Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.
Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.
Касание окружностей может быть внешним и внутренним.
Внешнее касание окружностей — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.
Внутреннее касание окружностей — касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной.
Касающиеся окружности имеют только одну общую точку — точку касания.
Центры касающихся окружностей и их общая точка касания лежат на одной прямой.
При любом виде касания по свойству касательной касательная перпендикулярна радиусам, проведённым в точку касания:
По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой k.
Следовательно, все три точки: центры окружностей O1, O2 и A лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать .
При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:
При внутреннем касании расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов:
- Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
- Взаимное расположение двух окружностей
- Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
- Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
- Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.
- 📸 Видео
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать
Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
 Взаимное расположение двух окружностей |
| Общие касательные к двум окружностям |
| Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
| Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
Видео:Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностейСкачать
Взаимное расположение двух окружностей
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  | |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |  | |
| Внешнее касание двух окружностей |  | |
| Внутреннее касание двух окружностей |  | |
| Окружности пересекаются в двух точках |  |  |
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
| ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
| ||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
| ||
| ||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов | ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов | ||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой | ||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  | |
| Внутреннее касание двух окружностей |  | |
| Окружности пересекаются в двух точках |  | |
| Внешнее касание двух окружностей |  | |
 | ||
 | ||
| Внешняя касательная к двум окружностям | |
 | |
| Внутренняя касательная к двум окружностям | |
| |
| Внутреннее касание двух окружностей | |
| |
| Окружности пересекаются в двух точках | |
| |
| Внешнее касание двух окружностей | |
| |
| |
| Каждая из окружностей лежит вне другой | |
| |
| Внешняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||
| Внутренняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||
| Внутреннее касание двух окружностей | |||||||||||||||||||||
| Окружности пересекаются в двух точках | |||||||||||||||||||||
| Внешнее касание двух окружностей | |||||||||||||||||||||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | |||||||||||||||||||||
| Фигура | Рисунок | Формула | ||||||||||||
| Внешняя касательная к двум окружностям |  | |||||||||||||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  | |||||||||||||
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |  | |||||||||||||
| Внешняя касательная к двум окружностям | ||||
| ||||
| Внутренняя касательная к двум окружностям | ||||
| ||||
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей | ||||
| ||||
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать  Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Видео:Взаимное расположение двух окружностей.Использование уравнений окружности и прямой при решении задачСкачать  Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются. Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно. Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1). Теорема. Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются. Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1. Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются. Следствие. Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам. Теоремы. 1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются. 2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении. Признаки различных случаев относительного положения окружностей. Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d. Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:
1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 . 2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1. 3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон. 4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1. 5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно, d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне. 3. Если d R — R1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри. 5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны. 📸 Видео9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать  Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать  1 2 4 сопряжение окружностейСкачать  Геометрия 16-09. Взаимное расположение двух и более окружностей. Задача 9Скачать  Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать  Касание окружностейСкачать  ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать  Пересечение двух окружностейСкачать  10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать  Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать  Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать  ОГЭ Задание 26 Внешнее касание двух окружностейСкачать  ОГЭ Задание 25 Внешнее касание двух окружностейСкачать  ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать  Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.Скачать  |
