Как найти наибольшее значение в тригонометрических уравнений

Класс: 10

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

• Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
• Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
• Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

• познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
• изучить соответствующую литературу;
• научиться решать тригонометрические уравнения;
• найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
• научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
• подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]

sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;

sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
3. С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Видео:Найдите наибольшее и наименьшее значения тригонометрического выражения 1-4cosa. Как решить? Просто!Скачать

Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции

Сегодня у нас заключительный урок на производные из ЕГЭ по математике. И как всегда по традиции последняя задача будет немножко нестандартной. Итак:

Задача B15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; π/3]:

y = 2sin 2 x + cos 4 x

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Общая схема вычисления наибольшего значения функции

Перед тем, как мы начнем решать эту задачу, хотел бы напомнить вам общий универсальный алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Он состоит из 4 шагов:

1. Первый шаг состоит в том, что нужно найти производную нашей функции: y ‘ = ?

2. Второй шаг — производную мы приравниваем к нулю в результате решения у нас получится один или несколько корней: x , x , .

3. Затем берем эти корни и оставляем только те из них, которые лежат на отрезке, указанном в условии задачи — в нашем случае речь идет об отрезке [0; π/3]. Другими словами, мы вычеркиваем все корни, которые не лежат на интересующем нас отрезке: x , x ∈ [0; π/3].

4. Наконец, подставляем концы отрезка, а также оставшиеся корни в нашей исходное уравнение. Другими словами, мы находим y (0); y (π/3); y ( x ₁); y ( x ₂), т. е. значение функции в нулях производной.

Это стандартная схема, и мы применяли ее уже много раз.

Видео:Как найти наибольшее и наименьшее значения выражения cos α+√3 sin α. Тригонометрия. Простое решениеСкачать

Экстремумы функции на отрезке: пояснение

Естественно, при взгляде на этот алгоритм у многих учеников сразу возникают вопросы. Первый и самый распространенный: «Почему это мы подставляем в нашу функцию концы отрезка? Неужели недостаточно просто посчитать функцию в нулях производной?»

К сожалению, недостаточно. Взгляните вот на такую функцию:

На этом рисунке видно, что наибольшее значение функции достигается именно в правом верхнем конце отрезка — в точке b , а никак не в точке x ₁, которая является точкой максимума и, соответственно, возникает при решении уравнения y ‘ = 0. То же самое и с наименьшим значением — оно достигается в точке a , но ни в коем случае не в точке x ₂, которая также возникнет при решении y ‘ = 0.

Локальный и глобальный экстремум функции: в чем разница?

Вспомните определение производной и точки экстремума: в данном случае точка x ₁ будет являться точкой локального максимума, т. е. на некотором интервале, достаточно небольшом, именно на этой точке будет приниматься наибольшее значение. То же самое касается и точки x ₂. На некотором небольшом интервале, т. е. на определенном отступе от этой точки вправо или влево функция действительно будет принимать наименьшее значение именно в точке x ₂.

Однако на глобальном отрезке никто этого не гарантировал. И часто случается так, что настоящее наибольшее или наименьшее значение функции достигается именно на концах рассматриваемого отрезка. Особенно это качается задач B15, которые любят давать на пробниках и разных демонстрационных ЕГЭ по математике.

Наибольшее или наименьшее значение функции совсем не обязательно достигается в нулях производной. Очень часто такие значения возникают на концах отрезка, где производная отлична от нуля.

В общем, чтобы подстраховаться и не допустить обидных ошибок на настоящем экзамене, настоятельно рекомендую вам считать значения функции не только в нулях производной, но и на концах отрезка, т. е. в нашем случае в точках х = 0 и х = π/3.

Видео:Наибольшее и наименьшее значение функции. 10 класс.Скачать

Решение задачи B15 с тригонометрией

С теорией разобрались, давайте решать нашу задачу. Для начала нам нужно посчитать производную функции:

y = 2sin 2 x + cos 4 x

Производная тригонометрической функции

y ‘ = (2sin 2 x + cos 4 x )’ = (2sin 2 x )’ + (cos 4 x )’

И вот тут возникает проблема в данной задаче: дело в том, что внутри синуса и косинуса стоит не переменная х, а выражение 2х и даже 4х.

Как поступать с такими конструкциями? Конечно, можно воспользоваться производной сложной функции, посчитать и в итоге получить правильное значение, но давайте не будем лезть в дебри, а вспомним замечательную формулу, которая рассматривалась не нескольких уроках, посвященным подготовке к ЕГЭ по математике. Формула следующая:

x → kx + b
( f ( x ))’ → k ( f ‘ ( kx + b ))

Другими словами, замена переменной функции не проходит для всей функции бесследно. В случае, если вместо х мы подставляем линейную функцию, то перед новой производной появляется коэффициент.

Линейная замена переменной приводит лишь к одному дополнительному множителю в производной. Никаких сложных формул при линейной замене применять не нужно!

Это частный случай производной сложной функции. Однако сложные функции в реальном ЕГЭ не встречаются. Поэтому вам достаточно будет знать упрощенную конструкцию, которую мы записали. Ее очень легко применять.

Производная функции при линейной замене

Давайте посчитаем производную sin 2 x . Для этого вспомним такое:

Тогда производная от sin 2 x будет выглядеть так:

(sin 2 x )’ = 2 · cos 2 x

Все, производная 2sin 2 x найдена. Аналогично давайте разберемся и с производной cos 4 x :

(cos 4 x )’ = 4 · (−sin 4 x ) = −4 sin 4 x

А теперь собираем это все в одну конструкцию и получаем:

y ‘ = 4 cos 2 x − 4 sin 4 x

Считаем нули производной — точки экстремума

Итак, первый шаг нашего алгоритма выполнен, мы нашли производную. Теперь приравниваем эту производную к нулю и решаем полученное уравнение:

2 cos 2 x − 4 sin 4 x = 0

Перед нами обычное тригонометрическое уравнение и все, что нам требуется сделать в нем — это свести все тригонометрические функции к одному и тому же аргументу. Как правило, в таких задачах следует стремиться к наименьшему аргументу. Поэтому вспомним формулу двойного угла:

sin 2λ = 2 sin λ cos λ

В нашем случае это будет выглядеть так:

sin 4 x = sin 2 · 2 x = 2 · sin 2 x · cos 2 x

Обратите внимание! Мы пишем именно 2х, потому что в исходной формуле, которую мы разложили, вместо переменной λ стоит именно 2х.

Итак, с синусом двойного угла мы разобрались, перепишем наше уравнение с учетом этого факта. Получим:

4 cos 2 x − 8 sin 2 x cos 2 x = 0
4 cos 2 x (1 − 2 sin 2 x · 1) = 0

Итак, мы разложили наше уравнение на множители. Теперь вспоминаем: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Запишем:

cos 2 x = 0
1 − 2 sin 2 x = 0

Первое уравнение решается элементарно:

2 x = π/2 + π n , n ∈ Z

А со вторым уравнением будет немного посложнее:

sin 2 x = 1/2
2 x = π/6 + 2π n
2 x = π − π/6 + 2π n

Напомню, что решение простейших тригонометрических уравнений, которые содержат синус, лучше записывать как совокупность из двух наборов корней.

Однако на этом решение уравнения еще не закончилось. Взгляните, мы нашли только 2х, а нужно найти просто х. Находим:

x = π/3 + π n /2;
x = π/12 + πn;
x = 5π/12 + π n .

Производная тригонометрической функции: отбор корней на отрезке

Уравнение решено. Переходим к третьему шагу: необходимо отобрать корны, которые лежат на отрезке [0; π/3].

Для этого нам сначала потребуется начертить радар, а потом отметить на мне все три набора корней. На этом же отрезке отмечаем концы отрезка. Получим:

На самом деле из всего этого многообразия нас интересуют лишь две точки: π/4 и π/12. Все, третий шаг выполнен. Мы отобрали корни на отрезке.

Вычисление наибольшего значения функции

А теперь возвращаемся к условию задачи и вспоминаем, что нам нужно найти наибольшее значение функции на отрезке. Т. е. нужно взять функцию

y = 2sin 2 x + cos 4 x

И подставить в нее следующие числа:

1. Оба конца нашего отрезка — числа 0 и π/3
2. А также два корня производной, которую мы нашли: π/4 и π/12

Затем из полученных четырех значений функции надо выбрать наибольшее.

Давайте решать. В первую очередь предлагаю подставить корни нашей производной, т. е. числа π/4 и π/12. Получим:

y (π/4) = 2 · sin 2 · π/4 + cos 4 · π/4 = 2 · sin π/2 + cos π = 2 · 1 − 1 = 1

Подставляем второе число — x = π/12:

y (π/12) = 2 · sin 2 · π/12 + cos 4 · π/12 = 2 · sin π/6 + cos π/3 = 2 · 1/2 + 1/2 = 1,5

Все, с корнями из производной мы разобрались, теперь считаем значение функции на концах отрезка:

y (0) = 2 · sin 0 + cos 0 = 2 · 0 + 1 = 1

Вычисление сложных значений тригонометрической функции

Теперь подставляем правый конец отрезка:

y (π/3) = 2 · sin 2 · π/3 + cos 4 · π/3 = 2 · sin 2π/3 + cos 4π/3

Оба аргумента и в синусе, и в косинусе являются нестандартными значениями (их нет в классической таблице значений тригонометрических функций), поэтому давайте отметим их на тригонометрическом круге:

С помощью полученных данных вычисляем значение функции:

Это иррациональное число, которое нельзя записать в ответ. Следовательно, оно не является ответом к задаче.

Итого нам на выбор осталось три числа: y = 1; y = 1,5; y = 1. Требуется найти наибольшее значение. Следовательно, ответом будет являться y = 1,5. Все, задача решена.

Видео:Математический анализ, 13 урок, Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезкеСкачать

Ключевые моменты в задачах B15 на производную функции

В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на два ключевых факта в решении этой задачи. В первую очередь, речь идет о производной сложной функции. В реальных задачах из ЕГЭ по математике встречается лишь упрощенная версия формулы, которую мы записали в самом начале решения задачи.

Итак, запомните: если в табличной производной заменить переменную х на линейное выражение kx + b , то и в самой производной нужно везде вместо х подставить выражение kx + b . Кроме того, перед самой производной нужно добавить множитель k — тот саамый, который стоял перед х во время замены.

Это универсальное правило, и оно работает всегда. Давайте посмотрим. Например, у нас есть следующая функция:

Возьмем большую степень, чтобы у вас не возникало соблазна раскрывать ее по формулам сокращенного умножения. А теперь мы хотим посчитать производную:

Как это сделать? Очень просто. Вспоминаем: производная функции y = x 101 является табличной и легко считается:

Теперь, если вместо переменной х мы хотим подставить выражение kx + b , например, 5х + 7, то получим, что производная такой функции будет равна:

y ‘ = 101 · (5 x + 7) 101 · 5

Последний множитель «5» появился из-за того, что вместо переменной х мы подставили линейную функцию 5х + 7, т. е. выражение, которое при х содержит множитель 5. Если бы перед их стоял коэффициент k = 10, мы умножили бы производную на 10.

При этом второе слагаемое — число b = 7 — никак не влияет на результат. Т.е. на итоговую производную влияет только коэффициент при х. Запомните это.

Особенности записи корней тригонометрического уравнения

Второй важный момент касается отбора корней и решения тригонометрических уравнений, а конкретно — я бы хотел поговорить про решение тригонометрических уравнений, содержащих синус.

Как обычно нас учат записывать решение таких уравнений? Еще в школьных учебниках можно увидеть формулу:

sin x = a → x = (−1) n · arcsin a + π n , n ∈ Z

Естественно, многие ученики спросят: почему мы не используем эту формулу? Зачем разбивать эту формулу на какую-то совокупность, что-то там считать, усложняя себе задачу?

На самом деле такая запись имеет одно единственное преимущество — краткость. Во всем остальном работать с этой записью — сплошное мучение:

1. Непонятно, что делать с множителем (−1) n . Как отмечать постоянно гуляющее то в плюс, то в минус число на тригонометрическом круге?
2. Если вы захотите отбирать корни не с помощью тригонометрического круга, а с помощью двойного неравенства, опять же возникает проблема, потому что слагаемое (−1) n · arcsin a нужно будет вычитать из обеих частей неравенства. Затем полученную конструкцию нужно будет разделить на π, и вот тут возникает проблема: а что делать с множителем (−1) n ? Он снова будет мешать нам и служить источником многочисленных ошибок для большинства учеников.

Чтобы избежать этих многочисленных проблем, просто записывайте решение синуса в виде совокупности из двух уравнений, так, как мы и сделали сегодня при решении нашей задачи.

Вот и все замечания. Я специально детально рассказывал каждый шаг решения — настолько детально, что сам допустил ошибку при вычислении производной. Но ничего страшного, мы заметили ошибку вовремя, и поэтому итоговый ответ и все выкладки получись правильными.:)

Желаю вам удачи при решении сложных задач на ЕГЭ по математике, тренируйтесь в решении задач, смотрите видеоуроки и сдавайте ЕГЭ на «отлично». А у меня на этом все.

Видео:Найдите значение тригонометрического выраженияСкачать

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения. В составе экзамена по математике в первой части имеется задание связанное с решением уравнения — это простые уравнения, которые решаются за минуты, многие типы можно решить устно. Включают в себя: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму вычисления и по сложности от остальных задач этой части. Не пугайтесь, под словом «сложность», имеется виду их относительную сложность по сравнению с другими заданиями.

Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала.

Их в данной части ЕГЭ менее 7%. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо.

Понимание раздела «Тригонометрия» в математике во многом определяет ваш успех при решении многих задач. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. После того, как получите корни уравнения, ОБЯЗАТЕЛЬНО сделайте проверку. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки.

В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать:

Знание этих значений необходимо, это «азбука», без которой невозможно будет справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, вы легко выучили и запомнили эти значения. Что делать, если этого сделать не получается, в голове путаница, да просто вы именно при сдаче экзамена сбились. Обидно будет потерять бал из-за того, что вы запишите при расчётах неверное значение.

Алгоритм восстановления этих значений прост, он также приведён в теории, полученной вами во втором письме после подписки на рассылку. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. Не даром её называют «Золотое сердце тригонометрии».

Сразу поясню, во избежание путаницы, что в рассматриваемых ниже уравнениях даны определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса с использованием угла х для соответствующих уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, где х может быть и выражением. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением.

Итак, рассмотрим следующие задачи:

Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решением уравнения cos x = a являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон n от – 2 до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: – 3 и 3, – 4 и 4 и так далее.

При n = – 2 х₁= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х₂= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При n = – 1 х₁= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х₂= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При n = 0 х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х₁= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения sin x = a являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от – 90 о до 90 о синус которого равен a.

Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n = 0,1,2 …

При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при n = –1 х = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения tg x = a является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90 о до 90 о , тангенс которого равен a.

Выразим x (умножим обе части уравнения на 6 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения n = 1,2,3. Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

Определение котангенса: Арккотангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу (0;П), котангенс которого равен a.

Здесь хочу добавить, что в уравнениях в правой части может стоять отрицательное число, то есть тригонометрическая функция от аргумента может иметь отрицательное значение. Если в ходе решения вы не сможете определить угол, например, для

то данные формулы вам помогут:

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

🎥 Видео

ЕГЭ №9. Тригонометрические выражения.Тригонометрические уравнения | Математика | TutorOnlineСкачать

№13 Тригонометрические уравнения. Найти наибольшее значение функции y=√3sin5x-cos5xСкачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

№ 26704 Найдите наибольшее значение функции y=16tgx-16x+4π-5 на отрезке [-π/4; π/4].Скачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Наибольшее и наим. значения функции на отрезкеСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Отбор корней по окружностиСкачать

Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать

Производная. Наибольшее и наименьшее значение тригонометрической функции. 10-11 классСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

31 Как найти наибольшее значение тригонометрической функции с помощью производной2Скачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать