Как найти траекторию по уравнению движения

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Видео:Теоретическая механика 2020 - Практика 1. Кинематика точки.Скачать

Задача

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t₀=0 с, t₁=1 с и t₂=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A₀, подставим в заданные уравнения значения t₀=0; из первого уравнения получим x₀=2 см, из второго y₀=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A₀ (2; 1).

Расчет скорости

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t₀=0, то C=s₀; в данном случае s₀=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Лекция 5.3 | Уравнение траектории | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Траектория и уравнения движения точки

Видео:ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.Скачать

Траектория и уравнения движения точки

• Уравнение движения для локуса и точек 1°.Основные понятия. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой движения в пространстве. Траектории могут быть плоскими или пространственными кривыми. Движение точки определяется установлением закона движения. Закон движения точек (уравнения) устанавливает зависимость расположения точек во временном пространстве.

Движение точки M в фиксированной системе координат xyz определяется установкой 3 функций (рис.3.1). * = / > ( ’). J’ = / *( Людмила Фирмаль

Создайте уравнение движения для точки N в декартовой системе координат. Найдите уравнение его орбиты. Определяет полный 1-кратный поворот точки N и точку, в которой координаты обеих точек равны. The solution. To составьте уравнение движения точки N, необходимо представить ее координаты в виде функции времени. Из рисунка найдите координату x в точке N. Х = О с COS Людмила Фирмаль

Затем по координатам определяется максимальное отклонение точки м от центра колебаний О. МПМ = а ХІ =-а. Величина a называется амплитудой колебаний, kt — (- (J называется фазой колебаний, ap-начальной фазой колебаний. Определите период колебаний, то есть время, в течение которого точки совершают 1 полное колебание, то есть возвращаются в исходное положение с той же скоростью и величиной. Обозначим период буквой Т и найдем его значение из условия, что приращение фазы колебаний за это время равно 2π. Иначе говоря

Задача 3.4.Точки перемещаются в соответствии с уравнением. x = A cos(kt-e), (1） г = Б, потому что КТ(2） Определите уравнение траектории движения точки. Как изменяется локус точек при увеличении разности фаз£от 0 до 2r? The solution. To найдя уравнение орбиты точки в явном виде, нужно исключить время из уравнения motion. To для этого сначала преобразуем уравнение движения. х = а соѕ(т-е)= а [потому что КТ потому что£-(- КТ грех грех ЭЖ.(3） решая уравнения (2) и (3) для cos kt и sin kt, получим: Х г — г соз£ а б. Преступление. потому что КТ =£о грех КТ = Добавьте эти уравнения, возведя их в квадрат. г, (т -£»»’) ’ 1 Б% ’ °1 (4） Sin2 е

Или в конце： — В + М — ^^ ко ^ грех ’、 уравнение (4) для любого значения e является уравнением эллипса. Из этого уравнения максимальные и минимальные значения являются Параметры±соответственно. a для x и zt b для y. таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольники со сторонами 2a и 2b. измените значение от 0 до 2ir. если e = 0, то выражение(4) принимает вид:

Так, если фазы обеих составляющих колебаний перпендикулярны друг другу, то эллипс вырождается в 2 совпадающие прямые, являющиеся диагоналями прямоугольника(рис. в коса -> -= учитывая it_y = 0, горизонтальная дальность полета I определяется из орбитального уравнения (4).

log A x cos2 a следовательно 2 значения x Т / л грех 2а х0 = 0, ХН = 1 = 8. Первое значение соответствует первому моменту (моменту отправления точки), А второе определяет горизонтальное расстояние. Сравнивая значения /и 5, можно сделать вывод, что/ = 2s, то есть точки достигают наивысшего положения в диапазоне горизонтальной половины. Итак, положение точки в пространстве в этой точке.

Уравнение (1) представляет собой параметрическое уравнение траектории a point. To найдя уравнение орбиты точки в координатной форме, нужно исключить время из уравнения(1) и получить форму зависимости. БФ,(Ци, г)= 0, 9а, КР, з)= 0. Комбинация этих 2 уравнений определяет кривую, по которой перемещаются точки. Есть и другие способы указать движение points. In векторным методом, определяющим законы движения, радиус-вектор r движущейся точки M (рис.3.1) задается как функция времени r = r (t).Связь между радиус-вектором r и Декартовыми координатами точки представлена уравнением Р = ХІ * — ый + ЗК. (2 ） Где i, j и k-единичные векторы (единичные векторы) осей. (2)

Если вы получаете x, y> z, текущие координаты точки A4, как определено y. уравнение(1), то (2) x Дайте закон движения точек в векторной форме. 3-й способ задания движения точек называется natural. In в этом случае движение точек определяется уравнением а = /( (). Сферические и цилиндрические координаты часто используются для изучения движения точки в пространстве. Сферическими координатами точки M (рис.3.4) являются расстояние r точки M от неподвижного центра O, угол φ (угол поворота плоскости zOM относительно неподвижной плоскости xOz) и угол ？ =?(’) * (5 *）

Уравнение движения для цилиндрических координат： р = п(о> т = м р = РЗ). (си *） м г Так… 1. Рисунок 3.4. Да. Чтобы перейти от сферических координат к декартовым, используйте следующую формулу:> х = р с с COS

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Уравнение движенияСкачать

Траектория движения

Видео:Кинематика точки Задание К1Скачать

Определение и основные понятия траектории движения

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения.

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

• прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
• и криволинейное перемещение (траектория — кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

Видео:Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($frac$) от нее по $x$.

Видео:Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Видео:Решение графических задач на равномерное движениеСкачать

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

• Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=rho ,x_2=varphi ,x_3= z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки — это значит указать эти функции: [x_1=x_1left(tright);; x_2=x_2left(tright);; x_3=x_3left(tright)left(6right).]
• При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($overline$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $overline$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение: [overline=overlineleft(tright)left(7right).]
• Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

где $s$ — путь точки по траектории; $t$ — время движения; $A$ — коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Видео:Кинематика точки в плоскости. ТермехСкачать

Примеры задач с решением

Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $overline=Aoverline+Bxoverline , $где $overline$, $overline$ — орты осей X и Y; $A$,B — постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. textit

Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:

Из этого уравнения следует, что:

Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):

Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:

Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $left< begin x=At. \ y=At(1+Bt) end right.$, где $A$ и $B$ — положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.

Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:

Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:

Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:

📸 Видео

10.1.04. Уравнение траекторииСкачать

Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Камень брошен горизонтально, надо искать радиус кривизны траектории. (Волькенштейн 1.20)Скачать

Движение тела, брошенного под углом к горизонтуСкачать

Движение точки тела. Способы описания движения | Физика 10 класс #2 | ИнфоурокСкачать

Урок 37. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (начало)Скачать

Модуль 2. Баллистика. Равноускоренное движение в плоскости.Скачать

Кинематика материальной точки за 20 минут (кратко и доступно) Кинематика точкиСкачать

Урок 12. Равномерное прямолинейное движениеСкачать