Как найти проекцию точки на прямую заданную системой уравнений

Видео:23. Точка пересечения прямой и плоскости / Проекция точки на плоскость / Проекция точки на прямуюСкачать

Проекция точки на прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Как найти проекцию точки на прямую. Линейная алгебраСкачать

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀) и прямая L:

,

(1)

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

(5)

Подставим значения x и y в (4):

(5′)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

Пример 1. Найти проекцию точки M₀(1, 3) на прямую

(6)

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Т.е. m=4, p=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x’=2, y’=-3. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (5′):

Подставляя значение t в (5), получим:

,

.

Проекцией точки M₀(1, 3) на прямую (6) является точка:

,

(7)

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (8) можно записать так:

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (7):

(10)

Подставим значения x и y в (9):

(10′)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (9). Следовательно, подставляя значение t’ в (10) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

Пример 2. Найти проекцию точки M₀(3, −1, −2) на прямую

(11)

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Т.е. m=2, p=3, l=−4. Из уравнения прямой (11) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(2, 1, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (11) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=2, y’=1, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (10′):

Подставляя значение t=t’ в (10), получим:

.

.

.

Проекцией точки M₀(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

Видео:Прямая на плоскости. Проекция точки на прямуюСкачать

Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую

Данная статья рассматривает понятие проекции точки на прямую (ось). Мы дадим ему определение с использованием поясняющего рисунка; изучим способ определения координат проекции точки на прямую (на плоскости или в трехмерном пространстве); разберем примеры.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Проекция точки на прямую, определение

В статье «Проекция точки на плоскость, координаты» мы упоминали, что проецирование фигуры является обобщенным понятием перпендикулярного или ортогонального проецирования.

Все геометрические фигуры состоят из точек, соответственно проекция этой фигуры есть множество проекций всех ее точек. Поэтому, чтобы иметь возможность спроецировать фигуру на прямую, необходимо получить навык проецирования точки на прямую.

Проекция точки на прямую – это или сама точка, если она принадлежит заданной прямой, или основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.

Рассмотрим рисунок ниже: точка H 1 служит проекцией точки М 1 на прямую a , а точка М 2 , принадлежащая прямой, является проекцией сама себя.

Данное определение верно для случая на плоскости и в трехмерном пространстве.

Чтобы на плоскости получить проекцию точки М 1 на прямую a , проводится прямая b , проходящая через заданную точку M 1 и перпендикулярная прямой a . Таким образом, точка пересечения прямых a и b будет проекцией точки М 1 на прямую a .

В трехмерном пространстве проекцией точки на прямую будет служить точка пересечения прямой a и плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a .

Видео:Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать

Нахождение координат проекции точки на прямую

Рассмотрим данный вопрос в случаях проецирования на плоскости и в трехмерном пространстве.

Пусть нам заданы прямоугольная система координат O x y , точка М 1 ( x 1 , y 1 ) и прямая a . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Проложим через заданную точку М 1 ( x 1 , y 1 ) прямую b перпендикулярно прямой a . Точку пересечения маркируем как H 1 . Точка Н 1 будет являться точкой проекции точки М 1 на прямую a .

Из описанного построения можно сформулировать алгоритм, который позволяет находить координаты проекции точки М 1 ( x 1 , y 1 ) на прямую a :

— составляем уравнение прямой (если оно не задано). Для совершения этого действия необходим навык составления основных уравнений на плоскости;

— записываем уравнение прямой b (проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a ). Здесь поможет статья об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой;

— определяем искомые координаты проекции как координаты точки пересечения прямых a и b . Для этого решаем систему уравнений, составляющие которой – уравнения прямых a и b .

На плоскости O x y заданы точки М 1 ( 1 , 0 ) и прямая a (общее уравнение – 3 x + y + 7 = 0 ). Необходимо определить координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Решение

Уравнение заданной прямой известно, поэтому, согласно алгоритму, переходим к шагу записи уравнения прямой b . Прямая b перпендикулярна прямой a , а значит нормальный вектор прямой a служит направляющим вектором прямой b . Тогда направляющий вектор прямой b запишем как b → = ( 3 , 1 ) . Запишем и каноническое уравнение прямой b , поскольку нам также заданы координаты точки М 1 , через которую проходит прямая b :

Заключительным шагом определяем координаты точки пересечения прямых a и b . Перейдем от канонических уравнений прямой b к общему ее уравнению:

x — 1 3 = y 1 ⇔ 1 · ( x — 1 ) = 3 · y ⇔ x — 3 y — 1 = 0

Составим систему уравнений из общих уравнений прямых a и b и решим ее:

3 x + y + 7 = 0 x — 3 y — 1 = 0 ⇔ y = — 3 x — 7 x — 3 y — 1 = 0 ⇔ y = — 3 x — 7 x — 3 · ( — 3 x — 7 ) — 1 = 0 ⇔ ⇔ y = — 3 x — 7 x = — 2 ⇔ y = — 3 · ( — 2 ) — 7 x = — 2 ⇔ y = — 1 x = — 2

В конечном итоге мы получили координаты проекции точки М 1 ( 1 , 0 ) на прямую 3 x + y + 7 = 0 : ( — 2 , — 1 ) .

Ответ: ( — 2 , — 1 ) .

Подробнее рассмотрим случай, когда необходимо определить координаты проекции заданной точки на координатные прямые и параллельные им прямые.

Пусть заданы координатные прямые O x и O y , а также точка М 1 ( x 1 , y 1 ) . Понятно, что проекцией заданной точки на координатную прямую O x вида y = 0 будет точка с координатами ( x 1 , 0 ) . Так и проекция заданной точки на координатную прямую O y будет иметь координаты 0 , y 1 .

Любую произвольную прямую, параллельную оси абсцисс, возможно задать неполным общим уравнением B y + C = 0 ⇔ y = — C B , а прямую, параллельную оси ординат — A x + C = 0 ⇔ x = — C A.

Тогда проекциями точки М 1 ( x 1 , y 1 ) на прямые y = — C B и x = — C A станут точки с координатами x 1 , — C B и — C A , y 1 .

Определите координаты проекции точки М 1 ( 7 , — 5 ) на координатную прямую O y , а также на прямую, параллельную прямой O y 2 y — 3 = 0 .

Решение

Запишем координаты проекции заданной точки на прямую O y : ( 0 , — 5 ) .

Запишем уравнение прямой 2 y — 3 = 0 в виде y = 3 2 . Становится видно, что проекция заданной точки на прямую y = 3 2 будет иметь координаты 7 , 3 2 .

Ответ: ( 0 , — 5 ) и 7 , 3 2 .

Пусть в трехмерном пространстве заданы прямоугольная система координат O x y z , точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и прямая a . Найдем координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Построим плоскость α , проходящую через точку М 1 и перпендикулярную прямой a . Проекцией заданной точки на прямую a станет точка пересечения прямой a и плоскости α . Исходя из этого, приведем алгоритм для нахождения координат проекции точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на прямую a :

— запишем уравнение прямой а (если оно не задано). Для решения этой задачи необходимо ознакомиться со статьей об уравнениях прямой в пространстве;

— составим уравнение плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a (см. статью «Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой»);

— найдем искомые координаты проекции точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на прямую a – это будут координаты точки пересечения прямой α и плоскости α (в помощь – статья «Координаты точки пересечения прямой и плоскости»).

Задана прямоугольная система координат O x y z , и в ней – точка М 1 ( 0 , 1 , — 1 ) и прямая a . Прямой a соответствуют канонические уравнения вида: x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 . Определите координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Решение

Используем указанный выше алгоритм. Уравнения прямой a известны, поэтому первый шаг алгоритма пропускаем. Запишем уравнение плоскости α . Для этого определим координаты нормального вектора плоскости α . Из заданных канонических уравнений прямой a выделим координаты направляющего вектора этой прямой: ( 3 , — 4 , 1 ) , который будет являться нормальным вектором плоскости α , перпендикулярной прямой a . Тогда n → = ( 3 , — 4 , 1 ) – нормальный вектор плоскости α . Таким образом, уравнение плоскости α будет иметь вид:

3 · ( x — 0 ) — 4 · ( y — 1 ) + 1 · ( z — ( — 1 ) ) = 0 ⇔ 3 x — 4 y + z + 5 = 0

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой а и плоскости α, для этого используем два способа:

1. Заданные канонические уравнения позволяют получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a :

x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 ⇔ — 4 · ( x + 2 ) = 3 · ( y — 6 ) 1 · ( x + 2 ) = 3 · ( z + 1 ) 1 · ( y — 6 ) = — 4 · ( z + 1 ) ⇔ 4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0

Чтобы найти точки пересечения прямой 4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0 и плоскости 3 x — 4 y + z + 5 = 0 , решим систему уравнений:

4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0 3 x — 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x — 3 z = 1 3 x — 4 y + z = — 5

В данном случае используем метод Крамера, но возможно применить любой удобный:

∆ = 4 3 0 1 0 — 3 3 — 4 1 = — 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 — 3 — 5 — 4 1 = — 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = — 78 — 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 — 3 3 — 5 1 = — 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = — 156 — 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 — 4 — 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 — 78 = 0

Таким образом, проекцией заданной точки на прямую a является точка c координатами ( 1 , 2 , 0 )

1. На основе заданных канонических уравнений легко записать параметрические уравнения прямой в пространстве:

x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 ⇔ x = — 2 + 3 · λ y = 6 — 4 · λ z = — 1 + λ

Подставим в уравнение плоскости, имеющее вид 3 x — 4 y + z + 5 = 0 , вместо x , y и z их выражения через параметр:

3 · ( — 2 + 3 · λ ) — 4 · ( 6 — 4 · λ ) + ( — 1 + λ ) + 5 = 0 ⇔ 26 · λ = 0 ⇔ λ = 1

Вычислим искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости α по параметрическим уравнениям прямой a при λ = 1 :

x = — 2 + 3 · 1 y = 6 — 4 · 1 z = — 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Таким образом, проекция заданной точки на прямую a имеет координаты ( 1 , 2 , 0 )

Ответ: ( 1 , 2 , 0 )

Напоследок отметим, что проекциями точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на координатные прямые O x , O y и O z буду являться точки с координатами ( x 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , y 1 , 0 ) и ( 0 , 0 , z 1 ) соответственно.

Видео:Проекция точки на плоскость, проекция прямой на плоскость. Параллельные прямые.Скачать

Задача 35026 найти проекцию точки (0;-1;-4) на.

Условие

Решение

Плоскости 2x+y–z=0 и 3x–y–z–2=0 пересекаются по прямой, на ней бесчисленное множество точек.
Найдем две точки, принадлежащие прямой

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки:

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1 – каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор прямой vector=(0,4;0,2;1)

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P, перпендикулярно прямой.
При этом направляющий вектор прямой = нормальный вектор плоскости
0,4*(x-0)+0,2*(y-(-1))+1*(z-(-4))=0
[b]0,4x+0,2y+z+4,2=0[/b]

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Для этого напишем параметрические уравнения прямой:

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1= t ( вводим параметр)

📹 Видео

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Нахождение точки, симметричной данной относительно плоскости в пространствеСкачать

523. Проекция точки на плоскость.Скачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Построить проекции линии и точек на ней по заданным координатам. Начертательная геометрияСкачать

Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

проекции точкиСкачать

2 3 проекция точки на конусеСкачать

Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

Уравнение прямой на плоскости. Решение задачСкачать