Как найти эксцентриситет эллипса по уравнению онлайн

Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.

Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.

А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.

Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Видео:Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Эллипс

Видео:166. Найти каноническое уравнение эллипса.Скачать

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac<x^><a^>+frac<y^><b^>=1label
$$
при условии (a geq b > 0).

Из уравнения eqref следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_), (M_) и (M_) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^+y^=a^). При каждом (x) таком, что (|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки (F_) и (F_) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что (varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_=|F_M|=a-varepsilon x, r_=|F_M|=a+varepsilon x.label
$$

Очевидно, что (r_^=(x-c)^+y^). Подставим сюда выражение для (y^), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_^=x^-2cx+c^+b^-frac<b^x^><a^>.nonumber
$$

Учитывая равенство eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_^=a^-2cx+frac<c^x^><a^>=(a-varepsilon x)^.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).

Необходимость. Если мы сложим равенства eqref почленно, то увидим, что
$$
r_+r_=2a.label
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref, то есть
$$
sqrt<(x-c)^+y^>=2a-sqrt<(x+c)^+y^>.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^=asqrt<(x+c)^+y^>.label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref. Мы придем к (b^x^+a^y^=a^b^), равносильному уравнению эллипса eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).

Видео:Эллипсы. ТемаСкачать

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_(x_, y_)) — точка на эллипсе и (y_ neq 0). Через (M_) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_ > 0) это график (f_(x)=bsqrt<1-x^/a^>), для (y_ Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке (M_(x_, y_)) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.

🎦 Видео

11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Разбор задания из теста по ангему | Уравнение эллипса | Уравнение касательной к эллипсуСкачать