директриса параболы

Приравнивая, получаем:

(6.8) у² = 2рх

Уравнение ( 6.8) называется каноническим уравнением параболы. Т.к. у входит в уравнение в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ох. Выразив у из уравнения, получаем: у = , х ≥ 0. При х =0 у = 0, при возрастании х от 0 до +∞ у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 76.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью (ось Ox на рис. 76), точка пересечения пораболы с ней называется вершиной пораболы (точка О на рис. 76). Если вершина параболы находится в точке P(x₀; у₀), фокальная ось параллельна и одинаково направлена с осью Ox и расстояние от директрисы до фокуса равно Р, то с помощью параллельного переноса осей координат нетрудно получить уравнение такой параболы:
(6.9) (y — y₀)² = 2p(x -х₀)

Пример:

Найти фокус, директрису, фокальную ось для параболы у= 4x².

Рис. 76. Парабола

Решение:

Как известно, осью симметрии параболы у = х² является ось Оу, а вершиной — точка О, поэтому фокальной осью будет ось Оу, вершиной — начало координат.

Для определения фокуса и директрисы запишем уравнение данной параболы в виде: x² = y, откуда 2р =; р =. Поэтому фокус имеет координаты F(0; ), а директриса — уравнение у = — (см. рис. 77).

Рис. 77. График параболы у = 4х²

Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении кривой второго порядка ( 6.3)
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0
коэффициент 2B ≠ 0, то методами, которые будут изложены позже (лекция 34) это уравнение преобразуется к виду, в котором отсутствует член с произведением координат (т.е. 2В — 0).

Для приведения к каноническому виду уравнения ( 6.3), в котором 2В = 0, необходимо дополнить члены, содержащие х и у, до полных квадратов.

Если при этом (В = 0) А = С, то получится окружность (пример 6.3), точка или мнимая окружность (пример 6.4).

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C > 0, то получится эллипс (пример 6.8) или мнимый эллипс.

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C Рис. 78. Гипербола

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² — 6x — 4y + 29 = 0.

Решение:

Выделим полный квадрат: x² — 6x — 4y + 29 = 0 ⇔ x² — 6x + 9 = 4y — 20 ⇔ (x — 3)² = 4(у — 5). Сделав замену координат X =х — 3, Y = у — 5 мы получим каноническое уравнение параболы X² = 4Y с осью OY и параметром р = 2. Таким образом исходная парабола имела вершину A(3; 5) и ось х = 3 параллельную оси Oy (рис. 79).

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² + 4y² + 2x — 24y + 21 =0.

Решение:

Выделив полный квадрат, получим уравнение: (x + 1)² + 4(у — 3)² = 16. Сделав замену координат: X = х + 1, Y = y — 3, получим каноническое уравнение эллипса: X² + AY² ⇔ = 1 с параметрами а = 4, b = 2. Таким образом, исходный эллипс имел центр A( —1;3) и полуоси а = 4, b = 2 (рис. 80).

Рис. 79. Решение примера 6.7 Рис. 80. Решение примера 6.8

Видео:Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Решение заданий на тему: Кривые второго порядка

Пример:

Составьте уравнение окружности, имеющей центр 0(2; —5) и радиус R = 4.

Решение:

В соответствии с формулой (6.2) искомое уравнение имеет вид: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Ответ: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Пример:

Составьте уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

Решение:

Из условия имеем: a + b = 8, 2c = 8. C учетом того, что b² = а² — с², находим с = 4, а = 5, b = 3. Искомое уравнение эллипса будет: .

Ответ:

Пример:

Составьте уравнение гиперболы, зная, что фокусы F₁(10;0) и F₂(-10; 0) и что гипербола проходит через точку M(12; 3√5)

Решение:

Из условия имеем: с = 10, |MF₁ — MF₂|= 2а ⇔ 2а = ⇔ а = 8. C учетом того, что b² = с² — а², находим а = 8, с = 10, b = 6. Искомое уравнение гиперболы будет: .
Ответ: .

Пример:

Составьте уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты (5;0), а ось ординат является директрисой.

Решение:

Поскольку расстояние от директрисы параболы до ее полюса равно параметру р, а вершина находится на середине, из условия следует, что р = 5 и вершина расположена в точке A(2,5;0). Таким образом, в новых координатах X = х — 2,5; У = у каноническое уравнение параболы будет: Y² = 10Х, а в старых координатах: у² = 10(х — 2,5).
Ответ: y² = 10x — 25.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + y² — 2х + 6у — 5 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат: х² — 2х + у² + 6у — 5 = 0 ⇔ x² — 2x + 1 + у² + 6у + 9 — 1 — 9 — 5 = 0 ⇔ (х — 1)² + (у + 3)² = 15

В соответствии с формулой (6.2) это есть уравнение окружности с центром в точке A(1; -3), радиусом √5.
Ответ: (х — 1)² + (у + 3)² = 15.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 4у² + 4х — 16у — 8 = 0, определите вид кривой и ее параметры:

Решение:

Выделим полный квадрат: x² + 4х + 4у² — 16y -8 = 0 ⇔ x²+4x + 4 + 4y²- 16y + 16-4-16-8 = 0 ⇔ (x + 2)² + 4(y²-4у+ 4) -28 ⇔ (х + 2)² + 4(y — 2)² = 28 ⇔ = 1. Сделав замену координат: X = x +2, Y = у — 2, в новых координатах получим уравнение эллипса с полуосями а = √28 и b = √7. Таким образом, в старых координатах эллипс имеет центр A(—2; 2) и полуоси а = 2√7 и b = √7.
Ответ: = 1.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 2y² + 8x — 4 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат:
x²+2y²+8x-4 = 0 ⇔ x²+8x+16+2y²-16-4 =0 ⇔ (x+4)²+2y2-20 = 0 ⇔ =1

Сделав замену координат X = х + 4, Y — у, убеждаемся, что эта кривая — эллипс, с полуосями a = 2√5 и b = √10 и центром A(-4;0).
Ответ: =1

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Видео:Построение окружности по трём точкам.Скачать

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

begin vec=vec(t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0). end

Пусть в точке $M$ $ vec(t_0)neqvec$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec(t_0)$.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec$).

Если $vec=$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec-vec(t_0)$ и $vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

begin x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0. end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

begin left| begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \ end right|=0 end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec(t_0)timesvec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec(t_0) timesleft[vec(t_0),vec(t_0)right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)timesvec(t_0)$: begin left(vec-vec(t_0),, vec(t_0),, vec(t_0)timesvec(t_0)right)=0. end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ vec=frac<vec(t_0)><|vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ vec=frac<vec(t_0)timesvec(t_0)><|vec(t_0)timesvec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ vec=frac<vec(t_0) times[vec(t_0),,vec(t_0)]><|vec(t_0) times [vec(t_0),,vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $vec$, $vec$, $vec$ называется репером Френе.

Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

Решение задач

Задача 1

Кривая $gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

begin 1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1. end

begin left| begin X-0 & Y-0 & Z-1 \ 1 & 0 & 1\ 0 & 2 & 1 \ end right|=0 end Раскрываем определитель, получаем уравнение: begin -2X-Y+2Z-2=0 end

begin 1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0. end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec$, $vec$, $vec$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vectimesvec$ направлен так, что тройка векторов $vec$, $vec$, $vec=vectimesvec$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $vec$, $vec$, $vec<tilde>$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,,, y=frac,,, z=frac, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, поэтому записываем определитель begin left| begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \ &&\ 1 & t_0 & t^2_0 \ &&\ 0 & 1 & 2t_0 end right|=0 quad Rightarrow end

begin (X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: begin 9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3. end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $Pleft(-frac45,1,2right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,,, y=1+t,,, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec(t_0)$ и $vec(t_0)timesvec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: begin left| begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \ 2t_0 & 1 & 2\ 0 & 4 & -2 end right|= 0 end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: begin 5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_=2,, t_=-frac25. end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\ & 25X+4Y+8Z=0. end

🌟 Видео

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать