Как найти угловой коэффициент прямой по уравнению

Угловой коэффициент— коэффициент k в уравнении прямой на плоскости y = kx + b. Он численно равняется тангенсу угла между выбранной прямой и осью 0х. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси 0х до прямой против хода часовой стрелки и располагается и пределах от 0 до 180 градусов.

Для обозначения углового коэффициента употребляют латинский символ k. И, основываясь на определении получаем:

Когда прямая параллельна оси 0х или совпадает с ней, то угол ее наклона расценивают, как равный нулю.

Когда прямая параллельна оси 0у, то угловой коэффициент отсутствует и принято указывать, что угловой коэффициент обращается в бесконечность.

Положительный угловой коэффициент прямой свидетельствует о росте графика функции, отрицательный угловой коэффициент – об убывании.

При этом большим значениям углового коэффициента k будет соответствовать более крутая прямая, а меньшим — более пологая.

Угловой коэффициент прямой так же есть возможность вычислить, когда установлены координаты двух произвольных точек прямой:

Тогда, в образовавшемся прямоугольном треугольнике M₁РM₂ вычисляем тангенс:

Видео:Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.

Угол наклона прямой к оси О х , расположенный в декартовой системе координат О х у на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления О х к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна О х или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0 . Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [ 0 , π ) .

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k . Из определения получим, что k = t g α . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120 ° .

Из условия имеем, что α = 120 ° . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k = t g α = 120 = — 3 .

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k > 0 , тогда угол прямой острый и находится по формуле α = a r c t g k . Если k 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π — a r c t g k .

Определить угол наклона заданной прямой к О х при угловом коэффициенте равном 3 .

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к О х меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Ответ: α = a r c t g 3 .

Найти угол наклона прямой к оси О х , если угловой коэффициент = — 1 3 .

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k , тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению О х . Отсюда k = — 1 3 0 , тогда необходимо применить формулу α = π — a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π — a r c t g — 1 3 = π — a r c t g 1 3 = π — π 6 = 5 π 6 .

Ответ: 5 π 6 .

Видео:Угловой коэффициент прямойСкачать

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y = k · x + b , где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси О у .

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y = k · x + b . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М , M 1 ( x 1 , y 1 ) , в уравнение y = k · x + b , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Задана прямая с угловым коэффициентом y = 1 3 x — 1 . Вычислить, принадлежат ли точки M 1 ( 3 , 0 ) и M 2 ( 2 , — 2 ) заданной прямой.

Необходимо подставить координаты точки M 1 ( 3 , 0 ) в заданное уравнение, тогда получим 0 = 1 3 · 3 — 1 ⇔ 0 = 0 . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M 2 ( 2 , — 2 ) , тогда получим неверное равенство вида — 2 = 1 3 · 2 — 1 ⇔ — 2 = — 1 3 . Можно сделать вывод, что точка М 2 не принадлежит прямой.

Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y = k · x + b , проходящим через M 1 ( 0 , b ) , при подстановке получили равенство вида b = k · 0 + b ⇔ b = b . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0 , b . Она образует угол α с положительным направлением оси О х , где k = t g α .

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y = 3 · x — 1 . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0 , — 1 с наклоном в α = a r c t g 3 = π 3 радиан по положительному направлению оси О х . Отсюда видно, что коэффициент равен 3 .

Видео:Уравнение прямой с угловым коэффициентомСкачать

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Равенство y 1 = k · x + b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y — y 1 = k · ( x — x 1 ) . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М 1 с координатами ( 4 , — 1 ) , с угловым коэффициентом равным — 2 .

Решение

По условию имеем, что x 1 = 4 , y 1 = — 1 , k = — 2 . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — ( — 1 ) = — 2 · ( x — 4 ) ⇔ y = — 2 x + 7 .

Ответ: y = — 2 x + 7 .

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М 1 с координатами ( 3 , 5 ) , параллельную прямой y = 2 x — 2 .

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y = 2 x — 2 , отсюда следует, что k = 2 . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — 5 = 2 · ( x — 3 ) ⇔ y = 2 x — 1

Видео:Угловой коэффициент прямойСкачать

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x — x 1 a x = y — y 1 a y . Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y = k · x + b ⇔ y — b = k · x ⇔ k · x k = y — b k ⇔ x 1 = y — b k .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y = — 3 x + 12 к каноническому виду.

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y = — 3 x + 12 ⇔ — 3 x = y — 12 ⇔ — 3 x — 3 = y — 12 — 3 ⇔ x 1 = y — 12 — 3

Ответ: x 1 = y — 12 — 3 .

Общее уравнение прямой проще всего получить из y = k · x + b , но для этого необходимо произвести преобразования: y = k · x + b ⇔ k · x — y + b = 0 . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Дано уравнение прямой вида y = 1 7 x — 2 . Выяснить, является ли вектор с координатами a → = ( — 1 , 7 ) нормальным вектором прямой?

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y = 1 7 x — 2 ⇔ 1 7 x — y — 2 = 0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n → = 1 7 , — 1 , отсюда 1 7 x — y — 2 = 0 . Понятно, что вектор a → = ( — 1 , 7 ) коллинеарен вектору n → = 1 7 , — 1 , так как имеем справедливое соотношение a → = — 7 · n → . Отсюда следует, что исходный вектор a → = — 1 , 7 — нормальный вектор прямой 1 7 x — y — 2 = 0 , значит, считается нормальным вектором для прямой y = 1 7 x — 2 .

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения A x + B y + C = 0 , где B ≠ 0 , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим A x + B y + C = 0 ⇔ — A B · x — C B .

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется — A B .

Задано уравнение прямой вида 2 3 x — 4 y + 1 = 0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

2 3 x — 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Ответ: y = 1 6 x + 1 4 .

Аналогичным образом решается уравнение вида x a + y b = 1 , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x — x 1 a x = y — y 1 a y . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 — x a ⇔ y = — b a · x + b .

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x — a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x — a y a x · x 1 + y 1

Имеется прямая, заданная уравнением x 2 + y — 3 = 1 . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на — 3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y — 3 = 1 — x 2 ⇔ — 3 · y — 3 = — 3 · 1 — x 2 ⇔ y = 3 2 x — 3 .

Ответ: y = 3 2 x — 3 .

Уравнение прямой вида x — 2 2 = y + 1 5 привести к виду с угловым коэффициентом.

Необходимо выражение x — 2 2 = y + 1 5 вычислить как пропорцию. Получим, что 5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) ⇔ 5 x — 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x — 12 ⇔ y = 5 2 x

Ответ: y = 5 2 x — 6 .

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x = λ y = — 1 + 2 · λ .

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x = λ y = — 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · ( y + 1 ) ⇔ y = 2 x — 1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2 . Это записывается как k = 2 .

Видео:7 класс - Алгебра - Определение углового коэффициентаСкачать

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Видео:Как найти угловой коэффициент прямой по графику. Подготовка к ЕГЭ по математике (базовая)Скачать

Уравнение прямой

Прямая — ГМТ, равноудаленных от двух точек.

(I) Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые числа, причем $A$ и $B$ не равны 0 одновременно.

При $A=0$ прямая параллельна оси oX, при $B=0$ — параллельна оси oY.

При $C=0$ прямая проходит через начало координат.

Вектор с координатами $(A;B)$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

Также уравнение можно переписать в виде $$A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$$

(II) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнением вида $y = kx + b$ можно задать не любую прямую — а именно, нельзя задать прямую, перпендикулярную оси абсцисс.

(III) Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках $$frac x a + frac = 1$$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

(IV) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две несовпадающие точки A(x1;y1) и B(x2;y2). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1;y1) и B(x2;y2) имеет вид:

(V) Каноническое уравнение прямой

Если известны координаты точки $P(x_0, y_0)$ лежащей на прямой и направляющего вектора $ vec v = (a; b)$, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу:

(VI) Параметрическое уравнение прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом $$ x = a t + x_0, y = b t + y_0$$ где $(x_0, y_0)$ — координаты точки лежащей на прямой, $(a, b)$ — координаты направляющего вектора прямой.

(VII) Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой с углом наклона $alpha$ в полярных координатах $r$ и $phi$: $$r cos(phi-alpha)=p$$

Калькулятор

Калькулятор для составления уравнения прямой — показывает ход решения

Видео:Угловой коэффициент прямой. Решение задач.Скачать

Переход к другой форме записи

От общего уравнения к уравнению с угловым коэффициентом

Выразить переменную y: $Ax + By + C = 0$

$y = -frac A B x- frac C B$

От уравнения с угловым коэффициентом к общему уравнению

Перенести все члены в левую часть уравнения

Видео:Как найти угловой коэффициент прямой #математика #егэ #shortsСкачать

Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой $k$ = численно равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему.

Slope — угловой коэффициент — наклон, склон холма, показатель насколько крутой холм или гора.

Чтобы найти наклон между двумя точками на плоскости используется формула:

Иногда горизонтальное изменение называют «пробег», а вертикальное изменение — «подъем» или «снижение, спад».

Наклон биссектрисы первого координатного угла равен 1, так как скорость изменения по оси X и по оси Y одинаковы.

Например, найдем наклон между точками (2, 1) и (-9, 7)

Найдем наклон между точками (-1, -3) и (1, 1)

Чем больше модуль числа, чем круче склон. Положительное число означает, что наклон идет вверх при движении слева направо (прямая возрастает). Отрицательное число означает, что наклон идет вниз при движении слева направо (прямая убывает).

Видео:Угловой коэффициент прямой. Пример 1Скачать

Угол между двумя прямыми

Пусть две неперпендикулярные прямые представляются уравнениями $$y= a_1 x+ b_1 \ y= a_2 x+ b_2$$ Тогда угол между двумя прямыми найдется по формуле $$tg(θ)=frac$$

Условие параллельности двух прямых

Две прямые параллельны (или совпадают), если равны их угловые коэффициенты.

Теорема. Прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $k_1 = k_2$ и $b_1 ne b_2$.

Задача

Проверить, выполняется ли условие параллельности прямых $2x-3y+1=0$ и $4x-6y-5=0$.

Задача

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку $(1;2)$ параллельно прямой $2x-3y+1=0$.

Условие перпендикулярности двух прямых

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1: $$k_1 cdot k_2=-1$$

Задача

При каком значении $k$ уравнение $y=kx+1$ определяет прямую, перпендикулярную к прямой $y=2x-1$?

Задача

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку $(-1;1)$ перпендикулярно к прямой $3x-y+2=0$.

Сводная таблица

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Задачи — угловой коэффициент на бумаге в клетку

Определить угловой коэффициент прямой:

Видео:Как найти угловой коэффициент прямой. На что влияет угловой коэффициент. Урок 7. Геометрия 8-9 классСкачать

Расстояние от точки до прямой

Когда прямая на плоскости задана уравнением $ax + by + c = 0$, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки $(x_0,y_0)$ равно

Точка на прямой, наиболее близкая к $(x_0,y_0)$, имеет координаты

📺 Видео

Угловой коэффициент прямой перпендикулярной даннойСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Тема 3 Пример на нахождение углового коэффициента касательной - 1 частьСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Уравнение прямой с угловым коэффициентомСкачать

Урок 5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Декартовы координаты. Геометрия 9 класс.Скачать

Уравнение прямой на плоскостиСкачать