Как найти число корней уравнения на промежутке

Видео:Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать

Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Решение тригонометрических уравнений на промежутке

Разделы: Математика

Цель урока:

а) закрепить умения решать простейшие тригонометрические уравнения;

б) научить выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

а)Проверка домашнего задания: классу дано опережающее домашнее задание – решить уравнение и найти способ выбора корней из данного промежутка.

1)cos x = -0,5, где хI [- Как найти число корней уравнения на промежутке]. Ответ: Как найти число корней уравнения на промежутке.

2) sin x = Как найти число корней уравнения на промежутке, где хI [0;2?]. Ответ: Как найти число корней уравнения на промежутке; Как найти число корней уравнения на промежутке.

3)cos 2x = —Как найти число корней уравнения на промежутке, где хI [0;Как найти число корней уравнения на промежутке]. Ответ:Как найти число корней уравнения на промежутке

Ученики записывают решение на доске кто-то с помощью графика, кто-то методом подбора.

В это время класс работает устно.

Найдите значение выражения:

а) tg Как найти число корней уравнения на промежутке– sin Как найти число корней уравнения на промежутке+ cos Как найти число корней уравнения на промежутке+ sin Как найти число корней уравнения на промежутке. Ответ: 1.

б) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Ответ: ?

в) arcsin Как найти число корней уравнения на промежутке+ arcsin Как найти число корней уравнения на промежутке. Ответ: Как найти число корней уравнения на промежутке.

г) 5 arctg (-Как найти число корней уравнения на промежутке) – arccos (-Как найти число корней уравнения на промежутке). Ответ:– Как найти число корней уравнения на промежутке.

– Проверим домашнее задание, откройте свои тетради с домашними работами.

Некоторые из вас нашли решение методом подбора, а некоторые с помощью графика.

2. Вывод о способах решения данных заданий и постановка проблемы, т. е. сообщение темы и цели урока.

– а) С помощью подбора решать сложно, если задан большой промежуток.

– б) Графический способ не даёт точных результатов, требует проверку, и занимает много времени.

– Поэтому должен быть ещё как минимум один способ, наиболее универсальный -попробуем его найти. Итак, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Учиться выбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке.)

– Пример 1. (Ученик выходит к доске)

cos x = -0,5, где хI [- Как найти число корней уравнения на промежутке].

Вопрос: Отчего зависит ответ на данное задание? (От общего решения уравнения. Запишем решение в общем виде). Решение записывается на доске

х =Как найти число корней уравнения на промежутке Как найти число корней уравнения на промежутке+ 2?k, где k Как найти число корней уравнения на промежуткеR.

– Запишем это решение в виде совокупности:

Как найти число корней уравнения на промежутке

– Как вы считаете, при какой записи решения удобно выбирать корни на промежутке? (из второй записи). Но это ведь опять способ подбора. Что нам необходимо знать, чтобы получить верный ответ? (Надо знать значения k).

(Составим математическую модель для нахождения k).

1 уровень: № 295 (а,б), № 317 (а,б)

2 уровень: № 307 (в), № 308 (б), № 326(б), № 327(б).

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Как найти число корней уравнения на промежутке

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Как найти число корней уравнения на промежутке

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Как найти число корней уравнения на промежутке

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Как найти число корней уравнения на промежутке

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Как найти число корней уравнения на промежутке

Примеры решения задач

Как найти число корней уравнения на промежутке

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

Как найти число корней уравнения на промежутке

Как найти число корней уравнения на промежутке

Как найти число корней уравнения на промежутке

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Как найти число корней уравнения на промежутке

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке Как найти число корней уравнения на промежуткефункция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

Как найти число корней уравнения на промежутке

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

Как найти число корней уравнения на промежутке

Как найти число корней уравнения на промежутке

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Как найти число корней уравнения на промежутке

Примеры решения задач

Как найти число корней уравнения на промежутке

Как найти число корней уравнения на промежутке

Как найти число корней уравнения на промежутке

Как найти число корней уравнения на промежутке

Вопросы для контроля

  1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
  2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
  3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
  4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Как найти число корней уравнения на промежутке

Как найти число корней уравнения на промежутке

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

🔥 Видео

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профиль

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Отбор корней на промежуткеСкачать

Отбор корней на промежутке

Выборка с помощью окружностиСкачать

Выборка с помощью окружности

Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежуткуСкачать

Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежутку

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

Отбор корней тригонометрического уравнения с помощью неравенства: пример 1Скачать

Отбор корней тригонометрического уравнения с помощью неравенства: пример 1

Находим решение тригонометрического уравнения на интервале Алгебра 10 классСкачать

Находим решение тригонометрического уравнения на интервале Алгебра 10 класс

Определить число корней уравнения. Determine the number of roots of the equation.Скачать

Определить число корней уравнения. Determine the number of roots of the equation.

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметра

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Тригонометрия 8. Отбор корнейСкачать

Тригонометрия 8. Отбор корней

Как вычислить любой неизвлекаемый кореньСкачать

Как вычислить любой неизвлекаемый корень

Числовые Промежутки — Алгебра 8 класс / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Числовые Промежутки — Алгебра 8 класс / Подготовка к ЕГЭ по Математике

Отбор корней тригонометрического уравненияСкачать

Отбор корней тригонометрического уравнения

Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежуткуСкачать

Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежутку
Поделиться или сохранить к себе: