Как найти координаты точки пересечения графиков уравнений не выполняя построения

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.

Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S — коэффициенты при переменных, а U — константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II — III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 .

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы «p+r)^2=p^2+2pr+r^2» нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

Видео:Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные — в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д

Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта «Образование».

Видео:Алгебра 7 класс. Как определить координаты точек пересечения графиков двух функций (5 урок из 5)Скачать

Решение на Задание 1074 из ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Макарычев Ю.Н.

Условие

Решение 1

Решение 2

Поиск в решебнике

Видео:Задача №322. Алгебра 7 класс Макарычев.Скачать

Популярные решебники

Издатель: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2013г.

Издатель: А.Г. Мордкович, 2013г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2015г.

Видео:Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координатСкачать

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. Номер №372

Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:
а ) y = 4 x + 9 и y = 6 x − 5 ;
б ) y = 16 x − 7 и y = 21 x + 8 ;
в ) y = 10 x − 7 и y = 5 ;
г ) y = 0,1 x и y = 14 .

Видео:Алгебра 7 класс. 12 октября. Находим точку пересечения графиков!Скачать

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. Номер №372

Решение а

4 x + 9 = 6 x − 5
4 x − 6 x = − 5 − 9
− 2 x = − 14
x = 7
y = 4 x + 9 = 4 * 7 + 9 = 28 + 9 = 37
( 7 ; 37 ) − точка пересечения графиков линейных функций.

Решение б

16 x − 7 = 21 x + 8
16 x − 21 x = 8 + 7
− 5 x = 15
x = − 3
y = 16 x − 7 = 16 * (− 3 ) − 7 = − 48 − 7 = − 55
(− 3 ;− 55 ) − точка пересечения графиков линейных функций.

Решение в

10 x − 7 = 5
10 x = 5 + 7
10 x = 12
x = 1,2
y = 5
( 1,2 ; 5 ) − точка пересечения графиков линейных функций.

Решение г

0,1 x = 14
x = 140
y = 14
( 140 ; 14 ) − точка пересечения графиков линейных функций.

💥 Видео

Координаты точки пересечения графиков функцийСкачать

98 Алгебра 9 класс Найдите координаты точек пересечения графиков функцииСкачать

Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координат. Алгебра 9 класс.Скачать

№ 287 - Алгебра 9 класс МерзлякСкачать

Линейная функция. Алгебра 7. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.Скачать

17.1 Вычислите координаты точек пересечения графиков функцийСкачать

Нахождение координат точки пересечения графиков линейных функций. Пример 1Скачать

Нахождение точек пересечения графиков функцийСкачать

7 класс. Учебник. N324бСкачать

Найти координаты точки пересечения прямыхСкачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

Определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функцииСкачать