Как найти первые интегралы уравнений

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Нахождение интегрируемых комбинаций

Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений

состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида

где — некоторая функция от искомой функции . Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл . Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где , то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.

Пример 1. Решить систему

Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем

Вычитая почленно оба уравнения, получаем

Итак, найдены два первых интеграла данной системы

которые являются независимыми, так как якобиан отличен от нуля:

Общий интеграл системы (2)

Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получаем общее решение системы (2):

Пример 2. Решить систему

Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем , откуда первый интеграл системы (4)

Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим систему с двумя неизвестными функциями

Из второго уравнения системы (6) находим

Подставляя (7) в первое уравнение системы (6), будем иметь

Отсюда находим общее решение системы (4):

Пример 3. Найти частное решение системы

Решение. Запишем данную систему в виде

Складывая почленно последние уравнения, получаем

Отсюда находим первый интеграл . Так как , то второе уравнение системы примет вид , откуда . Итак,

откуда получаем общее решение

Полагая в этих равенствах, найдем , т.е. , и искомым частным решением будет

Пример 4. (разложение вещества). Вещество разлагается на два вещества и со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств и веществ и в зависимости от времени , если при имеем , а через час , где — первоначальное количество вещества .

Решение. В момент времени количество неразложившегося вещества равно . В силу условия задачи будем иметь

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим

При имеем , поэтому из последнего уравнения находим , а значит

Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение

Используя начальное условие , найдем , так что

Подставляя (10) в (9), будем иметь

Для определения коэффициентов и примем за единицу времени час. Учитывая, что при , из (10) и (10′) найдем

так что , и искомое решение системы (8)

Пример 5. (равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть имеются для сосуда объемов и соответственно, наполненные газом. Давление газа в начальный момент времени равно в первом сосуде и — во втором. Сосуды соединены трубкой, по которой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количество газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности квадратов давлений, определить давления и в сосудах в момент времени .

Решение. Пусть — количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в течение времени из одного сосуда в другой протечет количество газа . Это количество равно убыли газа за время в одном сосуде и прибыли за то же время — в другом. Последнее выражается системой уравнений

где — постоянный коэффициент.

Вычитая почленно уравнения системы (II), получаем

Умножим обе части первого уравнения системы (11) на , а второго — на и сложим почленно:

Учитывая (12) и деля обе части (13) на , будем иметь

Видео:5. Первые интегралы.Скачать

Как найти первые интегралы уравнений

1. У равнения с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений

С учетом равенства

уравнение (8.10) может быть записано в виде .

Разделим обе части на произведение функций M ( x )∙ Q ( y ) (при условии ) и после сокращения получим: . Так как переменные разделены, проин тегрируем уравнение почленно: . После нахождения интегралов получаем общий интеграл исходного ДУ. Предполагая, что , мы могли потерять решения. Следовательно, необходимо подстановкой M ( x )=0, Q ( y )=0 в исходное уравнение сделать проверку. В том случае, когда данные функции удовлетворяют уравнению, они также являются его решениями.

Пример 8.2. Проинтегрировать уравнение .

Решение . Представим уравнение в виде . Разделим переменные: . Проинтегрируем уравнение:

После применения теоремы о сумме логарифмов и потенцирования получаем

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнений

где M ( x ; y ) и N ( x ; y )– однородные функции аргументов x и y одного и того же измерения m , то есть имеют место равенства

Метод решения уравнения (8.12) – деление на переменную x в степени измерения m : . Далее уравнение преобразуются с помощью следующей замены:

Однородное уравнение (8.12) принимает вид: – уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно, дальнейшее решение – по пункту 1.

Пример 8.3. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Поделим уравнение на x 2 , получим . После замены (8.14) заданное по условию уравнение принимает вид , . В результате интегрирования получим . После обратной замены – искомый общий интеграл

Пример 8.4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .

Решение . Правая часть уравнения обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Совершим замену , где u – некоторая функция от аргумента x . Отсюда . Исходное уравнение приобретает вид

или . Разделим переменные: .

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

Потенцируя, находим .

Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид cy = x 2 + y 2 , где c – произвольная постоянная

3. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным или к уравнениям с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений

где – числа.

При c ₁ = c ₂ = 0 уравнение является однородным. Рассмотрим два случая при c ₁ и c ₂ не равных нулю одновременно.

1) Определитель . Вводят новые переменные u и v , положив x = u + x ₀ , y = v + y ₀ , где ( x ₀ ; y ₀ ) – решение системы уравнений .

В результате данной подстановки уравнение (8.15) становится однородным.

Пример 8.5. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .

Решение . Определитель , следовательно, решаем систему уравнений . Получаем значения x ₀ = – 1; y ₀ =2, с использованием которых осуществляем замену x = u – 1; y = v + 2, при этом . Заданное по условию ДУ принимает вид:

, (*) – однородное ДУ относительно функции v и переменной u .

С помощью формул интегрирования (4.8) и (4.17) получаем:

Осуществим обратную подстановку :

– общий интеграл исходного уравнения

2) Определитель . Это означает пропорциональность коэффициентов или

Пример 8.6. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Решение . Определитель , следовательно, осуществляем замену

Исходное уравнение принимает вид:

Далее . Разделим переменные: или . Проинтегрируем уравнение:

После обратной замены получим: – общий интеграл исходного уравнения

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнений

где P ( x ) и Q ( x ) – заданные функции (могут быть постоянными).

Уравнение (8.16) может быть решено двумя способами.

1) Метод Бернулли-Фурье состоит в том, что решение ищется в виде произведения двух неизвестных функций y ( x )= u ( x )∙ v ( x ) или коротко y = u ∙ v , при этом . Одна из функций будет представлять общую часть решения и содержать константу интегрирования c , другая функция может быть взята в частном виде при конкретном значении константы (общее решение ДУ первого порядка должно содержать одну константу интегрирования). Подставим выражения y и в (8.16), после чего оно принимает вид:

Функцию v ( x ) подберем в частном виде так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль. Для этого решим уравнение с разделяющимися переменными или . Отсюда в результате интегрирования получим: . Так функция v ( x ) выбиралась произвольно, то можно положить c = 1, тогда . Подставив найденную v ( x ) в (8.17), приходим к еще одному уравнению с разделяющимися переменными . Интегрируя его, получим функцию . Общее решение исходного ДУ (8.16) принимает вид

Пример 8.7. Проинтегрировать уравнен ие с помощью метода Бернулли.

Решение . Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка с функциями . Применим подстановку y = u ∙ v , где u и v – некоторые функции аргумента x . Так как y = u ∙ v , то , и заданное уравнение принимает вид:

Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в ноль, то есть и л и

Полагая c = 1, получим u = cos x . При таком выборе функции u уравнение (**) примет вид:

. Отсюда v=tg x+c . Тогда – общее решение заданного уравнения.

Общее решение заданного ДУ можно также получить, пользуясь непосредственно формулой (8.18):

По условию задачи имеем: P ( x )= tg x , . Следовательно, . Так как , то с использованием основного логарифмического тождества получаем:

Таким образом, – общее решение исходного дифференциального уравнения

2) Метод Лагранжа иначе называют методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим сначала соответствующее линейное однородное ДУ первого порядка, то есть исходное уравнение без правой части . Разделив переменные и проинтегрировав, в найденном решении полагают постоянную c функцией c ( x ). После этого функцию y дифференцируют и вместе с подставляют в исходное уравнение. При этом получают уравнение относительно неизвестной функции c ( x ), отыскав которую, подставляют ее в y – общее решение заданного линейного неоднородного уравнения (с правой частью).

Пример 8.8. Проинтегрировать уравнение с помощью метода Лагранжа (сравни с пример ом 8.7).

Решение . Решим сначала соответствующее линейное однородное ДУ первого порядка или . Разделим переменные: . В результате интегрирования получаем: – общее решение соответствующего однородного уравнения. Применим метод варьирования константы, то есть предположим c = c ( x ). Тогда общее решение исходного линейного неоднородного уравнения будет иметь вид: . Подставим y и в исходное уравнение:

Подставляя найденное c ( x ) в y , имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:

5. Уравнения Бернулли

Общий вид уравнений

При n = 1 (8.1 9) – уравнение с разделяющимися переменными. При n = 0 (8.1 9) – линейное ДУ.

Рассмотрим . Метод решения – деление уравнения на , после чего (8.1 9) принимает вид . С помощью замены z = y – n +1 исходное уравнение становится линейным относительно функции z ( x ):

то есть его решение находится аналогично пункту 4. На практике искать решение уравнения (8.17) удобнее методом Бернулли в виде произведения неизвестных функций y = u ∙ v . Заметим, что y = 0 – всегда является решением исходного уравнения (8.17).

Пример 8.9. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Заданное уравнение является уравнением Бернулли. Положим y = u ∙ v , тогда и уравнение примет вид:

Выберем функцию u так, чтобы выполнялось равенство: . Разделим переменные и проинтегрируем:

Тогда заданное уравнение после сокращения на u примет вид: или – уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение: . Интегрируя последнее уравнение, получим: . Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид:

6. Уравнения в полных дифференциалах

6.1. Общий вид уравнений

где левая часть есть полный дифференциал некоторой функции F ( x ; y ), то есть . В этом случае ДУ (8.21) можно записать в виде , а его общий интеграл будет F ( x ; y )= c .

Условие, по которому можно судить, что выражение является полным дифференциалом, можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 8.2. Для того чтобы выражение , где функции M ( x ; y ) и N ( x ; y ), их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости x 0 y , было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

(8.22)

Таким образом, согласно определению полного дифференциала (6.6) должны выполняться равенства:

Формула (8.22) представляет собой теорему Шварца, согласно которой смешанные производные второго порядка функции F ( x ; y ) равны.

Зафиксируем переменную y и проинтегрируем первое уравнение из (8.23) по x , получим:

Здесь мы применили метод вариации произвольной постоянной, так как предположили, что константа c зависит от y (либо является числом). Продифференцировав (8.24) по переменной y и приравняв производную к функции N ( x ; y ), мы получим уравнение для нахождения неизвестной c ( y ). Подставив c ( y ) в (8.24), находим функцию F ( x ; y ) такую, что .

Пример 8.10. Решить уравнение .

Решение. Здесь функция .

Проверим условие (8.22): . Следовательно, левая часть заданного уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции F ( x ; y ). Для ее отыскания проинтегрируем функцию M ( x ; y ) по переменной x , считая y = const :

Пусть c = c ( y ), тогда . Продифференцируем данную функцию по y , получим . Отсюда .

Найденное c ( y ) подставляем в функцию F ( x ; y ), получаем решение заданного ДУ:

Если условие (8.22) не выполняется, то ДУ (8.21) не является уравнением в полных дифференциалах.

Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию μ ( x ; y ), называемую интегрирующим множителем .

Чтобы уравнение было уравнение в полных дифференциалах, должно выполняться условие

Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемые, получим: . Для нахождения μ ( x ; y ) надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существование μ как функции только одного аргумента x либо только y .

6.2. Пусть μ = μ ( x ). Тогда уравнение (8.25) принимает вид:

При этом подынтегральное выражение должно зависеть только от x.

6.3. Пусть μ = μ ( y ). Тогда аналогично можно получить

где подынтегральное выражение должно зависеть только от y .

Пример 8.11. Решить уравнение .

Решение . Здесь , то есть . Проверим существование интегрирующего множителя. По формуле (8.26) составляем подынтегральное выражение:

7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

К уравнениям данного вида относятся уравнения Лагранжа и Клеро, которые образуют достаточно большой класс ДУ, решаемых методом введения параметра .

7.1. Уравнение Лагранжа

Общий вид уравнений

где φ и ψ– известные функции от . После введения параметра уравнение (8.28) принимает вид

Продифференцируем его по x :

Полученное уравнение (8.30) является линейным уравнением относительно неизвестной функции x = x ( p ). Решив его, найдем:

Исключая параметр p из уравнений (8.29) и (8.31), получаем общий интеграл уравнения (8.28) в виде y = γ ( x ; c ).

Примечание. При переходе к уравнению (8.30) мы делили на . При этом могли быть потеряны решения, для которых или p = p ₀ = const . Это означает, что p ₀ является корнем уравнения p = φ ( p )=0 (смотри уравнение (8.30)). Тогда решение для уравнения (8.28) является особым

7.2. Уравнение Клеро представляет собой частный случай уравнения Лагранжа при , следовательно, его общий вид

. (8.32)

Вводим параметр , после чего уравнение (8.30) записывается так:

Продифференцируем уравнение (8.33) по переменной x:

При получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

Это – особое решение уравнения Клеро, так как оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Пример 8.12. Решить уравнение Клеро .

Решение. Согласно формуле (8.32) общее решение имеет вид y = cx + c 2 . Особое решение уравнения получим по (8.33) в виде . Отсюда следует: , то есть

Видео:Т. Первые интегралы. Теория.Скачать

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:Математика без ху!ни. Интегралы, часть 1. Первообразная. Дифференцирование и интегрирование.Скачать

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

🎥 Видео

Частное решение ДУ, с помощью рядаСкачать

11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Первые интегралы вблизи особых и неособых точек. Линейные дифференциальные уравненияСкачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать

Математика без Ху!ни. Метод неопределенных коэффициентов.Скачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

№5. Особенности фазовых траекторий автономных систем. Первые интегралы.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать