Как найти производную уравнения в степени

Видео:Найдите производную функции x^x ★ Как находить производные показательно-степенных функцийСкачать

Основные формулы

Производная от x в степени a равна a , умноженному на x в степени a минус один:
(1) .

Производная от корня степени n из x в степени m равна:
(2) .

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Вывод формулы производной степенной функции

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a :
(3) .
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4) .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Случай x = 0

Если , то степенная функция определена и при значении переменной x = 0 . Найдем производную функции (3) при x = 0 . Для этого воспользуемся определением производной:
.

Подставим x = 0 :
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .

Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при , .
При , .
При , .
Этот результат получается и по формуле (1):
(1) .
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0 .

Случай x .
При некоторых значениях постоянной a , она определена и при отрицательных значениях переменной x . А именно, пусть a будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m и n – целые числа, не имеющие общего делителя.

Если n нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x . Например, при n = 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x :
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x .

Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a , для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь . Но
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1) .

Видео:ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ решение производных функцийСкачать

Производные высших порядков

Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3) .
Производную первого порядка мы уже нашли:
.

Вынося постоянную a за знак производной, находим производную второго порядка:
.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
;

.

Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка имеет следующий вид:
.

Заметим, что если a является натуральным числом, , то n -я производная является постоянной:
.
Тогда все последующие производные равны нулю:
,
при .

Видео:4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать

Примеры вычисления производных

Пример

Найдите производную функции:
.

Преобразуем корни к степеням:
;
.
Тогда исходная функция приобретает вид:
.

Находим производные степеней:
;
.
Производная постоянной равна нулю:
.

Еще примеры

Найти производные следующих функций, зависящих от переменной x :
Решение > > > Решение > > > Решение > > > Решение > > > Решение > > >

Найти производную шестого порядка следующей функции:
.
Решение > > >

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-04-2017

Видео:12. Производная степенно-показательной функцииСкачать

Производная степенной функции

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

Формула

Производная степенной функции равна произведению показателя степени и основания в степени на единицу меньше.

Заметим, что в качестве степени может быть как натуральное число, то есть 1, 2, 3, . ; так и любое отрицательное число: — 1, — 2 и т.д., а также и любое дробное, например, 2,34; — 4,1 или $frac$ , $-frac$ .

Заметим, что если аргумент у степенной функции есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$, то производную нужно находить по следующей формуле:

Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Примеры вычисления производной степенной функции

Задание. Найти производную функции $y(x)=frac<x^>$

Решение. Искомая производная

По правилам дифференцирования выносим константу $frac$ за знак производной:

Далее находим производную степенной функции по формуле:

Видео:Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать

Нахождение производной степенной функции

В данной публикации мы рассмотрим, чему равна производная степенной функций (в т.ч. сложной), а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:5. Производная сложной функции примеры №1.Скачать

Формула производной степенной функции

Для функции f(x) = x n , где n – действительное число, справедливо следующее выражение:

Т.е. производная степенной функции равняется произведению показателя степени на основание в степени, уменьшенной на единицу.

n – может быть как положительным, так и отрицательным числом (в т.ч. дробным):

Производная сложной степенной функции

В сложной функции вместо x представлено более сложное выражение. Производная такой функции определяется по формуле:

Видео:Производная логарифмической функции. 11 класс.Скачать

Примеры задач

Задание 1:
Вычислите производную функцию f(x) = x 3 /5 .

Решение:
Согласно правилам дифференцирования константу в виде дроби можно вынести за знак производной:

Применив формулу производной, рассмотренную выше, получаем:

Задание 2:
Найдите производную функции f(x) = x 2 + √ x – 6 .

Решение:
Первоначальный вид производной функции:
f ‘ (x) = (x 2 + √ x – 6) ‘.

С учетом правила дифференцирования суммы получаем:
f ‘ (x) = (x 2 ) ‘ + (√ x ) ‘ – (6) ‘.

Остается только вычислить производные по отдельности:

(x 2 ) ‘ = 2x 2-1 = 2x

(-6) ‘ = 0 (производная константы равна нулю)

📸 Видео

12.1. Логарифмическое дифференцирование ( логарифмическая производная )Скачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Вычисление производных. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Производная сложной функции. 10 класс.Скачать

Производная степенной функцииСкачать

Производная показательной функции. 11 класс.Скачать

4.2 Производная Примеры для тренировкиСкачать

Производная сложной функции. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Вычислить производную примеры. Самое началоСкачать