Как найти интегральную кривую уравнения

Решение дифференциального уравнения

называется особым , если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, что и решение , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности . График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция и ее частные производные и непрерывны по всем аргументам , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить из уравнений (1) и (2).

Полученное после исключения из (1) и (2) уравнение

Часто бывает так, что распадается на несколько ветвей . Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.

Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае и условие (2) принимает вид , отсюда . Подставляя это выражение для в уравнение (4), получаем

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.

б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что есть решение уравнения (4).

в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде . Это уравнение Клеро. Его общее решение

Выпишем условие касания двух кривых и в точке с абсциссой :

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой .

Полагая , находим, что условия (7) принимают вид

Подставляя в первое из равенств (8), получаем или т.е. при первое равенство выполняется тождественно, так как есть абсцисса произвольной точки.

Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой . Значит, есть особое решение уравнения (4).

г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).

Огибающей семейства кривых

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые и касаются в точке , если они имеют в этой точке общую касательную.

Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в каждой точке огибающей значения удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой.

Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.

Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:

1) существуют ограниченные по модулю частные производные

где и — постоянные;

Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.

Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем , так что отсюда . Подставляя это значение в (14), получаем откуда

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых и .

б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).

в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как и , то на каждой ветви СДК имеем (предполагаем, что решение уравнения (13) рассматривается на отрезке

где — область допустимых значений .

Заметим, что на любой из ветвей СДК в области 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==» />, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).

Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.

В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель входит в в квадрате.

Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель входит в в квадрате;

3) — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель входит в в кубе.

Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части и фигурировали в соотношениях (16) и (17).

Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.

В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в в первой степени, а в — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.

Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по . Исключив , получим p-дискриминантную кривую , которая распадается на две ветви

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).

Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства

являющегося общим интегралом для (18).

Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой откуда, исключая , получаем , или и , что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии и являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.

Интегральные кривые (22) суть параболы , а линии — огибающие этого семейства парабол (рис. 20).

Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Дифференцируем (23) по

Исключая из (23) и (24), получим . Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.

Решениями уравнения (23) являются параболы и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).

Из чертежа видно, что прямая действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).

Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Найдем . Исключая из системы уравнений получаем

Преобразовав уравнение (25) к виду , находим его общий интеграл .

Найдем . Исключая из системы уравнений будем иметь

Итак, из (26) и (27) имеем

Множитель входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что действительно удовлетворяет уравнению.

Уравнение , входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения .

Наконец, уравнение , входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (рис.22).

Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по , получаем , откуда

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение :

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у’ через р, перепишем (28) в виде

Дифференцируя обе части (28) по и учитывая, что , будем иметь

Приравнивая нулю первый множитель , получаем (29), а соотношение дает

Исключая параметр из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение .

Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а есть геометрическое место точек заострения (множитель входит в уравнение в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что есть решение, а решением не является (при уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение есть особое (огибающая семейства интегральных линий).

Как найти интегральную кривую уравнения

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

С другой стороны, по условию задачи имеем

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) tg α = y ‘ и (1.2) tg α = 2x получим

Решением дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x даются формулой

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M₀ (x₀, y₀), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) y = x 2 + С координаты x и y координатами точки M₀

и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (1.5) y = x 2 + С . Выполняя указанные выкладки, имеем:

С = y₀ – , y = x 2 – + y₀.

Таким образом, искомой кривой будет парабола

y = x 2 – + y₀.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t₀ точка занимает положение x₀, так что x(t₀) = x₀.

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

= f (t). (1.7)

Равенство (1.7) = f (t) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (1.7) = f (t) , найдем закон движения в конечной форме.

Интегрирование уравнения (1.7) = f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде

x = f (t) dt + C. (1.8)

Выделим решение (движение), в котором

Для этого положим в формуле (1.8) x = f (t) dt + C t = t₀, x = x₀. Получим

x₀ = f (t) dt + C,

откуда C = x₀; следовательно, искомым решением (движением) будет

x = f (t) dt + x₀. (1.10)

Формула (1.10) x = f (t) dt + x₀ дает искомый закон движения материальной точки. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (1.7) = f (t) и условием (1.9) x = x₀ при t = t₀ , нет.

Условие (1.9) x = x₀ при t = t₀ называется начальным условием, а числа t₀ и x₀ — начальными данными решения (движения).

3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

x — = 0, z = z (x, y),

то оно называется уравнением с частными производными.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например

Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

Например, все решения уравнения

y’ =

y = dx + C.

3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.

Если его возможно разрешить относительно производной y ‘, то оно приводится к виду y ‘ = f (x, y). (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка вида (3.1) y ‘ = f (x, y) .

Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Решение y = y (x) уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ‘ — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Задание уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

Задача интегрирования уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) дает графический способ построения его решения.

y ‘ = = p. (3.2)

Это значит, что интегральные кривые пересекают эту линию под одним и тем же углом

= tg α = p,

т.е. все черточки параллельны для всех точек изоклины.

Давая p различные значения, получим ряд изоклин или линий постоянного наклона касательных. Чтобы получить, приближенный график решения, проходящий через данную точку M₀ (x₀, y₀), проводим кривую так, чтобы она пересекала изоклину под углами, указанными черточками и проходила через точку M₀ (x₀, y₀).

Установим связь между уравнением (3.2) y ‘ = = p и его интегральными кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (3.2) y ‘ = = p определена и непрерывна в области G , и пусть

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M (x, y). Проведем касательную к интегральной кривой (3.3) y = y (x) в точке M и обозначим через α угол, образованный касательной MT с положительным направлением оси x.

Таким образом, если через точку M(x, y) проходит интегральная кривая (3.3) y = y (x) , то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке M области G отрезок (для определенности — единичной длины) с центром в точке M, составляющий с положительным направлением оси Ox угол α, тангенс которого определяется формулой (3.4) tg α = f (x, y) . Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (3.2) y ‘ = = p . Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает тем свойством, что направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля, определяемым уравнением (3.2) y ‘ = = p в этой точке.

Чтобы ответить на вопрос, под каким углом интегральные кривые могут пересекать ось x, достаточно подставить в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = = p y = 0, и получим тангенс угла α:

Например, интегральные кривые уравнения

= x 2 + y 2 . (3.5)

пересекают ось x под углом α, тангенс которого равен x 2 . Аналогично интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = = p в точках их пересечения с осью y образуют с осью x угол α:

Вообще, если надо узнать, какой угол с осью x образуют интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = = p в точках их пересечения с заданной кривой y = φ(x), то достаточно подставить y = φ(x) в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = = p . Получим

Например, для интегральных кривых уравнения

= y – x

в точках их пересечения с прямой y = y имеем tg α = 0, так что касательные к этим интегральным кривым параллельны оси x.

Кривая ω (x, y) = 0, в каждой точке которой направление поля, определяемое дифференциальным уравнением (3.2) y ‘ = = p , одно и то же, называется изоклиной этого уравнения.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3.2) y ‘ = = p имеют вид

где k = tg α = const. Например, для уравнения (3.5) = x 2 + y 2 изоклинами будут окружности

вырождающиеся в точку (0,0) при k = 0. При k = 1 получаем изоклину

Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси x под углом α. С увеличением k наклон интегральных кривых возрастает, и интегральные кривые имеют вид, указанный схематически на рисунке. Построив достаточно «густое» семейство изоклин (в нашем случае — окружностей); можно получить методом изоклин сколь угодно точное представление об интегральных кривых.

Если в точке M(x, y) правая часть уравнения (3.2) y ‘ = = p обращается в бесконечность, то естественно считать, что направление ноля в такой точке параллельно оси y. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

= . (3.6)

Таким образом, во всякой точке M(x, y), в которой правая часть уравнения (3.2) y ‘ = = p имеет конечное значение или обращается в бесконечность, это уравнение задает вполне определенное направление поля. Интегральные кривые перевернутого уравнения (3.6) = , которое всегда будем рассматривать наряду с уравнением (3.2) y ‘ = = p в окрестности точек, где f (x, y) обращается в бесконечность, будем присоединять к интегральным кривым уравнения (3.2) y ‘ = = p .

3.4. Задача Коши.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y₀ искомой функции при некотором значении x₀ независимого переменного — это значит задать начальное условие

= y₀.

С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M₀ (x₀, y₀) на плоскости XOY.

Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?

Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано уравнение y’ = f (x, y) с начальным условием = y₀, и относительно функции f (x, y) выполнены следующие условия:

В прямоугольнике R, определенном неравенствами

функция f (x, y) непрерывна. Из этого условия вытекает, что в замкнутой области R функция f (x, y) ограничена, т.е. существует действительное число M > 0 такое, что для любой точки (x, y) ∈ R | f (x, y)| ≤ M.

В области R функция f (x, y) относительно аргумента y удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует такое действительное число A > 0, что | f (x, y₁) – f (x, y₂)| ≤ A|y₁ – y₂|.

Обозначим через h меньшее из двух чисел a, .

При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x₀ – h ≤ x ≤ x₀ + h, удовлетворяющее начальному условию = y₀.

3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка

I. Уравнения с разделяющимися переменнымиII. Уравнения, однородные относительно переменныхIII. Уравнения в полных дифференциалахIV. Линейные дифференциальные уравненияy’ = f (x) g ( y)y’ = f (x, y), где f (x, y) — однородная функция нулевого порядкаM(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,

где y’ + P(x) y = Q(x)

1. y’ = .
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать.

1. Замена = u, где u = u(x).
2. После подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными.
3. Решив его, заменим u = .

1. Проверяем

   .
   Решением дифференциального уравнения является u(x, y), где

   = M(x, y),

   = N(x, y).

y’ + P(x) y = 0 — линейное однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
1. y’ + P(x) y = Q(x)

• метод вариации произвольной постоянной;
• метод Бернулли:
  y = u(x) · v(x).

I. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида y’ = f (x) g ( y) или M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.

Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

dx + dy = 0,

где dx — дифференциал некоторой функции от x,

dy — дифференциал некоторой функции от y.

Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

dx + dy = C.

Частный интеграл, удовлетворяющий условию = y₀, выражается

dx + dy = 0.

Если работать с уравнением y’ = f (x) g ( y), то = f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

Замечание. Необходимо учесть, что при делении на P(x) и N(y), мы могли потерять решение уравнения, поэтому нужно проверить, не являются ли решениями данного уравнения, не вошедшие в общее решение, решения уравнений P(x) = 0 и N(y) = 0.

Действительно, всякое решение, например y = y₀, уравнения N(y) = 0 является решением уравнения

Значит решения y = y₀, x = x₀ являются интегралами уравнения (5.1) M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy , даже если они не содержатся в общем решении.

II. Уравнения, однородные относительно переменных

Пусть имеем дифференциальное уравнение y’ = f (x, y), однородное относительно переменных x и y. Положив t = в тождестве f (tx, ty) = f (x, y), получим f (x, y) = f 1, , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

Обозначив f 1, = φ, получим, что однородное относительно переменных x и y дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

= φ.

Как интегрируется уравнение y’ = φ?

Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого делают замену

= u,

где u — новая искомая функция от независимой переменной x, т.е. u = u(x).

Дифференцируя по x, имеем:

тогда данное уравнение примет вид:

x = φ(u) – u.

Это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, преобразовав которое, получим:

= .

= + C,

= ln x + ln C

= ln Cx,

причем |x| не пишем, т.к. –1 войдет в постоянную C.

После взятия квадратуры, подставляем u = .

Замечание. Мы делили на φ(u) – u, предполагая, что оно отлично от нуля.

1. Если φ(u) ≡ u, то уравнение y’ = φ(u) примет вид: y’ = — уравнение с разделяющимися переменными.
2. Если φ(u) = u при некоторых значениях u = u₀, то функция y = u₀x — решение уравнения y’ = φ(u), которое может и не вытекать из общего.

y’ = u₀ и φ= φ(u₀) равны, тогда u₀ = φ, xdx = [φ(u) – u] dx.

III. Уравнения в полных дифференциалах

Если существует функция u(x, y) такая, что

M(x, y) = , N(x, y) = ,

то дифференциальное уравнение

можно переписать в форме

dx + dy = 0, т.е. d[u(x, y)] = 0.

В этом случае, данное уравнение имеет решение

Другой вопрос, как найти эту функцию u(x, y)?

Это можно сделать с помощью криволинейного интеграла, но на практике поступают следующим образом.

Т.к. = M(x, y), то

u(x, y) = M(x, y) dx + C(y), (5.3)

где C(y) — функция, зависящая только от y и пока нам неизвестная. Будем ее искать из условия, что = N(x, y), но

= M(x, y) dx + C(y).

M(x, y) dx + C’(y) = N(x, y).

Отсюда находим C’(y), а интегрированием найдем C(y), которое затем подставляем в (5.3) и получаем u(x, y). Тогда общий интеграл уравнения (5.2) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 имеет вид

IV. Линейные дифференциальные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y’ + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,

= – P(x) y

= – P(x) dx.

Проинтегрируем последнее уравнение:

= – P(x) dx + C,

ln y = ln C – P(x) dx.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

y = C.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

его общее решение y = C.
Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде

y = C(x), (5.4)

где C(x) — искомая функция от x.

Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y’:

y’ = C’(x) + C(x) (– P(x))

и, подставив в данное уравнение, получим

C’(x) = Q(x).

Интегрированием находим C(x):

C(x) = Q(x) + C.

Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) y = C(x) и получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методом Бернулли.

На примере решения уравнения y’ – = x.

Пусть решение имеет вид:

u’v + v’u – = x.

u’v + uv’ – . ( ∗ )

Пусть v’ – = 0.

= ,

= ,

v = x 3 , подставим в уравнение ( ∗ ),

u’ = .

Интегрированием находим u:

u = = – + C,

y = – + C x 3 — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.

Решение y = y(x), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения y = φ(x, C) (6.1) при конкретном числовом значении произвольной постоянной C (но может быть получено при C = C(x)).

Если правая часть уравнения = f (x, y) (6.2) удовлетворяет во всей области задания условиям теоремы Пикара, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений. Если функция f (x, y), стоящая в правой части уравнения , непрерывна относительно x и y во всей области задания и имеет частную производную по y (ограниченную или нет), то особыми решениями могут быть только те кривые y = φ(x), во всех точках которых обращается в бесконечность:

_{y = φ(x)} = ∞.

Кривые, подозрительные на особые решения, могут быть иногда найдены по уравнению семейства интегральных кривых.

Огибающая семейства интегральных кривых уравнения (6.2) = f (x, y) всегда является особым решением этого уравнения, ибо, во-первых, она является решением (интегральной кривой) уравнения (6.2) = f (x, y) , так как в каждой ее точке направление касательной совпадает с направлением поля, направлений, определяемого дифференциальным уравнением (6.2) = f (x, y) в этой точке, и, во-вторых, в каждой ее точке, очевидно, нарушается единственность решения задачи Коши.

Отметим, наконец, что особые решения всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Дело в том, что когда делим обе части данного дифференциального уравнения на некоторую функцию ω(x, y), то получаем уравнение, вообще говоря, не равносильное данному, ибо можем при этом потерять решения вида y = φ(x) при x = ψ(y), при которых делитель ω(x, y) обращается в нуль, если эти решения не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него ни при каких числовых значениях произвольной постоянной (включая ± ∞). Решения, о которых идет речь, очевидно, являются особыми.

Вообще всегда при интегрировании дифференциального уравнения нужно иметь в виду следующее замечание Н. М. Гюнтера: «Внимательно относясь к процессу, переводящему дифференциальное уравнение в его общий интеграл, можно без всяких интегрирований найти все особые решения, ни одного не пропустив». В дальнейшем будем систематически пользоваться этим указанием для нахождения особых решений всех уравнений, общий интеграл которых удается построить в элементарных функциях или в квадратурах.

Рассмотрим случай полного уравнения (6.3) F(x, y, y’) = 0 , в котором функция F линейно зависит от y и x. Такое уравнение можно, разрешив относительно y, записать в виде

Если φ(y’) ≠ y’, то уравнение (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) называется уравнением Лагранжа. Найдем его общее решение в параметрической форме.

Воспользуемся основным соотношением:

приняв y’ за параметр, который на этот раз (по традиции) обозначим буквой p (y’ = p). Тогда уравнение Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) будет равносильно системе двух уравнений

(6.4, а)

Пользуясь основным соотношением (6.5) dy = y’dx с учетом (6.4, а) , получим (вычисляя dy как дифференциал функции от двух аргументов p и x)

Это есть дифференциальное уравнение с неизвестной функцией x от независимой переменной p. Замечая, что искомая функция x входит в коэффициент при dp линейно, перепишем его в виде

.

Это есть линейное уравнение с искомой функцией x. Интегрируя его, получим

Подставляя эту функцию в первое из уравнений (6.4, а) выразим y через p. Общим решением уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) в параметрической форме будет

Если уравнение φ(p) – p = 0 имеет действительные решения p = p_i (i = 1, 2 , …, n), то, подставляя их в первое из уравнений (6.4, а) и принимая во внимание, что φ(p_i) = p_i, получим

Эти прямые линии могут оказаться особыми решениями уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) .

Это уравнение называется уравнением Клеро.

Применяя тот же алгоритм, что и при интегрировании уравнения Лагранжа, имеем

Это уравнение распадается на два:

Первое из них дает p = C = const. Подставляя это значение в первое из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p , получим

Это семейство прямых линий и есть общее решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) . Заметим, что оно получается из (6.6) y = xy’ + ψ(y’) формальной заменой y’ на C.

Второе из уравнений (6.8) dp = 0 и x + ψ’(p) = 0 вместе с первым из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p дает решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) в параметрической форме:

(6.10)

которое обычно является особым и представляет наибольший (если не исключительный) интерес для приложений. Геометрически это решение чаще всего является огибающей семейства (6.9) y = xC + ψ(C) и в этом случае представляет собой заведомо особое решение.

Действительно, разыскивая кривую, подозрительную на огибающую семейства (6.9) y = xC + ψ(C) , по правилу, указанному выше, имеем систему

где второе уравнение получено из первого, дифференцированием по C. Из этой системы находим

Но эти уравнения отличаются от (6.10) только обозначением параметра.

Таким образом, приходим к очень простому алгоритму интегрирования уравнения Клеро:

1. Общее решение получается заменой у’ на C.
2. Особое решение ищется как огибающая семейства прямых, образующих общее решение.

В случае уравнения Клеро наибольший интерес представляет не общее, а особое решение.

3.7. Уравнение Бернулли.

Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

Для приведения уравнения Бернулли к линейному уравнению избавимся сначала в правой части от множителя y m , разделив на него обе части уравнения. Получим

Это уравнение можно переписать в виде

( y 1 – m ) ‘ + p(x)y 1 – m = q(x).

Введя новую неизвестную функцию z:

придем к уравнению

z’ + p(x)z = q(x),

Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

y = .

Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 (8.2) = 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, ), зависящей от времени t, положения x и скорости в момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

m = F (t, x, ), (8.3)

где есть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) m = F (t, x, ) в виде

= f (t, x, ), (8.4)

где f = .

соответствует, как и в случае уравнения первого порядка, определенный закон движения. Поэтому часто решение (8.5) x = x(t) называют движением, определяемым уравнением (8.5) x = x(t) . Задача, теории интегрирования уравнения (8.4) = f (t, x, ) состоит в нахождении всех движений, определяемых этим уравнением, и изучении их свойств. Так как уравнение (8.4) = f (t, x, ) удается проинтегрировать в конечном виде лишь в редких случаях, то весьма важно уметь устанавливать свойства движений, определяемых этим дифференциальным уравнением непосредственно по свойствам самого дифференциального уравнения.

Для уравнения n-го порядка

(n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀, (8.8)

где x₀, y₀, , …, — заданные числа (начальные данные решения (8.7) y = y(x) . В отличие от уравнения первого порядка здесь при заданном значении независимой переменной задается значение не только искомой функции, но и ее производных до порядка на единицу ниже, чем порядок дифференциального уравнения.

В частности, для уравнения второго порядка (8.1) F (x, y, y ‘, y ») = 0 начальные условия (8.8) y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀ принимают вид

y = y₀, y ‘ = при x = x₀.

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M₀ (x₀, y₀) и имеющей в этой точке касательную M₀T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α₀:

tg α₀ = .

Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

Предположим, что все коэффициенты p₁, …, p_n и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x₀, y₀, , …, ), где x₀ ∈ (a, b), а y₀, , …, — любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема. Если функции p₁, …, p_n и f (x) непрерывны в интервале (a, b), то уравнение (8.10) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) имеет единственное решение (8.7) y = y(x) , удовлетворяющее начальным условиям (8.8) y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀ , причем y₀, , …, можно задавать произвольно, а x₀ можно брать любым из интервала (a, b).

Можно доказать, что решение (8.7) y = y(x) определено во всем интервале (а,b).

В частности, если функции p₁, …, p_n и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y₀, , …, можно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

Если функции p₁, …, p_n, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

(8.11)

то при постановке задачи Коши начальные значения y₀, , …, можно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q₁, …, Q_n, Q_{n + 1}. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x₀, не содержащей нулей знаменателей Q₁, …, Q_n, Q_{n + 1}.

3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

Если уравнение (9.1) F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0 разрешимо относительно старшей производной y (n) , то оно примет вид

Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида y (n) = f (x).Уравнение вида
F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
не содержащее явно неизвестную функцию y.Уравнение вида
F (x, y (k) , y (k + 1) , …, y (n) ) = 0,
не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных.Уравнение вида
F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
не содержащее явно независимую переменную x.Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ‘ и находим y.Производим замену y (k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y (k) и интегрированием находим y.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(y), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка, связывающее y, z и производные от z по y.
Например, в дифференциальном уравнении вида F ( y, y ‘, y » ) делается замена y ‘ = z, тогда
y » = = = z.
Заменяя y ‘ = z, y » = z, получим дифференциальное уравнение первого порядка
F y, z, y ‘, z = 0.

3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.

Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения.

Будем предполагать, что функции p₁, …, p_n, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y₀, , …, при любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = 0 с нулевыми начальными условиями y₀ (x₀) = 0, (x₀) = 0, …, (x₀) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y , а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y₀, , …, , на заданные функции p₁, …, p_n, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

L ≡ + p₁ (x) + p_{n – 1} (x) + p_n (x)

и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

L ≡ + p₁ (x) + p₂ (x).

Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

Из этих основных свойств оператора L следует, что

L C_k y_k = C_k L(y_k).

т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) L(y) = f (x) или (10.5) L(y) = 0 в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

Функции cos x и sin x являются действительной и мнимой частями комплексной функции e ix . Так как они определены при всех значениях x, то и функция e ix определена при всех значениях x.

Аналогично определяется показательная функция более общего вида e αx , где α = a + ib; причем a и b — действительные числа:

Здесь действительная и мнимая части e ax cos bx, ie ax sin bx, а вместе с ними и функция e αx определены при всех значениях x.

Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

Используя формулу (10.7) y (k) (x) = u (k) (x) + iv (k) (x) , можем вычислить значение оператора L от комплексной функции действительной независимой переменной. При этом получим

т. е. значение оператора L от комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) является комплексной функцией действительной переменной x; причем действительной и мнимой частями этой функции являются значения оператора L от действительной и мнимой частей функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) .

Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

откуда вытекает, что

≠ const (a (11.2) y₁, y₂, …, y_m (a линейно зависимы в интервале (a, b), то одна из них является линейной комбинацией остальных.

α₁, α₂, …, α_n (a (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

W(x) =

Этот определитель называется определителем Вронского решений y₁, y₂, …, y_n.

Теорема. Для того чтобы решения (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a были линейно независимы в (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L(y) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль ни в одной точке из (a, b).

Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L(y) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского—Лиувилля:

W(x) = W(x₀) . (11.4)

Из формулы (11.4) W(x) = W(x₀) видно, что определитель Вронского n решений уравнения L(y) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

1. Если W(x) обращается в нуль в одной точке из интервала (a, b), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
2. Если W(x) не равен нулю в одной точке из интервала (a, b), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Таким образом, для того, чтобы n решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a составляли фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x₀ ∈ (a, b).

Построение общего решения однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений

Знание фундаментальной системы решений уравнения L(y) = 0 дает возможность построить общее решение этого уравнения.

a (n – 1) | (11.5) a (n – 1) | имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Покажем, что функция (11.1) C_ky_k удовлетворяет обоим условиям, указанным в определении общего решения уравнения n-го порядка.

1. Система уравнений

(11.6)

разрешима в области (11.5) a (n – 1) | относительно произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n так как определитель этой системы, будучи равен определителю Вронского для фундаментальной системы решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a , отличен от нуля.

2. Функция (11.1) C_ky_k по третьему свойству решений однородного линейного уравнения является решением уравнения L(y) = 0 при всех значениях произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n.

Поэтому функция (11.1) C_ky_k является общим решением уравнения L(y) = 0 в области (11.5) a (n – 1) | .

Формула (11.1) C_ky_k содержит в себе все решения уравнения L(y) = 0, ибо она дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀ (11.7)

где y₀, , …, можно задавать произвольно, а x₀ брать любым из интервала (a, b). Для этого достаточно подставить в систему (11.6) вместо x, y, y ‘, …, y (n – 1) начальные данные x₀, y₀, , …, и разрешить полученную систему

(11.8)

относительно произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n. Так как определитель системы (11.8) есть W(x₀) и он отличен от нуля вследствие того, что система решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a фундаментальная, то эта система имеет единственное решение

C₁ = , C₂ = , …, C_n =

Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (11.1) C_ky_k , получим искомое решение:

y = y_k.

Таким образом, фундаментальная система решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a является базисом n–мерного линейного пространства решений уравнения L(y) = 0.

3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

где коэффициенты a₁, a₂, …, a_n суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2) L(y) ≡ y (n) + a₁ y (n – 1) + … + a_{n – 1} y ‘ + a_n y = 0 определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка

где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в виде

где λ — подлежащее определению число (действительное или комплексное). Согласно определению решения функция (12.4) y = e λx будет решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , если λ выбрано так, что функция (12.4) y = e λx обращает это уравнение в тождество

Вычисляя L(e λx ), т. е. подставляя функцию (12.4) y = e λx в левую часть уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , и принимая во внимание, что

Из формулы (12.7) L(e λx ) = (λ 2 + pλ + q)e λx следует, что интересующее нас тождество (12.5) L(e λx ) ≡ 0 будет выполняться тогда и только тогда, когда P(λ) = 0, т. е. когда λ является корнем уравнения

Заметим, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 заменой y », y ‘ и y на λ 2 , λ и 1, т. е. степень λ совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция y (0) ≡ y.

Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 зависит от вида корней характеристического уравнения (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 .

Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через λ₁ и λ₂. Тогда, подставляя в формулу (12.4) y = e λx вместо λ числа λ₁ и λ₂, получим два частных решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0

y₁ = , y₁ = . (12.9)

Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

=

не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9) y₁ = , y₁ = можно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

W(x) = = (λ₂ – λ₁) ≠ 0.

Следовательно, частные решения y₁ = , y₁ = образуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

y = C₁ + C₂ .

Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

Подставляя корень λ₁ = a + bi в формулу (12.4) y = e λx , получим комплексное решение

поэтому решение (12.10) y = e (a + bi)x можно записать так:

Отделяя в комплексном решении (12.11) y = e ax cos ax + i e ax sin bx действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

Эти решения, очевидно, независимы, так как

≠ const.

Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню λ₂ = a – bi соответствуют действительные частные решения

Решения (12.13) e ax cos ax, – e ax sin bx , очевидно, линейно зависимы с решениями (12.12) y₁ = e ax cos ax, y₂ = e ax sin bx .

Таким образом, паре сопряженных комплексных корней λ_{1, 2} = a ± bi соответствуют два действительных линейно независимых частных решения (12.12) y₁ = e ax cos ax, y₂ = e ax sin bx .

Решения (12.12) y₁ = e ax cos ax, y₂ = e ax sin bx образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 . Поэтому

будет общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 .

Если корни λ₁ и λ₂ чисто мнимые, т. е. λ₁ = ib и λ₂ = – ib, то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , а

есть общее решение этого уравнения.

Случай кратных корней характеристического уравнения

Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 имеет равные корни λ₁ = λ₂ = – . Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

y₁ = (12.15)

y₁ = . (12.15, а)

Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в том, что

y₂ = x (12.16)

есть второе частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , линейно независимое с решением (12.15) y₁ = :

= – x,

= – p + x. (12.17)

L(x) = – px + x + px – x + qx = – + q x ≡ 0 (12.18)

так как – q = 0.

Общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

y = (C₁ + C₂x).

3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.

Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) .

z = C_k z_k (13.5)

Подставляя это значение z в формулу (13.3) y = y₁ + z , получим

y = y₁ + C_k z_k (13.6)

Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) . Функция (13.6) y = y₁ + C_k z_k , как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) .

Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) .

Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4) L(z) = 0 .

Общее решение (13.6) y = y₁ + C_k z_k дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x₀, y₀, , …, из области (11.5) a (n – 1) | за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

Задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) во многих случаях облегчается, если воспользоваться замечательным свойством частных решений, выражаемым следующей теоремой.

и известно, что y₁ есть частное решение уравнения

а y₂ — частное решение уравнения

3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

где a₁, …, a_n — действительные числа, α — действительное число, P_m (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

где Q_m (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.
Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

т. е. частное решение приобретает множитель xk .

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

где α и b — действительные числа, P₁ и P₂ — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

где Q₁ и Q₂ — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P₁ и P₂ тождественно равен нулю.
Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

т. е. частное решение приобретает множитель xk .

3.15. Метод вариации произвольных постоянных.

Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

Рассмотрим наряду с уравнением (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) соответствующее ему однородное уравнение

W(x) = ≠ 0 (15.4)

Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3) L(z₁) ≡ 0, L(z₂) ≡ 0 имеет вид

Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C₁(x) и C₂(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C₁(x) и C₂(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6) L(C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂) = f (x) не войдут производные второго порядка от этих функций.

Дифференцируя обе части равенства (15.5) z = C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂ , имеем y’ = C₁(x) + C₂(x) + (x)z₁ + (x)z₂.

Чтобы при вычислении y» не появились производные второго порядка от C₁(x) и C₂(x), положим

(x)z₁ + (x)z₂ = 0.

Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C₁(x) и C₂(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y’ примет вид

y’ = C₁(x) + C₂(x). (15.7)

Вычисляя теперь y», получим

y» = C₁(x) + C₂(x) + (x) + (x). (15.8)

Подставим выражения для y, y’ и y» из формул (15.5) z = C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂ , (15.7) y’ = C₁(x) + C₂(x) и (15.8) y» = C₁(x) + C₂(x) + (x) + (x) в уравнение (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на q, p и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Получим

C₁(x)L(z₁) + C₁(x)L(z₂) + (x) + (x) = f (x).

Здесь в силу (15.3) L(z₁) ≡ 0, L(z₂) ≡ 0 первые два слагаемых равны нулю, поэтому

(x) + (x) = f (x).

Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

Эта система в силу (15.4) W(x) = ≠ 0 однозначно разрешима относительно (x) и (x). Решая ее, получим

(x) = φ₁(x) и (x) = φ₂(x),

где φ₁(x) и φ₂(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z₁, z₂, и непрерывны в интервале (a, b), то в силу (15.4) W(x) = ≠ 0 функции φ₁(x) и φ₂(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

C₁(x) = φ₁(x)dx + C₁, C₂(x) = φ₂(x)dx + C₂,

y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂. (15.9)

Полагая здесь C₁ = C₂ = 0, получим частное решение

y₁ = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx

так что формулу (15.9) y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂ можно записать в виде

откуда в силу теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения следует, что формула (15.9) y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂ дает общее решение уравнения (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Все решения, входящие в формулу (15.9) y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂ , заведомо определены в интервале (a, b).

Изложенный метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на уравнение n-го порядка. Пусть дано неоднородное линейное уравнение n-го порядка

где коэффициенты p₁ (x), …, p_n (x) и правая часть f (x) суть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

Пусть z₁, z₂, …, z_n — фундаментальная система решений этого уравнения. Тогда

z = C_kz_k

Решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

y = C_k(x)z_k, (15.11)

где функции C_k(x) определяются из системы уравнений

Решая эту систему относительно (k = 1, 2, …, n), находим

= φ_k(x) (k = 1, 2, …, n),

C_k(x) = φ_k(x)dx + C_k (k = 1, 2, …, n).

Подставляя найденные значения C_k(x) в формулу (15.11) y = C_k(x)z_k , получаем

y = z_kφ_k(x)dx + C_kz_k. (15.12)

Это и есть общее решение уравнения. Все решения, входящие в формулу (15.12) y = z_kφ_k(x)dx + C_kz_k , заведомо определены в интервале (a, b).

Дифференциальные уравнения первого порядка с примерами решения и образцами выполнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у'(х), у»(х), … , (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь — заданная функция своих аргументов.

Замечание:

Обозначения зависимой и независимой переменных через х и у, используемые в приведенном определении, не являются жесткими; часто в качестве независимой удобно брать переменную t, иными буквами обозначают и зависимую переменную (см. ниже пример 2).

В обыкновенном дифференциальном уравнении искомая функция у = у(х) есть функция одной независимой переменной x. Если искомая функция есть функция двух (и более) независимых переменных, то имеем дифференциальное уравнение с частными производными. В этой и двух следующих главах мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

где f(x) — известная непрерывная на некотором интервале (а, b) функция, а у = у(х) — искомая функция. С таким уравнением мы уже встречались в интегральном исчислении, когда поданной функции f(x) требовалось найти ее первообразную F(x). Как известно, всякая функция, удовлетворяющая уравнению (2), имеет вид

где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции f(x) на интервале (а, Ь), а С — произвольная постоянная. Таким образом, искомая функция у = у(х) определяется из уравнения (2) неоднозначно.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например,

— дифференциальное уравнение 1-го порядка;

— дифференциальное уравнение 2-го порядка;

— дифференциальное уравнение пятого порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (а, b) называется всякая функция имеющая на этом интервале производные до n-го порядка включительно и такая, что подстановка функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х на интервале (а, b).

Например, функция у = sin х является решением дифференциального уравнения второго порядка

на интервале В самом деле, Подставив в данное уравнение найденные значения получим —

Задача:

Найти совпадающие решения двух дифференциальных уравнений (не решая самих уравнений):

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. К составлению и интегрированию дифференциальных уравнений приводят многочисленные задачи как самой математики, так и других наук (физики, химии, биологии и т. п.).

Пример:

Найти такую кривую, чтобы тангенс угла наклона касательной в каждой ее точке численно равнялся ординате точки касания.

— уравнение искомой кривой. Как известно, tg а = у'(х) и, значит, определяющее свойство кривой есть

— дифференциальное уравнение первого порядка. Нетрудно видеть, что функция

Есть решение этого уравнения. Оно также имеет очевидное решение у = 0. Кроме того, решениями будут функции

где С — произвольная постоянная, так что уравнение имеет бесконечное множество решений.

Пример:

Найти закон прямолинейного движения материальной точки, движущейся с постоянным ускорением а.

Требуется найти формулу выражающую пройденный путь как функцию времени. По условию имеем

— дифференциальное уравнение второго порядка. Последовательно находим:

Произвольные постоянные можно определить, если положить

В самом деле, полагая t = to в первом из соотношений (*), получаем = Из второго соотношения (*) при t = tо имеем

Подставляя найденные значения C1 и С2 в выражение для функции s(t), приходим к известному закону движения материальной точки с постоянным ускорением:

Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши

Пусть имеем дифференциальное уравнение первого порядка

Если в этом уравнении удается выразить производную у’ через х и у, то получаем уравнение

разрешенное относительно производной. Здесь f — заданная функция своих аргументов.

Наряду с уравнением (1) рассматривают эквивалентное ему дифференциальное уравнение

или уравнение более общего вида

получаемое из (1′) путем умножения на некоторую функцию известные функции своих аргументов).

Два дифференциальных уравнения

называются эквивалентными в некоторой области D изменения величин х, у, у’, если всякое решение одного из этих уравнений является решением другого уравнения и наоборот. При преобразовании дифференциальных уравнений надо следить затем, чтобы преобразованное уравнение было эквивалентным исходному.

Если дифференциальное уравнение имеет решение, то, как правило, множество его решений оказывается бесконечным. Впрочем, дифференциальное уравнение

имеет только одно решение

y = х,

вообще не имеет действительных решений.

Чтобы выделить определенное решение уравнения (1), надо задать начальное условие, которое заключается в том, что при некотором значении Xо независимой переменной х заранее дано значение Yo искомой функции у(х):

Геометрически это означает, что задается точка через которую должна проходить искомая интегральная кривая.

Задачу отыскания решения у(х) уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называют задачей Коши (начальной задачей) для уравнения (1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения у’ = f(x, у)

Теорема:

Существования и единственности решения. Пусть имеем дифференциальное уравнение

и пусть функция f(x,y) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Выберем произвольную точку Если существует окрестность этой точки, в которой функция f(x,y)

1) непрерывна по совокупности аргументов;

2) имеет ограниченную частную производную то найдется интервал на котором существует, и притом единственная, функция являющаяся решением уравнения (1) и принимающая при X = Xo значение Yо (рис. 1)

Геометрически это означает, что через точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1).

Теорема 1 имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения уравнения (1) лишь в достаточно малой окрестности точки х0. Из теоремы 1 вытекает, что уравнение (1) имеет бесконечное множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку (Xo, Yо); другое решение, когда график проходит через точку (Xо, Y1 ) и т. д.).

Пример:

у’ = х + у

f(x,y) = x + у

определена и непрерывна во всех точках плоскости хОу и имеет всюду В силу теоремы 1 через каждую точку (Xо, Yо) плоскости хОу проходит единственная интегральная кривая этого уравнения.

Пример:

определена и непрерывна на всей плоскости хОу. Здесь

так что второе условие теоремы 1 нарушается в точках оси Ох. Нетрудно проверить, что функция

где С — любая постоянная, является решением данного уравнения. Кроме того, уравнение имеет очевидное решение

Если искать решения этого уравнения, соответствующие условию у(0) = 0, то таких решений найдется бесчисленное множество, а частности, следующие (рис. 2):

Таким образом, через каждую точку оси Ох проходят по крайней мере две интегральные кривые и, следовательно, в точках Этой оси нарушается единственность.

Если взять точку М1 (1,1), то в достаточно малой ее окрестности выполнены все условия теоремы 1. Следовательно, через данную точку в малом квадрате проходит единственная интегральная кривая

уравнения Если квадрат взять достаточно большим (подумайте, каким), то в нем единственность решения уже не будет иметь места. Это подтверждает локальный характер теоремы 1.

Теорема 1 дает достаточные условия существования единственного решения уравнения у’ = f(x,y). Это означает, что может существовать единственное решение у = у(х) уравнения у’ = f(x, у), удовлетворяющее условию хотя в точке (Xo, Yо) не выполняются условия 1) или 2) теоремы или оба вместе.

Пример:

В точках оси Ох функции разрывны, причем

Но через каждую точку (Хо, 0) оси Ох проходит единственная интегральная кривая

Замечание:

Если отказаться от ограниченности то получается следующая теорема существования решения.

Теорема:

Если функция f(x, у) непрерывна в некоторой окрестности точки (х0, уо), то уравнение у’ = f(x, у) имеет в этой окрестности по крайней мере одно решение принимающее при х = х0 значение у0.

Задача:

Найти интегральную кривую уравнения

проходящую через точку О (0,0).

Задача:

Найти решение задачи Коши

Определение:

Общим решением дифференциального уравнения

в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши называется однопараметрическое семейство S функций зависящих от переменной х и одной произвольной постоянной С (параметра), такое, что

1) при любом допустимом значении постоянной С функция является решением уравнения (1):

2) каково бы ни было начальное условие можно подобрать такое значение С0 постоянной С, что решение будет удовлетворять начальному условию

При этом предполагается, что точка (Хо, Уо) принадлежит области существования и единственности решения задачи Коши.

Пример:

Показать, что общим решением дифференциального уравнения

у’ = 1

у = х + С,

где С — произвольная постоянная.

В данном случае f(x, у) = 1, и условия теоремы 1 выполняются всюду. Следовательно, через каждую точку (Хо, Уо) плоскости хОу проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Проверим, что функция

у = х + С

удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в определении общего решения. Действительно, при любом С имеем

у’ = (х + С)’ = 1,

так что у = х + С есть решение данного уравнения. Потребовав, чтобы при Х = Хо решение принимало значение Уо, приходим к соотношению Уо = Хо + Со. откуда

Решение у = х + Уо — Хо, или

удовлетворяет поставленному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, получаемое из общего при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной С (включая ). Таким образом, общее решение этого дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.

В процессе интегрирования дифференциального уравнения мы часто приходим к уравнению

неявно задающему общее решение уравнения. Уравнение (2) называют общим интегралом дифференциального уравнения (1).

где — некоторое конкретное значение постоянной С, называется частным интегралом.

Замечание:

Название происходит от того, что для простейшего дифференциального уравнения вида

его общее решение действительно записывается при помощи обычного неопределенного интеграла

Пример:

Общий интеграл уравнения

имеет следующий вид

В дальнейшем для краткости мы будем иногда говорить, что решение уравнения проходит через некоторую точку если точка лежит на графике этого решения.

Определение:

дифференциального уравнения (1) называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение уравнения (1), не совпадающее с в сколь угодно малой окрестности точки .

График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения. Геометрически это — огибающая семейства интегральных кривых дифференциального уравнения, определяемых его общим интегралом.

Если для дифференциального уравнения (1) в некоторой области D на плоскости хОу выполнены условия теоремы 1, то через каждую точку проходит единственная интегральная кривая уравнения. Эта кривая входит в однопараметрическое семейство кривых

образующих общий интеграл уравнения (1), и получается из этого семейства при конкретном значении параметра С, т.е. является частным интегралом уравнения (1). Никаких других решений, проходящих через точку , здесь быть не может. Следовательно, для существования особого решения у уравнения (1) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы 1. В частности, если правая часть уравнения (1) непрерывна в рассматриваемой области D, то особые решения могут проходить только через те точки, где производная становится бесконечной.

Напомним, что огибающей семейства кривых называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из этого семейства.

Например, для уравнения

функция непрерывна всюду, но производная обращается в бесконечность при у = 0, т. е. на оси Ох плоскости хОу. Уравнение (3) имеет общее решение

— семейство кубических парабол — и очевидное решение

проходящее через те точки, где производная не ограничена. Решение — особое, так как через каждую его точку проходит и кубическая парабола, и сама эта прямая у = 0 (см. рис. 2). Таким образом, в каждой точке решения нарушается свойство единственности. Особое решение не получается из решения ни при каком числовом значении параметра С (включая ).

Из теоремы 1 можно вывести только необходимые условия для особого решения. Множество тех точек, где производная не ограничена, если оно является кривой, может и не быть особым решением уже потому, что эта кривая, вообще говоря, не является интегральной кривой уравнения (1). Если, например, вместо уравнения (3) взять уравнение

то в точках прямой у = 0 по-прежнему нарушается условие ограниченности производной , но эта прямая, очевидно, не является интегральной кривой уравнения (4).

Итак, чтобы найти особые решения уравнения (1), надо

1) найти множество точек, где производная обращается в бесконечность;

2) если это множество точек образует одну или несколько кривых, проверить, являются ли они интегральными кривыми уравнения (1);

3) если это интегральные кривые, проверить, нарушается ли в каждой их точке свойство единственности.

При выполнении всех этих условий найденная кривая представляет собой особое решение уравнения (1).

Задача:

Найти особые решения уравнения

Приближенные методы интегрирования уравнения у’ = f(x, у)

Метод изоклин

Пусть имеем дифференциальное уравнение

где функция f(x, у) в некоторой области D на плоскости хОу удовлетворяет условиям теоремы 1. Это уравнение определяет в каждой точке (х, у) области D значение у’, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Говорят, что уравнение (1) определяет в области D поле направлений. Чтобы его построить, надо в каждой точке представить с помощью некоторого отрезка направление касательной к интегральной кривой в этой точке, определяемое значением

Совокупность этих отрезков дает геометрическую картину поля направлений. Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь сформулирована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке. Такое истолкование дифференциального уравнения и его интегрирования дает графический способ решения уравнения.

Для построения интегральных кривых пользуются изоклинами. Изоклиной называется множество всех точек плоскости хОу, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление (у’ = const).

Из этого определения следует, что семейство изоклин дифференциального уравнения (1) задается уравнением

где к — числовой параметр. Если придать параметру к близкие числовые значения, можно найти достаточно густую сеть изоклин и приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения.

Пример:

по способу изоклин.

Семейство изоклин данного уравнения определяется уравнением

Полагая к = 0, + 1, — 1,…, получаем изоклины

по которым строим интегральные кривые уравнения (рис. 4).

определяет множество возможных точек экстремума интегральных кривых (прямая x = 0 в примере 1).

Для большей точности построения интегральных кривых определяют направление вогнутости и точки перегиба этих кривых (если такие точки существуют). Для этого находят у» в силу уравнения (1):

Знак правой части определяет знак у», т. е. направление вогнутости интегральных кривых. Линия, заданная уравнением

есть множество всех возможных точек перегиба интегральных кривых.

В примере 1 имеем

поэтому все интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, и точек перегиба интегральных кривых нет.

Метод последовательных приближений

Пусть имеем дифференциальное уравнение

где функция f(x, у) в некоторой области D изменения х, у удовлетворяет условиям теоремы 1, и пусть точка . Решение задачи Коши

равносильно решению некоторого интегрального уравнения, т. е. уравнения, в которое неизвестная функция входит под знаком интеграла. В самом деле, пусть

— решение уравнения (2), заданное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальному условию (3). Тогда при имеет место тождество

Проинтегрируем это тождество по х

Отсюда учитывая (3), получаем

так что решение у(х) задачи Коши удовлетворяет интефальному уравнению

Обратно: если непрерывная функция удовлетворяет интегральному уравнению (4), то, как легко проверить, у(х) является решением задачи Коши (2)-(3).

Решение интегрального уравнения (4) для всех х, достаточно близких к , может быть построено методом последовательных приближений по формуле

причем в качестве можно взять любую непрерывную на отрезке функцию, в частности,

Пример:

Методом последовательных приближений решить задачу Коши

Сводим данную задачу к интегральному уравнению

Выбирая за нулевое приближение функцию

Легко видеть, что функция есть решение задачи.

Численные методы решения задачи Коши Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные достаточно высокого порядка по всем аргументам, так что решение задачи Коши (1)-(2) существует, единственно и является функцией, дифференцируемой достаточное число раз.

Численное решение задачи (1)-(2) состоит в построении таблицы приближенных значений решения задачи в точках Чаще всего выбирают Точки Хк называют узлами сетки, а величину h > 0 — шагом сетки. Так как по определению производная есть предел разностного отношения то, заменяя производную этим отношением, вместо дифференциального уравнения (1) получим разностное уравнение (разностную схему Эйлера)

Отсюда последовательно находим значения учитывая, что — заданная величина.

В результате вместо решения у = у(х) мы находим функцию

дискретного аргумента (сеточную функцию), дающую приближенное решение задачи (1)-(2). Геометрически искомая интегральная кривая у = у(х), проходящая через точку заменяется ломаной Эйлера с вершинами в точках (см. рис. 5).

Метод Эйлера относится к группе одно-шаговых методов, в которых для вычисления точки требуется знание только предыдущей вычисленной точки Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение у = у(х) в окрестности узла по формуле Тейлора

Сравнение формул (4) и (5) показывает, что они совпадают до членов первого порядка по h включительно, а погрешность формулы (4) равна Поэтому говорят, что метод Эйлера имеет первый порядок.

Пример:

Методом Эйлера решить задачу Коши

на отрезке |0; 0,5] с шагом h = 0,1.

В данном случае Пользуясь формулой (4),

и т. д. Результаты вычислений сведем в таблицу

Замечание:

Если рассмотреть задачу Коши

на любом отрезке [0, a] с любым шагом h > 0, то получим так что в этом случае ломаная Эйлера «распрямляется» и совпадает с прямой у = х + 1 — точным решением поставленной задачи Коши.

Понятие о методе Рунге—Кутта

Метод Эйлера весьма прост, но имеет низкую точность. Точность решения можно повысить путем усложнения разностной схемы. Весьма распространенными на практике являются схемы Рунге—Кутта.

Пусть опять требуется решить задачу Коши (1)-(2). Будем строить таблицу приближенных значений решения у = у(х) уравнения (1) в точках (узлах сетки).

Рассмотрим схему равноотстоящих узлов шаг сетки. В методе Рунге—Кутта величины вычисляются по следующей схеме

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

В общем случае, даже зная, что решение уравнения существует, отыскать его довольно трудно. Однако существуют некоторые виды дифференциальных уравнений, методы получения решений которых особенно просты (при помощи интегралов от элементарных функций). Рассмотрим некоторые из них.

Уравнения с разделяющимися переменными

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Здесь f1(y), f2(x) — известные непрерывные функции своих аргументов.

Покажем, как найти решение этого уравнения. Пусть — первообразные функции соответственно. Равенство (1) равносильно тому, что дифференциалы этих функций должны совпадать

Отсюда следует, что

где С — произвольная постоянная.

Разрешая последнее уравнение (2) относительно у, получим функцию (может быть, и не одну)

которая обращает уравнение (1) в тождество и значит, является его решением.

— уравнение с разделенными переменными. Записав его в виде

и интегрируя обе части, найдем общий интеграл данного уравнения:

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от у, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как путем деления на оно приводится к уравнению с разделенными переменными

Пример:

Деля обе част уравнения на приведем его к виду

Интегрируя обе части полученного равенства, найдем

Заметим, что деление на может привести к потере решений, обращающих в нуль произведение .

Например, разделяя переменные в уравнении

а после интегрирования —

(здесь С может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но При делении на у потеряно решение

которое может быть включено в общее решение у = Сх, если постоянной С разрешить принимать значение С = 0.

Если считать переменные х и у равноправными, то уравнение

теряющее смысл при х = 0, надо дополнить уравнением

которое имеет очевидное решение х = 0.

В общем случае наряду с дифференциальным уравнением

следует рассматривать уравнение

используя уравнение (4′) там, где уравнение (4) не имеет смысла, а уравнение (4′) имеет смысл.

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение вида

где f(x) — непрерывная функция своего аргумента, a, b, с — постоянные числа, подстановкой z = ах + by + с преобразуется в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

После интегрирования получаем

Заменяя в последнем соотношении z на ах + by + с, найдем общий интеграл уравнения (5).

Пример:

Положим z = x + y, тогда

Интегрируя, находим или

Подставляя вместо z величину х + у, получаем общее решение данного уравнения

Пример:

Известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще не распавшегося вещества. Найти зависимость х от времени t, если в начальный момент имелось вещества.

Дифференциальное уравнение процесса

Здесь к > 0 — постоянная распада — предполагается известной, знак «-» указывает на уменьшение х при возрастании t. Разделяя переменные в уравнении (») и интегрируя, получаем

Учитывая начальное условие находим, что поэтому

Любой процесс (не только радиоактивный распад), при котором скорость распада пропорциональна количеству еще не прореагировавшего вещества, описывается уравнением (*). Уравнение

отличающееся лишь знаком правой части от уравнения (*), описывает лавинообразный процесс размножения, например «размножение» нейтронов в цепных ядерных реакциях или размножение бактерий в предположении, что скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий. Решение уравнения (»»»), удовлетворяющее условию имеет вид

и в отличие от решения уравнения (**) возрастает с возрастанием t. Уравнения (*) и (***) можно объединить в одно

которое дает простейшую математическую модель динамики популяций (совокупности особей того или иного вида растительных или животных Организмов). Пусть y(t) — число членов популяции в момент времени t. Если предположить, что скорость изменения популяции пропорциональна величине популяции, то мы приходим к уравнению (****). Положим k=m-n, где m — коэффициент относительной скорости рождаемости, a n — коэффициент относительной скорости умирания. Тогда к > 0 при m > n и k

при к

Уравнение динамики популяции в этой модели имеет вид

Это так называемое логистическое уравнение — фундаментальное уравнение в демографии и в математической теории экологии. Оно применяется в математической теории распространения слухов, болезней и других проблемах физиологии и социологии. Разделяя переменные в последнем уравнении, получаем

и выражая у через t, окончательно получаем

Считая, что найдем уравнение логистической кривой

При а > 0 и А > 0 получаем, что Логистическая кривая содержит два параметра А и а. Для их определения надо иметь два дополнительных значения y(t) при каких-то t1 и t2.

Уравнения, однородные относительно x и у

Функция f(x, у) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом допустимом t справедливо тождество

Например, для функции

так что — однородная функция относительно переменных x и у второго измерения.

так что есть однородная функция нулевого измерения. Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным относительно х и у, если функция f(x, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно переменных х и у.

Пусть имеем дифференциальное уравнение

однородное относительно переменных х и у. Положив в тождестве f(tx, ty) = f(x, у), получим

т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Обозначая видим, что однородное относительно переменных х и у дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

При произвольной непрерывной функции переменные не разделяются. Введем новую искомую функцию формулой Подставляя выражение в уравнение (6), получаем

Деля обе части последнего равенства на и интегрируя, находим

Заменяя здесь и на его значение получаем общий интеграл уравнения (6).

Пример:

Положим и уравнение преобразуется к виду

Интегрируя, найдем или

Пример:

Найти форму зеркала, собирающего пучок параллельно падающих на него лучей в одну точку.

Прежде всего, зеркало должно иметь форму поверхности вращения, так как только для поверхности вращения все нормали к поверхности проходят через ось вращения.

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы лучи были параллельны оси Ох и чтобы точкой, в которой собирались бы отраженные лучи, явилось бы начало координат. Найдем форму сечения зеркала плоскостью хОу. Пусть уравнение сечения есть (рис.6). В точке М (х,у) падения луча L на зеркало проведем касательную BN к сечению и обозначим ее угол с осью Ох через а. Пусть N — точка пересечения этой касательной с осью Ох. По закону отражения углы NMO и BML равны. Нетрудно видеть, что угол МОР равен 2а. Так как то во всякой точке кривой выполняется соотношение

— дифференциальное уравнение, определяющее требуемый ход луча. Разрешая это уравнение относительно производной, получаем два однородных уравнения:

Первое из них путем замены преобразуется к виду

Потенцируя последнее соотношение и заменяя и через после несложных преобразований имеем

Полученное уравнение в плоскости хОу определяет семейство парабол, симметричных относительно оси Ох. фокусы всех этих парабол совпадают с началом координат. Фиксируя С и вращая параболу вокруг оси Ох, получаем параболоид вращения

Таким образом, зеркало в виде параболоида вращения решает поставленную задачу. Это свойство используется в прожекторах.

Замечание:

то уравнение (6) имеет вид

и интегрируется разделением переменных. Его общее решение

Если и обращается в нуль при значении то существует также решение или

(прямая, проходящая через начало координат).

Рассмотрим уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнение

где — постоянные числа, при является однородным. Пусть теперь по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Здесь следует различать два случая.

1. Определитель отличен от нуля. Введем новые переменные по формулам

где h и k — пока не определенные постоянные. Тогда Уравнение (7) преобразуется при этом в уравнение

Если выбрать h и k как решения системы линейных алгебраических уравнений

то получим однородное относительно уравнение

Заменяя в его общем интеграле найдем общий интеграл уравнения (7).

2. Определитель равен нулю. Система (8) в общем случае не имеет решения и изложенный выше метод неприменим. Но в этом случае т. е. уравнение (7) имеет вид

и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. Аналогичными приемами интегрируется уравнение

где f(w) — непрерывная функция своего аргумента.

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. В общем случае оно имеет вид

где коэффициенты уравнения А(х) и В(х) и его правая часть f(x) считаются известными функциями, заданными на некотором интервале

Если то это уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Считая и деля обе части уравнения (9) на А(х), приведем (9) к виду

Теорема:

Если функции р(х) и q(x) непрерывны на отрезке то уравнение (10) всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию точка принадлежит полосе

Разрешая уравнение (10) относительно у’, приведем его к виду

где правая часть

удовлетворяет всем условиям теоремы 1: она непрерывна по совокупности переменных х и у и имеет ограниченную частную производную

в указанной полосе. Отсюда следует справедливость утверждения.

Линейное однородное уравнение, соответствующее уравнению (10), имеет вид

Оно интегрируется разделением переменных:

При делении на у потеряно решение однако оно может быть включено в найденное семейство решений (12), если считать, что С может принимать значение, равное нулю. Формула (12) дает общее решение уравнения (11) в указанной выше полосе

Для интегрирования неоднородного линейного уравнения

может быть применен так называемый метод вариации постоянной. Он основан на том, что общее решение уравнения (10) равно сумме общего решения уравнения (11) и какого-либо частного решения уравнения (10)

Подставляя в левую часть (11) вместо у сумму получим

С другой стороны, разность двух частных решений уравнения (10) является решением однородного уравнения (11)

Поэтому сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение

общее решение которого имеет вид

где С — произвольная постоянная. Решение неоднородного уравнения (10) ищем в виде

где С(х) — новая неизвестная функция.

Вычисляя производную и подставляя значения и у в исходное уравнение (10), получаем

где С — новая произвольная постоянная интегрирования. Следовательно,

Это есть общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (10).

В формуле (14) общего решения неопределенные интегралы можно заменить определенными интегралами с переменным верхним пределом:

Здесь поэтому общее решение уравнения (10) можно записать в виде

где роль произвольной постоянной играет начальное значение искомой функции у(х).

Формула (15) является общим решением уравнения (10) в форме Коши. Отсюда следует, что если р(х) и q(х) определены и непрерывны в интервале то и решение у(х) уравнения (10) с любыми начальными данными будет непрерывным и даже непрерывно дифференцируемым при всех конечных значениях х, так что интегральная кривая, проходящая через любую точку будет гладкой кривой в интервале

Пример:

соответствующее данному, проинтегрируем, разделяя переменные:

Решение исходного уравнения будем искать в виде

где С(х) — неизвестная функция. Находя и подставляя и у в (*), последовательно получаем:

где С — постоянная интегрирования. Из формулы (**) находим общее решение уравнения (*)

Частное решение неоднородного уравнения (*) легко усматривается. Вообще, если удается «угадать» частное решение линейного неоднородного уравнения, то разыскание его общего решения значительно упрощается.

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее изменение силы тока при замыкании цепи постоянного электрического тока.

Если R — сопротивление цепи, Е — внешняя ЭДС, то сила тока I = I(t) постепенно возрастает от значения, равного нулю, до конечного стационарного значения

Пусть L — коэффициент самоиндукции цепи, роль которой такова, что при всяком изменении силы тока в цепи появляется электродвижущая сила, равная и направленная противоположно внешней ЭДС. На основании закона Ома, по которому в каждый момент t произведение силы тока на сопротивление равно фактически действующей ЭДС, получаем

Уравнение (*) есть линейное неоднородное уравнение относительно I(t). Нетрудно видеть, что его частным решением является функция

Общее решение соответствующего однородного уравнения

откуда общее решение неоднородного уравнения (*):

При t = 0 имеем I(0) = 0, поэтому так что окончательно

Отсюда видно, что сила тока при включении асимптотически приближается при к своему стационарному значению

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

может быть проинтегрировано также следующим приемом. Будем искать решение у(х) уравнения (10) в виде

где — неизвестные функции, одна из которых, например v(x), может быть выбрана произвольно. Подставляя у(х) в форме (16) в уравнение (10), после элементарных преобразований получим

Выберем в качестве v(x) любое частное решение уравнения

Тогда в силу (17) для u(х) получим уравнение

которое без труда интегрируется в квадратурах. Зная , найдем решение у(х) уравнения (10).

Пример:

Найти общее решение уравнения

Будем искать решение у(х) данного линейного неоднородного уравнения в виде

Подставляя в исходное уравнение, получим

Определим функцию v(x) как решение уравнения

Разделяя переменные, найдем

Выберем любое частное решение, например, отвечающее С = 1. Тогда из (17′) получим

откуда

Для общего решения исходного уравнения получаем выражение

Преимущество метода вариации постоянной заключается в том, что он переносится на линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка.

Уравнение Бернулли

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К числу таких уравнений относится уравнение Бернулли

Уравнение это предложено Я. Бернулли в 1695 г., метод решения опубликовал И. Бернулли в 1697 г.

При а = 1 получаем однородное линейное уравнение

При а = 0 — неоднородное линейное уравнение

Поэтому будем предполагать, что (для а нецелого считаем, что у > 0).

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению относительно функции z(x).

Однако уравнение Бернулли можно проинтегрировать сразу методом вариации постоянной. Это делается так. Сначала интегрируем уравнение

Его общее решение

Решение уравнения Бернулли будем искать в виде

где С(х) — новая неизвестная функция. Подставляя это выражение для у(х) в уравнение Бернулли, получаем

— уравнение с разделяющимися переменными относительно С(х). Интегрируя это уравнение,находим

где С — постоянная интегрирования. Тогда из формулы (*) получаем общий интеграл уравнения Бернулли

Замечание:

При а > 0 уравнение Бернулли имеет очевидное решение

Для интегрирования уравнения Бернулли

можно также воспользоваться подстановкой

где в качестве v(x) берется любое нетривиальное решение уравнения

а функция u(х) определяется как решение уравнения

Пример:

Найти решение уравнения Бернулли

Ищем решение у(х) уравнения в виде

Подставляя в исходное уравнение, получим

Выберем в качестве v(x) какое-нибудь ненулевое решение уравнения

и проинтегрируем его,

Поскольку нас интересует какое угодно частное решение, положим С = 1, т.е. возьмем Тогда для и(х) получим уравнение

интегрируя которое, найдем

Общее решение у(х) исходного уравнения определится формулой

Уравнения в полных дифференциалах

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(х, у) двух независимых переменных х и у, т. е.

В этом случае u(х, у) = С будет общим интегралом дифференциального уравнения (18).

Будем предполагать, что функции М(х, у) и N(x, у) имеют непрерывные частные производные соответственно по у и по x в некоторой односвязной области D на плоскости хОу.

Теорема:

Для того чтобы левая часть М(х, у) dx + N(x, у) dy уравнения (18) была полным дифференциалом некоторой функции и(х, у) двух независимых переменных х и у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

Необходимость:

Предположим, что левая часть уравнения (18) есть полный дифференциал некоторой функции u(х, у), т. е.

тогда Дифференцируем первое соотношение по у, а второе по х:

Отсюда, в силу равенства смешанных производных, вытекает тождество

Необходимость (19) доказана.

Достаточность:

Покажем, что условие (19) является и достаточным, а именно, предполагая его выполненным, найдем функцию u(х, у) такую, что du = M(x, у) dx + N(x, у) dy, или, что то же,

Найдем сначала функцию u(х, у), удовлетворяющую первому условию (20). Интегрируя это равенство по х (считаем у постоянной), получаем

где — произвольная функция от у.

Подберем так, чтобы частная производная по у от функции и, определяемой формулой (21), была равна N(x,y). Такой выбор функции при условии (19) всегда возможен. В самом деле, из (21) имеем

Приравняв правую часть полученного равенства к N(x, у), найдем

Левая часть последнего равенства не зависит от x. Убедимся в том, что при условии (20) в его правую часть также не входит х. Для этого покажем, что частная производная по x от правой части (22) тождественно равна нулю. Имеем

Теперь, интегрируя равенство (22) по у, получим, что

где С — постоянная интегрирования. Подставляя найденное значение для в формулу (21), получим искомую функцию

полный дифференциал которой, как нетрудно проверить, равен

Приведенный прием построения функции u(х, у) составляет метод интегрирования уравнения (18), левая часть которого есть полный дифференциал.

Пример:

Проверить, что уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, и проинтегрировать его.

В данном случае

Следовательно, уравнение (*) есть уравнение в полных дифференциалах. Теперь находим и (см. (21)):

Находя от функции и из (**) и приравнивая функции получаем

откуда и, следовательно,

Подставив найденное выражение для i в (**), найдем

— общий интеграл исходного уравнения.

Иногда можно найти такую функцию что

будет полным дифференциалом, хотя М dx + N dy может им и не быть. Такую функцию называют интегрирующим множителем. Можно показать, что для уравнения первого порядка

при определенных условиях на функции М(х, y) и N(x, у) интегрирующий множитель всегда существует, но отыскание его из условия

в общем случае сводится к интегрированию уравнения в частных производных, что составляет, как правило, задачу еще более трудную.

Задача:

Найти интегрирующий множитель для линейного дифференциального уравнения

Указание. Искать множитель в виде

Уравнение Риккати

где q(x), р(х), г(х) — известные функции, называется уравнением Риккати. Если р, q, г — постоянные, то оно интегрируется разделением переменных:

В случае, когда уравнение (1) оказывается линейным, в случае — уравнением Бернулли. В общем случае уравнение (1) не интегрируется в квадратурах.

Укажем некоторые свойства уравнения Риккати.

Теорема:

Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то его общее решение может быть получено с помощью квадратур.

Пусть известно частное решение уравнения (1), тогда

Полагая новая искомая функция, в силу тождества (2) получаем

— уравнение Бернулли, которое интегрируется в квадратурах.

Пример:

Проинтегрировать уравнение Риккати

если известно его частное решение

для функции z(x) получаем

решением исходного уравнения будет функция

Частным случаем уравнения (1) является специальное уравнение Риккати:

где a, b, а — постоянные. При а = 0 имеем

и уравнение интегрируется разделением переменных.

При а = -2 получаем

Полагая — новая неизвестная функция, находим

Это уравнение однородное относительно х, z. Оно интегрируется в квадратурах.

Кроме а = 0 и а = -2 существует еще бесконечное множество других значений а, при которых уравнение Риккати (3) интегрируется в квадратурах. Они задаются формулой

При всех других значениях а решение уравнения Риккати (3) не выражается в квадратурах.

Замечание. Если же положить в уравнении (3)

где u = u(x) — новая неизвестная функция, то придем к уравнению второго порядка

решение которого может быть выражено в функциях Бесселя.

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Рассмотрим теперь общий случай уравнения первого порядка

не разрешенного относительно производной.

Уравнения, относящиеся к этому классу, весьма разнообразны, и поэтому в общем случае становится невозможным делать выводы о существовании и единственности решения, даже накладывая достаточно сильные ограничения на участвующие в уравнении функции (ограниченность, гладкость, монотонность и т. п.). Например, уравнение

вообще не имеет действительных решений. Для уравнения

решения суть прямые так что через каждую точку плоскости хОу проходят две взаимно перпендикулярные интегральные линии. Поле интегральных кривых уравнения получается наложением полей уравнений Если уравнение

удается разрешить относительно производной у’, то получаются уравнения вида

которые иногда могут быть проинтегрированы изложенными выше методами.

Введем понятие общего решения (интеграла) для уравнения (1). Допустим, что это уравнение в окрестности точки может быть разрешено относительно производной, т. е. распадается на уравнения

и пусть каждое из этих уравнений имеет общее решение

или общий интеграл

Совокупность общих решений (2) (или общих интегралов (3)) будем называть общим решением (общим интегралом) уравнения (1). Так, уравнение

распадается на два:

Их общие решения у = х + С, у = -х + С в совокупности составляют общее решение исходного уравнения . Общий интеграл этого уравнения часто записывают в виде

Однако не всегда уравнение (1) легко разрешимо относительно у’ и еще реже полученные после этого уравнения интегрируются в квадратурах. Рассмотрим некоторые методы интегрирования уравнения (1).

Пусть уравнение (1) имеет вид

причем существует по крайней мере один действительный корень этого уравнения. Так как это уравнение не содержит — постоянная. Интегрируя уравнение получаем

Но является корнем уравнения; следовательно,

— интеграл рассматриваемого уравнения.

2. Пусть уравнение (1) имеет вид

Если это уравнение трудно разрешить относительно у’, то бывает целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (5) двумя:

Следовательно, искомые интегральные кривые определяются уравнениями в параметрической форме

Пример:

Полагаем,

и параметрические уравнения искомых интегральных кривых:

Если уравнение (5) легко разрешимо относительно у, то обычно за параметр берут у’. Действительно, если то, полагая у’ = р, получаем так что

Параметрические уравнения интефальных кривых:

Исключая параметр р, получаем общий интеграл

Пример:

Разрешим уравнение относительно у:

Положим у’ = р, тогда

Таким образом, находим параметрические уравнения интегральных кривых

Параметр р здесь легко исключить. В самом деле, из первого уравнения системы находим

Первую часть второго уравнения преобразуем следующим образом:

— общее решение данного дифференциального уравнения.

3. Пусть уравнение (1) имеет вид

Если это уравнение трудно разрешить относительно у’, то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (6) двумя:

Следовательно, интегральные кривые уравнения (6) определяются в параметрической форме уравнениями

Если уравнение (6) легко разрешимо относительно х:

то в качестве параметра удобно выбрать откуда

Пример:

Положим у’ = р. Тогда

В параметрической форме семейство интегральных кривых данного уравнения определяют уравнения

Уравнение Лагранжа

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение вида

линейное относительно х и у. Здесь — известные функции.

Введя параметр получаем

— соотношение, связывающее переменные х, у и параметр р. Чтобы получить второе соотношение, нужное для определения х и у как функций параметра р, продифференцируем (8) по х:

Уравнение (10) линейно относительно х и и, следовательно, легко интегрируется, например, методом вариации постоянной. Получив общее решение

уравнения (10) и присоединив к нему уравнение

получим параметрические уравнения искомых интегральных кривых.

При переходе от уравнения (9) к (10) пришлось делить на . При этом теряются решения, для которых р постоянно, а значит,

Считая р постоянным, замечаем, что уравнение (9) удовлетворяется лишь в том случае, если р является корнем уравнения

Итак, если уравнение имеет действительные корни то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еще добавить решения

— это прямые линии.

Уравнение Клеро

Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида

Полагая у’ = р, получаем

Дифференцируя по х, имеем

откуда или и, значит, р = С, или

В первом случае, исключая р, найдем семейство прямых

— общее решение уравнения Клеро. Оно находится без квадратур и представляет собой однопараметрическое семейство прямых. Во втором случае решение определяется уравнениями

Можно показать, что, как правило, интегральная кривая (12) является огибающей найденного семейства прямых.

Пример:

Решить уравнение Клеро

Общее решение данного уравнения видно сразу:

Другое (особое) решение определяется уравнениями

Исключая параметр р, находим

— огибающую прямых

Для уравнения вида

через некоторую точку вообще говоря, проходит не одна, а несколько интегральных кривых, так как, разрешая уравнение относительно у’, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений

и если каждое из уравнений в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения, то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию

Поэтому свойство единственности решения уравнения , удовлетворяющего условию обычно понимается в том смысле, что через данную точку по данному направлению проходит не более одной интегральной кривой уравнения .

Например, для решений уравнения

свойство единственности в этом смысле всюду выполнено, поскольку через каждую точку плоскости хОу проходят две интегральные кривые, но по различным направлениям. Для уравнения Клеро

(см. пример 4) через точку (0,0) проходят также две интегральные линии: прямая

входящая в общее решение этого уравнения, и парабола

причем эти линии имеют в точке (0,0) одно и то же направление:

Таким образом, в точке (0,0) свойство единственности нарушается.

Теорема:

Пусть имеем уравнение

и пусть в некоторой окрестности точки — один из действительных корней уравнения

функция удовлетворяет условиям:

1) непрерывна по всем аргументам;

2) производная существует и отлична от нуля;

3) существует ограниченная производная

Тогда найдется отрезок на котором существует единственное решение у = у(х) уравнения удовлетворяющее условию для которого

Геометрические вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями 1-го порядка. Ортогональные траектории

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка определяет семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра С.

Поставим теперь в некотором смысле обратную задачу: дано однопараметрическое семейство кривых

и требуется составить дифференциальное уравнение, для которого будет общим решением.

Итак, пусть дано соотношение

где С — параметр. Дифференцируя (1) по х, получим

Если правая часть (2) уже не содержит С, то формула (2) будет представлять дифференциальное уравнение семейства кривых (1). Например, если будет дифференциальным уравнением семейства прямых у = х + С.

Пусть теперь правая часть (2) содержит С. Разрешая соотношение (1) относительно С, определим С как функцию х и у:

Подставляя это выражение для С в формулу (2), получим дифференциальное уравнение 1-го порядка

Нетрудно убедиться в том, что представляет собой общее решение уравнения (4).

Если соотношение между величинами х, у и С задано в виде

то, дифференцируя его по х, получим

Исключая С из соотношений (5) и (6), приходим к уравнению

Можно показать, что (5) является общим интегралом уравнения (7).

Ортогональные траектории

В ряде прикладных вопросов встречается следующая задача. Дано семейство кривых

Требуется найти такое семейство

чтобы каждая кривая семейства Ф(х, у, С) = 0, проходящая через точку (х, у), пересекалась в этой точке кривой семейства под прямым углом, т. е. чтобы касательные к кривым семейства в точке (х, у) были ортогональны (рис.8). Семейство называется семейством ортогональных траекторий к (и наоборот). Если, например, кривые семейства Ф = 0 — силовые линии некоторого силового поля, то ортогональные траектории — эквипотенциальные линии.

Аналитически это означает следующее. Если

есть дифференциальное уравнение семейства

то дифференциальное уравнение траекторий, ортогональных к семейству Ф = 0, имеет вид

(угловые коэффициенты касательных к кривым семейств в каждой точке должны быть связаны условием ортогональности

Таким образом, чтобы найти ортогональные траектории к семейству 0, надо составить дифференциальное уравнение этого семейства и заменить в нем Интегрируя полученное таким образом уравнение, найдем семейство ортогональных траекторий.

Пример:

Найти ортогональные траектории семейства

окружностей с центром в начале координат.

Составляем дифференциальное уравнение семейства (8). Дифференцируя (8) по х, получим

Это дифференциальное уравнение данного семейства. Заменив в нем найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий:

Интегрируя последнее уравнение, получаем, что искомыми ортогональными траекториями будут полупрямые (рис. 9)

Дополнение к дифференциальным уравнениям первого порядка

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📸 Видео