Как найти периодическое решение дифференциального уравнения

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Асимптотические методы позволяют отыскивать приближенные решения дифференциальных уравнений (или систем), близких к таким уравнениям (или системам), решения которых известны. В прикладных задачах часто бывает, что на течение рассматриваемого физического процесса влияют как основные факторы, определяющие ход процесса, так и другие факторы, оказывающие меньшее влияние и меняющие количественные характеристики процесса.

При учете только основных факторов можно получить точное решение системы уравнений, а при учете всех известных факторов система становится сложной и не решается. В таких случаях асимптотические методы часто позволяют найти решение с нужной точностью. Разложение решения по степеням малого параметра — один из наиболее употребительных асимптотических методов.

Следствие теоремы 2. Пусть при (t,x) выполнены условия теоремы 2, и при решение задачи (1) проходит в области D; t0 £ [tl9t2]- Тогда решение x(t, р) задачи (1) при t разлагается по формуле Тейлора по степеням параметра ц до цт включительно: Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений Здесь х(Ь9ц) и v^t) — n-мерные вектор-функции, v0(t) = 0) есть решение системы (1) при i = 0, оно считается известным.

Чтобы найти надо подставить разложение (12) в систему (1) и начальные условия, и разложить правые части по степеням /х до /хт включительно. Далее надо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях /х. Получается для vx. 9vm система дифференциальных уравнений с начальными условиями. Последовательно решая уравнения системы и пользуясь начальными условиями, находим . vm(£). Пример 2. Найти разложение решения задачи по степеням параметра /х до /х2 включительно.

Решение примера. Правая часть уравнения в области х > 0 име- ет производные любого порядка по ж,/х. Условия теоремы 2 выполнены для любого т, пока решение задачи (13) с l = О проходит в области х > 0. При = 0 задача (13) принимает вид dx/dt = t/x, 1, и имеет решение ж(*) = t, оно проходит в области х > 0 при t > 0. Поэтому v0(*) = t (t > 0).

Разложение х = t + /iv1 +/i2v2 + о(/л2) подставляем в уравнение и начальные условия (13), члены порядка o(/i2) не пишем. Разлагаем дробь в (14) по степеням /х, члены с цк, к > 2, не пишем. Подставляем это в (14) и приравниваем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях параметра /х: при v = -^-2t М0 = 4; (16> при Ц = + «2(l) = i (17) Здесь начальные условия получены из (15). Все дифференциаль- ные уравнения для v<9. vm всегда линейные. Из (16) получаем Vj = — у.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Подставляя это в (17), находим v2 = + fj. Итак, Так как условия теоремы 2 выполнены для любого m ^ 2, то следующий член разложения имеет вид p3v3(t) и, не находя vy в (18) вместо o(/i2) можно написать 0(fi3). Задачи для упражнений: [ | 3« | Отыскание периодических решений. Нижеследующие лемма 2 и теорема 3 дают условия существования периодических решений соответственно для линейной системы с периодической правой частью и для нелинейной системы, близкой к линейной, и указывают методы отыскания таких решений.

Лемма:

Пусть при 0 вектор-функция x(t) — решение уравнения х’ = f(t, х), где вектор-функция f и все dfjdxj непрерывный f(t+p, х) = f(t, х). Если х(р) = ж(0), то решение x(t) продолжается на интервал (-оо, оо) с периодом р. Доказательство. Так как Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений то продолженная с периодом р функция x(t) 6 С1.

Она всюду удовлетворяет данному уравнению, ибо для любого k € Z имеем Лемма 2. Если для всех собственных значений матрицы А имеем то система х1 = Ах + f(t) для каждой непрерывной функции f(t) с периодом р имеет (и только одно) решение с периодом р. Условие (19) называется условием отсутствия резонанса. Доказательство. Пусть v(£) — частное решение данной системы с v(0) = 0. В силу теоремы 5 § 9 и следствия 1 § 15 общее решение имеет вид х = etAb + v(t), где Ь — произвольный вектор из Rn.

Чтобы это решение имело период р, по лемме 1 надо, чтобы х(р) = ж(0). То есть Это — линейная алгебраическая система относительно неизвестных координат вектора Ь. Для существования единственного решения достаточно, чтобы det (ерА — 1 • Е) Ф 0, то есть чтобы матрица не имела собственных значений, равных 1. Если АР. АП — собственные значения матрицы А> то согласно замечанию в имеет собственные значения Для А = а + /3i имеем = е?» (cos р/3 + tsinp/5). Это число равно 1 только в случае а = 0, рр = 2*кку к = 0,±1,±2.

Поэтому при условии (19) имеем Теорема 3. Пусть функции f(t), g(t9 х, р) непрерывны при имеют период , где т ^ 1. Пусть выполнено условие (19) и решение x°(t) с периодом р уравнения х Ах + f(t) содержится в области D. Тогда при всех достаточно малых |/*| система имеет решение периода р по t, стремящееся Такое решение единственно и принадлежит классу Ст по ц. -7- Доказательство.

Пусть х(ЬЪ,ц) — решение системы (20) с начальным условием ж(0; ц) = Ь. По лемме 1 оно будет иметь период р, если Докажем, что при малых l существует Ь € R», удовлетворяющее уравнению (21). Функция ж(р;Ь, ц) Е Ст по b, i в силу теоремы 2. При /х = 0 уравнение (20) линейное, как в лемме 2, уравнение (21) принимает вид и имеет единственное решение Ь. Далее, якобиан левой части равенства (21) по координатам Ъ<9. Ьп вектора b при /х = 0 совпадает с детерминантом (22), значит, не равен нулю.

Тогда по теореме о неявных функциях уравнение (21) при достаточно малых имеет решение Ь = Ь(ц), стремящееся к Ь° при такое решение единственно и Ъ(ц) 6 Ст.

Пусть дано уравнение с постоянными коэффициентами а,- и непрерывными функциями /, д периода р по t и д € Ст по у, /1, а корни А характеристического уравнения удовлетворяют условию (19). Тогда для отыскания решения периода р не нужно переходить от уравнения (24) к системе, можно сразу отыскать решение в виде (12), где теперь v^t) — скалярные функции с периодом р. 1 Пример 3. Найти с точностью о(ц2) периодическое решение 1 | уравнения [ Решение примера.

Здесь р = 2т, А2 + 3 = О, Л = ±iV3 Ф 2*ki/p = ki (к Е Z), условие (19) выполнено. Ищем периодическое решение в виде х = v0 + /avx + p2v2 + . Подставляя в уравнение (25) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /*, получаем систему уравнений . Надо найти решения t;0, Vj, v2 с периодом 2т. Для каждого из этих уравнений надо найти лишь частное решение (методой неопределенных коэффициентов), так как по теореме 3 при выполнении условия (19) решение с периодом р единственно.

Замена х = а?0 + ру дает . Так как F(x°) = 0, то по формуле Тейлора Остаточный член г Е С (ибо другие члены в равенстве принадлежат Cm+1), г = ц2д(у, ц). Получаем систему вида (20) Если собственные значения матрицы А удовлетворяют условию (19) (нет резонанса), то по теореме 3 система (27) при достаточно малых |/*| имеет решение с периодом р. I Пример 4. Рассмотрим уравнение Решение примера. При i = 0 положения равновесия х< = 1 и х2 = -1.

Периодическое решение

Найдем периодическое решение, близкое к х = 1, Замена х = 1 + /ху Дает Здесь р = 2х, А = -1 ± i Ф 2*ki/p (к € Z), условие (19) выполнено. Поэтому при малых ц уравнение (29) имеет решение периода 2тг и вида у = v0($) + fivx(t) +..где все имеют период 2т. Подставляя это в (29), получаем, как в примере 3, Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений Отсюда находим . Следовательно, Уравнение (28) при малых ц имеет и другое решение с периодом 2х.

Оно близко к неустойчивому положению равновесия х2 = -1 и отыскивается аналогичным способом. Можно доказать, что оно неустойчиво. ч Задачи для упражнений: [12], § 18, № 1079-1083. | 5« | Естественно возникает вопрос, в каких случаях разложения по степеням параметра /х, полученные в следствиях теорем 2 и 3, можно продолжить до бесконечного ряда Тейлора, сходящегося к искомому решению при малых /1.

Пуанкаре об аналитической зависимости решения от параметра, см. [13], гл. 1, §6, теорема 1.3 и [2], гл.6, §2, теорема 6.2.1′ и §3, п. 1. I О методах исследования устойчивости периодических решений, получаемых методом малого параметра, см. [2], гл. 7, § 3 и [33], гл. 3, § 10-15. В частности, при условиях теоремы 3 асимптотическая устойчивость периодического решения при достаточно малых обеспечена, если для матрицы А все собственные значения А.

Имеют Re At. а неустойчивость — если есть хотя бы одно Re At. > 0. Поэтому в примере 4 при малых /1 решение (30) асимптотически устойчиво, а периодическое решение, близкое к х = -1 (для него А = — 1 ± л/3), — неустойчиво. Метод отыскания периодических решений при резонансе, то есть когда условие (19) не выполнено, изложен в [13), гл. 2, §8, пункты 2 и 3; примеры там же; в [2], гл. 5, §3, п. 2 и в [33], гл. 2, §6, 7. Об отыскании периодических решений автономной системы х’ = Ах -f pf(x,p) в случае, когда при р = 0 периодическое решение известно, см. [13], гл.2, §8, пункт 4; [2], гл.5, §3, п. 3 и [33], гл.2, §11-13.

Метод малого параметра применялся к широкому кругу задач, в частности, в [33], главы 4-8. Методы последовательных приближений для уравнений с малым параметром разработаны в [24]. Существенно отличным от предыдущих является случай, когда малый параметр является множителем при производной, например, fix = /(*, у), у =д(х, у). Здесь нет непрерывной зависимости от /1 при р 0, и решения имеют другие свойства, см., например, [13], гл.4, §6 и [15], гл.10, §3,4. Известно много работ, в которых подробно исследуются такие случаи.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

где — функция, периодическая с периодом , разлагающаяся в ряд Фурье

Периодическое решение уравнения (47) ищем в виде

Подставляем ряд (49) в уравнение (47) и подбираем его коэффициенты так, чтобы равенство (47) удовлетворялось формально. Приравнивая свободные члены и коэффициенты при и в левых и правых частях полученного равенства, найдем

Первое из равенств (50) дает необходимое условие существования решения вида (49): если , то необходимо, чтобы . Подставляя (50) в (49), получаем

Когда и , где , периодическое решение будет существовать только при условии

Коэффициенты и при расходятся по формулам (50), а коэффициенты и остаются произвольными, так как выражение является общим решением соответствующего однородного уравнения.

В случае невыполнения условий (52) уравнение (47) периодических решений не имеет (возникает резонанс). При и коэффициент остается неопределенным и уравнение (47) имеет бесконечное множество периодических решений, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.

Если правая часть уравнения (47) имеет период , то надо разлагать по периоду и искать решение уравнения (47) в виде

Формулы (50) при этом соответственно изменятся.

Пример 8. Найти периодические решения уравнения .

Решение. Имеем . Функция не содержит резонирующего члена , значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формулам (50) находим коэффициенты

Все периодические решения даются формулой

где и — произвольные постоянные.

Пример 9. Найти периодические решения уравнения .

Решение. В данном случае . Проверим выполнимость условий (52). Имеем

Условия (6) существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения есть

которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого .

Пример 10. Найти периодическое решение уравнения .

Решение. Функция — периодическая с периодом . Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале :

Решение данного уравнения ищем в виде

Формулы (50) дают

Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Королёв В.С., Селицкая Е.А.

Сформулированы и доказаны теоремы об оценке числа периодических решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Королёв В.С., Селицкая Е.А.

Видео:Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

PERIODIC SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

In the paper, the authors formulate and prove theorems on the estimation for the number of periodic solutions of first-order differential equations.

Видео:Дифференциальные уравнения - периодические решенияСкачать

Текст научной работы на тему «ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 Математика. Механика. Информатика Вып. 3(46)

Периодические решения дифференциальных уравнений

Г. Г. Иванов, Г. В. Алфёров, В. С. Королёв, Е. А. Селицкая

Санкт-Петербургский государственный университет

Россия, 198504, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский проспект, 35 g.alferov@spbu.ru; +7-911-246-57-87

Сформулированы и доказаны теоремы об оценке числа периодических решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Ключевые слова: производное число; периодические решения, почти периодические решения; негладкий анализ, производные Дини-Гёльдера.

В работе развивается основанный на идеях функционального анализа метод исследования периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Изучению периодических решений посвящено большое количество работ. Основы теории периодических решений дифференциальных уравнений разрабатывали Анри Пуанкаре для задачи трех тел [1] и А.М. Ляпунов для задачи о движении любой механической системы [2]. Периодические решения играют существенную роль в качественной теории дифференциальных уравнений и в прикладных задачах [3]. Необходимость анализа периодических решений дифференциальных уравнений возникает в классической и небесной механике 7, космической робототехнике 17, а также при моделировании экономических процессов 31. Однако общего подхода изучения периодических решений дифференциальных уравнений не существует. Имеется несколько методов и способов для решения данной задачи. Так,

© Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Королёв В.С., Селицкая Е.А., 2019

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 18-08-00419.

основным методом доказательства существования периодических решений дифференциальных уравнений являются: метод точечных отображений Пуанкаре-Андронова, метод направляющих функций, вариационные методы, топологический метод, усреднение Крылова-Боголюбова и т.д. Отметим, что перечисленные методы достаточно сложно применять на практике.

В данной работе, опираясь на результаты работ 20 и используя аппарат производных чисел [22], решается задача оценки числа периодических решений дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Верхняя оценка числа периодических решений

Пусть правая часть уравнения

есть непрерывная по совокупности аргументов и с -периодическая по г функция.

Теорема 1. Если правая часть уравнения (1) при каждом фиксированном г есть возрастающая по х функция, причем существует момент г * е [0, с] такой, что / (г *, х) строго возрастает, то уравнение (1) может иметь не более одного периодического решения.

Доказательство. Предположим, что вопреки утверждению теоремы, уравнение (1) имеет два периодических решения х (?) и х2 (?) . Покажем, что эти решения не имеют общих точек.

Поскольку х (?) Ф х (?), то существует точка ?0 такая, что х (?о) ^ X (?0) . Не нарушая общности, можно считать, что ?0 = 0

и х (0) 0, что X (Т) = х (Т) . Обозначим через ? точную нижнюю границу множества

0>. В силу непрерывности функций х (?) и х (?) и условия (2) заключаем, что ? > 0 .

Из неравенства (2) и выбора точки ? следует, что при ? е [0, ?] х (?) — х2 (?). По условию теоремы функция / (?, х) возрастает по х при каждом фиксированном ? , и, следовательно, для ? е [0, ? ] будет иметь место неравенство

но тогда, учитывая (2), получим

V? ‘ ) 0 решения х и х не пересекаются. Отсутствие у этих решений общих точек при ? 0.

Более того, поскольку /(?,х) непрерывна и /(?*, х) строго возрастает по х, то в некоторой окрестности точки ?* е [0, с] будет иметь место строгое неравенство / (?, х (?)) 0.

Учитывая последнее неравенство, приходим к следующей противоречивой цепочке соотношений:

0 = [ х2 (с) — х2 (0)] — [ х (с) — х (0)] =

Полученное противоречие и опровергает предположение о том, что в условиях теоремы уравнение (1) может иметь два различных с -периодических решения.

Теорема 2. Если правая часть уравнения (1) при каждом фиксированном ? есть выпуклая функция, причем для некоторого ?* е[0, с] /(?*, х) строго выпуклая по х, то уравнение (1) может иметь не более двух различных с -периодических решений.

Доказательство. Прежде всего покажем, что в условиях теоремы уравнение (1) обладает свойством существования и единственности решения, для чего установим, что если / выпукла и непрерывна, то она является Липшицевой.

Действительно, пусть (?0, х0) — произвольная точка плоскости, а Т и 8 -некоторые положительные числа. Покажем, что для области

Б = существует такое Ь, что для любых х , х е [х0 — 8, х0 +8] и сразу для всех ? е [?0 — т, ?0 + т] будет

| /(?, х») — /(?, х’)| х0 + 3. Тогда для всех у е (х0 +3, т], учитывая тот факт, что при любом фиксированном г функция

I (г, у) — I (г, хо +3)

возрастает по у, будем

I(г, у) — I(г, хо +3) К и произвольных х , х е [х0 —3, х0 + 3] будет

Кг, х’) — I(г, х’ ) Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В силу (4) очевидно, что при всех г а(г) е (о,1) .

Подставляя в правую часть (5) представление (6), получим

I (г, уз) — I (г, у 2) I (г, у 2) — I (г, у г) _

а)Уз) _ а(Уз — Уг) / (? ,ау1 + (1 -а)уз) — / (?, ух)_

(1 -а)(Уз — Ух) _ а/(?,У) + (1 -а)/(?,Уз)-/(?,«У + (1 -а)Уз) «(1 -а)(Уз — У1)

Функция g(?) непрерывна, так как непрерывны функции / и а и из неравенства (4) и определения а следует, что существует такое число ¡5 >0, что при всех ? будет

а(?)(1 -а(?))(Уз(?) -у,(?)) >5. Более того, учитывая выпуклость функции / , т.е. что при всех ?

а/(?, У1) + (1 — а)/(?, Уз) > /(?, аух + (1 — а)Уз),

заключаем, что при всех ?

Но при ? = ?* е [0, с] по условию теоремы /(?*, х) строго выпукла, из чего

следует, что как в самой точке ? * , так и в некоторой ее окрестности, в силу непрерывности, будет выполняться строгое неравенство g(?) > 0.

Таким образом, окончательно функция g непрерывна, неотрицательна и существует промежуток, на котором она принимает только положительные значения.

Принимая во внимание эти соображения, проинтегрируем тождество (5) в пределах от 0 до с . Поскольку функции у, У и У с-периодические, то получим

0 0. Таким образом, функция гу(х) задана корректно.

Если дополнительно известно, что у/(х) строго выпукла, то теорему очень просто доказать.

Действительно, пусть уравнение (1) имеет четыре с -периодических решения ф(?, х), начинающиеся в точках хг, 1 = 1,2,3,4 . Пусть, для определенности, х1 ],хе[хх,х4]> функция ф(г, х) ограничена, так как в силу существования и единственности решений уравнения (1) она возрастает по х , и, следовательно, ф(г, х1) 0. Покажем, что

Действительно, учитывая, что функция (I ) + (г, ф(г, х)) возрастает по х, а ф (г, х) > 0, и используя уравнение в вариациях, получим:

Л+ [у + ](х) = ]т—([ (I ) + (гф(г, х

+ К))ф (г, х + К) — (I )’+ (г,ф(г, х))ф(г, х) —г)

= ш — I ф (г, х + Нп)[(/ ) + (г, ф(г, х + Нп))

📺 Видео

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Общее и частное решение дифференциального уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

6. Особые решения ДУ первого порядкаСкачать