Как найти радиус эллипса из уравнения

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Как найти радиус эллипса из уравнения,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравненияна рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Как найти радиус эллипса из уравнения,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Как найти радиус эллипса из уравнения

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Как найти радиус эллипса из уравнения Как найти радиус эллипса из уравненияперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Как найти радиус эллипса из уравнения. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Как найти радиус эллипса из уравнения, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Как найти радиус эллипса из уравнения.

Точки Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравнения, обозначенные зелёным на большей оси, где

Как найти радиус эллипса из уравнения,

называются фокусами.

Как найти радиус эллипса из уравнения

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Как найти радиус эллипса из уравнения.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Как найти радиус эллипса из уравнения.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Как найти радиус эллипса из уравнения.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Как найти радиус эллипса из уравнения.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Как найти радиус эллипса из уравнения.

Получаем фокусы эллипса:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет Как найти радиус эллипса из уравнения, а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если Как найти радиус эллипса из уравнения— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и Как найти радиус эллипса из уравнения— расстояния до этой точки от фокусов Как найти радиус эллипса из уравнения, то формулы для расстояний — следующие:

Как найти радиус эллипса из уравнения.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Как найти радиус эллипса из уравнения,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

Как найти радиус эллипса из уравнения,

где Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравнения— расстояния этой точки до директрис Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравнения.

Пример 7. Дан эллипс Как найти радиус эллипса из уравнения. Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. Как найти радиус эллипса из уравнения. Все данные для этого есть. Вычисляем:

Как найти радиус эллипса из уравнения.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки Как найти радиус эллипса из уравнения, а директрисами являются прямые Как найти радиус эллипса из уравнения.

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Как найти радиус эллипса из уравнения.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Уравнение эллипса готово:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Пример 9. Проверить, находится ли точка Как найти радиус эллипса из уравненияна эллипсе Как найти радиус эллипса из уравнения. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Как найти радиус эллипса из уравнения.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

Как найти радиус эллипса из уравнения,

так как из исходного уравнения эллипса Как найти радиус эллипса из уравнения.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2Скачать

№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек Как найти радиус эллипса из уравнения

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы Как найти радиус эллипса из уравнения

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Как найти радиус эллипса из уравненияСогласно определению эллипса имеем Как найти радиус эллипса из уравненияИз треугольников Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравненияпо теореме Пифагора найдем

Как найти радиус эллипса из уравнения

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Как найти радиус эллипса из уравнения

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Как найти радиус эллипса из уравнения

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Как найти радиус эллипса из уравненияРаскроем разность квадратов Как найти радиус эллипса из уравненияПодставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Как найти радиус эллипса из уравненияВновь возведем обе части равенства в квадрат Как найти радиус эллипса из уравненияРаскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Как найти радиус эллипса из уравненияСоберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Как найти радиус эллипса из уравненияВведем обозначение для разности, стоящей в скобках Как найти радиус эллипса из уравненияУравнение принимает вид Как найти радиус эллипса из уравненияРазделив все члены уравнения на Как найти радиус эллипса из уравненияполучаем каноническое уравнение эллипса: Как найти радиус эллипса из уравненияЕсли Как найти радиус эллипса из уравнениято эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенствавдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки Как найти радиус эллипса из уравненияследовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

  • Как найти радиус эллипса из уравненият.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки Как найти радиус эллипса из уравнения
  • Как найти радиус эллипса из уравненият.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки Как найти радиус эллипса из уравнения(Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Как найти радиус эллипса из уравнения

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Как найти радиус эллипса из уравненияКак найти радиус эллипса из уравнения

Определение: Если Как найти радиус эллипса из уравнениято параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса Как найти радиус эллипса из уравнения

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Как найти радиус эллипса из уравненияКроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси Как найти радиус эллипса из уравнения

Если Как найти радиус эллипса из уравненияи эллипс вырождается в окружность. Если Как найти радиус эллипса из уравненияи эллипс вырождается в отрезок Как найти радиус эллипса из уравнения

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет Как найти радиус эллипса из уравнения

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Как найти радиус эллипса из уравненияЗная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Как найти радиус эллипса из уравненияСледовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: Как найти радиус эллипса из уравнения

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса Как найти радиус эллипса из уравненияа третья вершина — в центре окружности

Как найти радиус эллипса из уравнения

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: Как найти радиус эллипса из уравнения

Как найти радиус эллипса из уравненияСледовательно, большая полуось эллипса Как найти радиус эллипса из уравненияа малая полуось Как найти радиус эллипса из уравненияТак как Как найти радиус эллипса из уравнениято эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Как найти радиус эллипса из уравненияИтак, Как найти радиус эллипса из уравненияОкружность: Как найти радиус эллипса из уравненияВыделим полные квадраты по переменным Как найти радиус эллипса из уравнения Как найти радиус эллипса из уравненияСледовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Как найти радиус эллипса из уравнения

Построим в декартовой системе координат треугольник Как найти радиус эллипса из уравненияСогласно школьной формуле площадь треугольника Как найти радиус эллипса из уравненияравна Как найти радиус эллипса из уравненияВысота Как найти радиус эллипса из уравненияа основание Как найти радиус эллипса из уравненияСледовательно, площадь треугольника Как найти радиус эллипса из уравненияравна:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Эллипс в высшей математике

Как найти радиус эллипса из уравнения

где Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравнения—заданные положительные числа. Решая его относительно Как найти радиус эллипса из уравнения, получим:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное Как найти радиус эллипса из уравненияпо абсолютной величине меньше Как найти радиус эллипса из уравнения, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению Как найти радиус эллипса из уравнения, удовлетворяющему неравенству Как найти радиус эллипса из уравнениясоответствуют два значения Как найти радиус эллипса из уравнения, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Как найти радиус эллипса из уравнения. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Как найти радиус эллипса из уравнения. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При Как найти радиус эллипса из уравнения, при Как найти радиус эллипса из уравнения. Кроме того, заметим, что если Как найти радиус эллипса из уравненияувеличивается, то разность Как найти радиус эллипса из уравненияуменьшается; стало быть, точка Как найти радиус эллипса из уравнениябудет перемещаться от точки Как найти радиус эллипса из уравнениявправо вниз и попадет в точку Как найти радиус эллипса из уравнения. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Как найти радиус эллипса из уравнения

Полученная линия называется эллипсом. Число Как найти радиус эллипса из уравненияявляется длиной отрезка Как найти радиус эллипса из уравнения, число Как найти радиус эллипса из уравнения—длиной отрезка Как найти радиус эллипса из уравнения. Числа Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравненияназываются полуосями эллипса. Число Как найти радиус эллипса из уравненияэксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом Как найти радиус эллипса из уравнения(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось Как найти радиус эллипса из уравненияпримем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось Как найти радиус эллипса из уравнениябудет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости Как найти радиус эллипса из уравнениявозьмем окружность радиуса Как найти радиус эллипса из уравненияс центром в начале координат, ее уравнение Как найти радиус эллипса из уравнения.

Пусть точка Как найти радиус эллипса из уравнениялежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению Как найти радиус эллипса из уравнения.

Как найти радиус эллипса из уравнения

Обозначим проекцию точки Как найти радиус эллипса из уравненияна плоскость Как найти радиус эллипса из уравнениябуквой Как найти радиус эллипса из уравнения, а координаты ее—через Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравнения. Опустим перпендикуляры из Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравненияна ось Как найти радиус эллипса из уравнения, это будут отрезки Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравнения. Треугольник Как найти радиус эллипса из уравненияпрямоугольный, в нем Как найти радиус эллипса из уравнения, Как найти радиус эллипса из уравнения,Как найти радиус эллипса из уравнения, следовательно, Как найти радиус эллипса из уравнения. Абсциссы точек Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравненияравны, т. е. Как найти радиус эллипса из уравнения. Подставим в уравнение Как найти радиус эллипса из уравнениязначение Как найти радиус эллипса из уравнения, тогда cos

Как найти радиус эллипса из уравнения

Как найти радиус эллипса из уравнения

а это есть уравнение эллипса с полуосями Как найти радиус эллипса из уравненияи Как найти радиус эллипса из уравнения.

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

Как найти радиус эллипса из уравнения

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей Как найти радиус эллипса из уравненияс коэффициентами деформации, равными Как найти радиус эллипса из уравнения

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам Как найти радиус эллипса из уравнения(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Как найти радиус эллипса из уравнения

Как найти радиус эллипса из уравненияИными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в Как найти радиус эллипса из уравненияраз, если Как найти радиус эллипса из уравнения, и увеличиваются в Как найти радиус эллипса из уравненияраз, если Как найти радиус эллипса из уравненияи т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

Как найти радиус эллипса из уравнения

где Как найти радиус эллипса из уравненияУравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины Как найти радиус эллипса из уравненияназываются полуосями эллипсоида; удвоенные величины Как найти радиус эллипса из уравненияназываются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Видео:Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.Скачать

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

Как найти радиус эллипса из уравнения

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Видео:166. Найти каноническое уравнение эллипса.Скачать

166. Найти каноническое уравнение эллипса.

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Как найти радиус эллипса из уравнения

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

Как найти радиус эллипса из уравнения

Как найти радиус эллипса из уравнения

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,

a 2 b 2 = a 2 y 2 + x 2 b 2 ,

Как найти радиус эллипса из уравнения

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Как найти радиус эллипса из уравнения

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Видео:найти уравнение касательной к эллипсуСкачать

найти уравнение касательной к эллипсу

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Как найти радиус эллипса из уравнения

a – большая полуось, b – малая.

Видео:Разбор задания из теста по ангему | Уравнение эллипса | Уравнение касательной к эллипсуСкачать

Разбор задания из теста по ангему | Уравнение эллипса | Уравнение касательной к эллипсу

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

Как найти радиус эллипса из уравнения

Видео:Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

§18 Каноническое уравнение эллипса

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Видео:Уравнение эллипса. Нахождение вершин и фокусовСкачать

Уравнение эллипса. Нахождение вершин и фокусов

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Видео:Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать

Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте Сегмента

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Как найти радиус эллипса из уравнения

Как найти радиус эллипса из уравнения

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Как найти радиус эллипса из уравнения

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

🔍 Видео

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

§17 Определение эллипсаСкачать

§17 Определение эллипса

Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.
Поделиться или сохранить к себе: