В данной публикации мы рассмотрим производные логарифмических функций, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Виды логарифмов
Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:
1. Десятичный логарифм (lg x )
Т.е. это логарифм числа x основанию 10.
2. Натуральный логарифм (ln x )
Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).
Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать
Общая формула производной логарифма
Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x .
Видео:Производная логарифмической функции. 11 класс.Скачать
Производная натурального логарифма
Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x .
Данная формула получена следующим образом:
Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:
Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x) :
Видео:4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать
Примеры задач
Задание 1:
Найдите производную функции y(x) = log4 x .
Решение:
Используя общую формулу производной получаем:
Задание 2:
Вычислите производную функции y = ln x / 5.
Решение:
Применим свойство производной, согласно которой константу можно вынести за знак производной, и далее воспользуемся формулой для натурального логарифма:
Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать
Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.
Когда нам нужно выполнить дифференцирование показательно степенной функции вида y = ( f ( x ) ) g ( x ) или преобразовать громоздкое выражение с дробями, можно использовать логарифмическую производную. В рамках этого материала мы приведем несколько примеров применения этой формулы.
Чтобы понять эту тему, необходимо знать, как пользоваться таблицей производных, быть знакомым с основными правилами дифференцирования и представлять себе, что такое производная сложной функции.
Видео:Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать
Как вывести формулу логарифмической производной
Для получения этой формулы нужно сначала произвести логарифмирование по основанию e, а затем упростить получившуюся функцию, применив основные свойства логарифма. После этого надо вычислить производную неявно заданной функции:
y = f ( x ) ln y = ln ( f ( x ) ) ( ln y ) ‘ = ( ln ( f ( x ) ) ) ‘ 1 y · y ‘ = ( ln ( f ( x ) ) ) ‘ ⇒ y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘
Видео:Производная 5 Экспонента и натуральный логарифм.Скачать
Примеры использования формулы
Покажем на примере, как это делается.
Вычислить производную показательно степенной функции переменной x в степени x .
Решение
Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем ln y = ln x x . С учетом свойств логарифма это можно выразить как ln y = x · ln x . Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:
ln y = x · ln x ln y ‘ = x · ln x ‘ 1 y · y ‘ = x ‘ · ln x + · ln x ‘ ⇒ y ‘ = y · 1 · ln x + x · 1 x = y · ( ln x + 1 ) = x x · ( ln x + 1 )
Ответ: x x ‘ = x x · ( ln x + 1 )
Такую задачу можно решить и другим способом, без логарифмической производной. Сначала нам надо преобразовать исходное выражение так, чтобы перейти от дифференцирования показательно степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:
y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y ‘ = ( e x · ln x ) ‘ = e x · ln x · x · ln x ‘ = x x · x ‘ · ln x + x · ( ln x ) ‘ = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1
Рассмотрим еще одну задачу.
Вычислите производную функции y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .
Решение
Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную y ‘ = y · ln ( f ( x ) ) ‘ . Поясним, почему такое вычисление удобнее.
Начнем с нахождения ln ( f ( x ) ) . Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:
- логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
- логарифм произведения можно представить в виде суммы;
- если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.
ln ( f ( x ) ) = ln ( x 2 + 1 ) 1 3 x 3 · sin x 1 2 = ln ( x 2 + 1 ) 1 3 — ln ( x 3 · sin x ) 1 2 = = 1 3 ln ( x 2 + 1 ) — 3 2 ln x — 1 2 ln sin x
В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:
( ln ( f ( x ) ) ) ‘ = 1 3 ln ( x 2 + 1 ) — 3 2 ln x — 1 2 ln sin x ‘ = = 1 3 ln ( x 2 + 1 ) ‘ — 3 2 ln x ‘ — 1 2 ln sin x ‘ = = 1 3 ( ln ( x 2 + 1 ) ) ‘ — 3 2 ( ln x ) ‘ — 1 2 ( ln sin x ) ‘ = = 1 3 · 1 x 2 + 1 · x 2 + 1 ‘ — 3 2 · 1 x — 1 2 · 1 sin x · ( sin x ) ‘ = = 1 3 · 2 x x 2 + 1 — 3 2 x — cos x 2 sin x
Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.
Ответ: y ‘ = y · ln ( f ( x ) ) ‘ = x 2 + 1 3 x 3 · sin x · 1 3 · 2 x x 2 + 1 — 3 2 x — cos x 2 sin x
Чтобы закрепить материал, изучите еще пару следующих примеров. Здесь будут приведены только вычисления с минимумом комментариев.
Дана показательно степенная функция y = ( x 2 + x + 1 ) x 3 . Вычислите ее производную.
Решение:
y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘ = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · ln ( x 2 + x + 1 ) x 3 ‘ = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · x 3 · ( x 2 + x + 1 ) ‘ = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · x 3 ‘ · ln ( x 2 + x + 1 ) + x 3 ln ( x 2 + x + 1 ) ‘ = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · 3 x 2 · ln ( x 2 + x + 1 ) + x 3 · 1 x 2 + x + 1 · x 2 + x + 1 ‘ = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · 3 x 2 · ln ( x 2 + x + 1 ) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · 3 x 2 · ln ( x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1
Ответ: y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘ = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · 3 x 2 · ln ( x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1
Вычислите производную выражения y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 .
Решение
Применяем формулу логарифмической производной.
y ‘ = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 ‘ = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 — ln x 2 + 2 x + 2 ‘ = = y · 1 3 ln ( x 2 + 1 ) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln ( x 3 + 1 ) — 1 2 ln ( x 2 + 2 x + 2 ) ‘ = = y · ( x 2 + 1 ) ‘ 3 ( x 2 + 1 ) + x + 1 ‘ 2 ( x + 1 ) + ( x 3 + 1 ) ‘ 4 x 3 + 1 — x 2 + 2 x + 2 ‘ 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 · 2 x 3 ( x 2 + 1 ) + 1 2 ( x + 1 ) + 3 x 2 4 ( x 3 + 1 ) — 2 x + 2 2 ( x 2 + 2 x + 2 )
Ответ:
y ‘ = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 · 2 x 3 ( x 2 + 1 ) + 1 2 ( x + 1 ) + 3 x 2 4 ( x 3 + 1 ) — 2 x + 2 2 ( x 2 + 2 x + 2 ) .
Видео:11. Производная неявной функции примерыСкачать
Пошаговый калькулятор производных онлайн
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
📽️ Видео
Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Как найти логарифмическую производную | Высшая математикаСкачать
4.3 Найти производную функцииСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.Скачать
Вычисление производных. 10 класс.Скачать
Как найти производную, и больше ее не терять!?Скачать
Производная показательной функции. 11 класс.Скачать
Логарифмическая функция, ее свойства и график. 11 класс.Скачать
Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать
ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать
ПРОИЗВОДНАЯ функции. Объяснение математического смысла.Скачать
