Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задание 12.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1 . Находим ОДЗ функции.

2 . Находим производную функции

3 . Приравниваем производную к нулю

4 . Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке0″ title=»f^(x)>0″/>Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, то функция Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткевозрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеКак найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, то функция Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеубывает на этом промежутке.

5 . Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6 . Находим значение функции в концах отрезка,

  • затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  • или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке. График этой функции выглядит так:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеВ зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, а наименьшее — в левом: Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке.

2. Рассмотрим функцию на отрезке Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеи Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеи выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеи Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке.

Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеи Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке.

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке— множество действительных чисел.

2. Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

3. Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, если Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеили Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике

1 . Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткена отрезке Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке.

1. Функция Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеопределена при всех действительных значениях х

2. Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

3. Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеОчевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткевозрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

Ответ: 5.

2 . Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткена отрезке [Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке].

1. ОДЗ функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеКак найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке/2+k, k» title=»x/2+k, k»/>

2. Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Производная равна нулю при Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, однако, в этих точках она не меняет знак:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеКак найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, следовательно, Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке=3″ title=»3/<cos^2>>=3″/>Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, значит, Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке=0″ title=»3/<cos^2>-3>=0″/>Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткевозрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке.

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке=0″ title=»y^=3/<cos^2>-3=<3-3cos^2>/<cos^2>=<3sin^2>/<cos^2>=3tg^2>=0″/>

Ответ: 5.

3 . Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткена отрезке [Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке].

1. ОДЗ функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке: Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке/2+k, k» title=»x/2+k, k»/>Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

2. Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

3. Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Промежутку Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткепринадлежат два числа: Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеи Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеКак найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке. При переходе через точки Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеи Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткепроизводная меняет знак.

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Изобразим смену знаков производной функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткена координатной прямой:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Очевидно, что точка Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткеявляется точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткена отрезке Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке, нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке.

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежуткетаковым на является, следовательно подставим в уравнение функции Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Ответ: -1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Видео:Наибольшее и наим. значения функции на отрезкеСкачать

Наибольшее  и наим.  значения функции на отрезке

Как решать задачи B15 без производных

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:

Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:

Другими словами, для возрастающей функции Для убывающей функции все наоборот:

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание и монотонно убывает, если Не забывайте про область допустимых значений логарифма:

f ( x ) = log a x ( a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет и убывает Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только

f ( x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Видео:Наибольшее и наименьшее значение функции. 10 класс.Скачать

Наибольшее и наименьшее значение функции. 10 класс.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

  1. Ветви параболы — могут уходить вверх или вниз Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
  2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее или наибольшее значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

  1. Отрезок [ a ; b ] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
  2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

  1. Выписать уравнение параболы и найти ее вершину по формуле:
  2. Найти значение исходной функции в этой точке: Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент

x 0 = − b /(2 a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке функция принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит точка минимума всей функции. Имеем:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под логарифмом снова квадратичная функция: График — парабола ветвями вверх,

x 0 = − b /(2 a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция монотонная, поэтому:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = . = log 2 8 = 3

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

В показателе стоит квадратичная функция Перепишем ее в нормальном виде:

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз Поэтому вершина будет точкой максимума:

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Видео:Математический анализ, 13 урок, Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезкеСкачать

Математический анализ, 13 урок, Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Аргумент логарифма должен быть положительным:

y = log a f ( x ) ⇒ f ( x ) > 0

Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Под корнем снова квадратичная функция: Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2 x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 ⇒

Теперь найдем вершину параболы:

Точка принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции а также на концах ОДЗ:

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Внутри логарифма стоит квадратичная функция Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6 x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6 x + 5 x 0 = − b /(2 a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) =

Видео:Как найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке? Алгоритм для №11 ЕГЭСкачать

Как найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке? Алгоритм для №11 ЕГЭ

Наибольшее и наименьшее значение функции

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал ( a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; b ) , бесконечный интервал ( a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; b ) либо бесконечный промежуток — ∞ ; a , ( — ∞ ; a ] , [ a ; + ∞ ) , ( — ∞ ; + ∞ ) .

В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) y = f ( x ) .

Видео:Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции по графикуСкачать

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции по графику

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Наибольшее значение функции y = f ( x ) на некотором промежутке x – это значение m a x y = f ( x 0 ) x ∈ X , которое при любом значении x x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f ( x ) ≤ f ( x 0 ) .

Наименьшее значение функции y = f ( x ) на некотором промежутке x – это значение m i n x ∈ X y = f ( x 0 ) , которое при любом значении x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f(X f ( x ) ≥ f ( x 0 ) .

Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x 0 , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x 0 .

Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0 .

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Видео:Найдите наименьшее значение функции | Без Лайфхаков | ЕГЭ профильСкачать

Найдите наименьшее значение функции | Без Лайфхаков | ЕГЭ профиль

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения ( m a x y и m i n y ) в стационарных точках, расположенных на отрезке [ — 6 ; 6 ] .

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [ — 3 ; 2 ] . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Видео:Наибольшее и наименьшее значение функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Наибольшее и наименьшее значение функции. Практическая часть. 10 класс.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает m a x y (наибольшее значение) и m i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале ( — 6 ; 6 ) .

Если мы возьмем интервал [ 1 ; 6 ) , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x , равном 6 , если бы x = 6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5 .

На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала ( — 3 ; 2 ] , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

Видео:№ 26704 Найдите наибольшее значение функции y=16tgx-16x+4π-5 на отрезке [-π/4; π/4].Скачать

№ 26704 Найдите наибольшее значение функции y=16tgx-16x+4π-5 на отрезке [-π/4; π/4].

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь m a x y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1 . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 .

Если мы возьмем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2 , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x = 2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 . Именно этот случай изображен на рисунке 8 .

Видео:Найдите наибольшее значение функции на отрезкеСкачать

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

  1. Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
  2. Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
  3. Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
  4. Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x = a и x = b .
  5. 5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Условие: задана функция y = x 3 + 4 x 2 . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

Решение:

Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0 . Иными словами, D ( y ) : x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ 0 ; + ∞ . Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y ‘ = x 3 + 4 x 2 ‘ = x 3 + 4 ‘ · x 2 — x 3 + 4 · x 2 ‘ x 4 = = 3 x 2 · x 2 — ( x 3 — 4 ) · 2 x x 4 = x 3 — 8 x 3

Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x 3 — 8 x 3 = 0 . У него есть только один действительный корень, равный 2 . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [ 1 ; 4 ] .

Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x = 1 , x = 2 и x = 4 :

y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Мы получили, что наибольшее значение функции m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 будет достигнуто при x = 1 , а наименьшее m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 – при x = 2 .

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

y ( — 1 ) = ( — 1 ) 3 + 4 ( — 1 ) 2 = 3

Значит, m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 1 ) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 4 ) = — 3 3 4 .

Ответ: Для отрезка [ 1 ; 4 ] — m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 , для отрезка [ — 4 ; — 1 ] — m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 1 ) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 4 ) = — 3 3 4 .

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Видео:Задание 12 ЕГЭ по математике #45Скачать

Задание 12 ЕГЭ по математике #45

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

  1. Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
  2. Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
  3. Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0 , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.
  • Если интервал имеет вид [ a ; b ) , то нам надо вычислить значение функции в точке x = a и односторонний предел lim x → b — 0 f ( x ) .
  • Если интервал имеет вид ( a ; b ] , то нам надо вычислить значение функции в точке x = b и односторонний предел lim x → a + 0 f ( x ) .
  • Если интервал имеет вид ( a ; b ) , то нам надо вычислить односторонние пределы lim x → b — 0 f ( x ) , lim x → a + 0 f ( x ) .
  • Если интервал имеет вид [ a ; + ∞ ) , то надо вычислить значение в точке x = a и предел на плюс бесконечности lim x → + ∞ f ( x ) .
  • Если интервал выглядит как ( — ∞ ; b ] , вычисляем значение в точке x = b и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f ( x ) .
  • Если — ∞ ; b , то считаем односторонний предел lim x → b — 0 f ( x ) и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f ( x )
  • Если же — ∞ ; + ∞ , то считаем пределы на минус и плюс бесконечности lim x → + ∞ f ( x ) , lim x → — ∞ f ( x ) .
  1. В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4 — 8 в первой части материала.

Пример 2

Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах — ∞ ; — 4 , — ∞ ; — 3 , ( — 3 ; 1 ] , ( — 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞ ) .

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :

x 2 + x — 6 = 0 D = 1 2 — 4 · 1 · ( — 6 ) = 25 x 1 = — 1 — 5 2 = — 3 x 2 = — 1 + 5 2 = 2 ⇒ D ( y ) : x ∈ ( — ∞ ; — 3 ) ∪ ( — 3 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

y ‘ = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 ‘ = 3 · e 1 x 2 + x — 6 ‘ = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 x 2 + x — 6 ‘ = = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 ‘ · x 2 + x — 6 — 1 · x 2 + x — 6 ‘ ( x 2 + x — 6 ) 2 = — 3 · ( 2 x + 1 ) · e 1 x 2 + x — 6 x 2 + x — 6 2

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = — 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах ( — 3 ; 1 ] и ( — 3 ; 2 ) .

Вычислим значение функции при x = — 4 для промежутка ( — ∞ ; — 4 ] , а также предел на минус бесконечности:

y ( — 4 ) = 3 e 1 ( — 4 ) 2 + ( — 4 ) — 6 — 4 = 3 e 1 6 — 4 ≈ — 0 . 456 lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 = 3 e 0 — 4 = — 1

Поскольку 3 e 1 6 — 4 > — 1 , значит, m a x y x ∈ ( — ∞ ; — 4 ] = y ( — 4 ) = 3 e 1 6 — 4 . Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение — 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к — 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:

lim x → — 3 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 — 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 3 ) — 4 = 3 e 1 ( — 3 — 0 + 3 ) ( — 3 — 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( + 0 ) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

Значит, значения функции будут расположены в интервале — 1 ; + ∞

Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = — 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к — 3 с правой стороны:

y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 y ( 1 ) = 3 e 1 1 2 + 1 — 6 — 4 ≈ — 1 . 644 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 — 3 + 0 + 3 ( — 3 + 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( — 0 ) — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ ( 3 ; 1 ] = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до — 4 .

Для интервала ( — 3 ; 2 ) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:

y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e — 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = — 4 lim x → 2 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 ( 2 — 0 + 3 ) ( 2 — 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 — 0 — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

Значит, m a x y x ∈ ( — 3 ; 2 ) = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом — 4 .

Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2 ) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.

На промежутке ( 2 ; + ∞ ) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка — 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 ( 2 + 0 + 3 ) ( 2 + 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( + 0 ) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞ ) = y ( 4 ) = 3 e 1 14 — 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = — 1 .

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Как найти наибольшее значение функции по уравнению на промежутке

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

🔍 Видео

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке и промежутке. Алгебра 10 классСкачать

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке и промежутке. Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс (Урок№17 - Наибольшее и наименьшее значения функций.)Скачать

Алгебра 11 класс (Урок№17 - Наибольшее и наименьшее значения функций.)

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезкеСкачать

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

ЕГЭ профиль Задание 12 Найдите наибольшее значение функции y=x^5-5x^3-20x на отрезке [-6; 1]Скачать

ЕГЭ профиль Задание 12 Найдите наибольшее значение функции y=x^5-5x^3-20x на отрезке [-6; 1]

Задание 12 ЕГЭ профиль Найдите наибольшее, наименьшее значение функции на отрезкеСкачать

Задание 12 ЕГЭ профиль Найдите наибольшее, наименьшее значение функции на отрезке

Алгебра 7 класс. 9 октября. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезкеСкачать

Алгебра 7 класс. 9 октября. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее и наименьшее значения тригонометрического выражения 1-4cosa. Как решить? Просто!Скачать

Найдите наибольшее и наименьшее значения тригонометрического выражения 1-4cosa. Как решить? Просто!

ЕГЭ Задание 12 Наибольшее наименьшее значение функции без производнойСкачать

ЕГЭ Задание 12 Наибольшее наименьшее значение функции без производной

Нахождение наибольшего и на меньшего значения квадратного трехчленаСкачать

Нахождение наибольшего и на меньшего значения квадратного трехчлена

Алгебра 10 класс. 12 сентября. Наименьшее и наибольшее значение функцииСкачать

Алгебра 10 класс. 12 сентября. Наименьшее и наибольшее значение функции
Поделиться или сохранить к себе: