- Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Калажоков Хасан Хажмурзович, Калажоков Анзор Хасанович
- Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Калажоков Хасан Хажмурзович, Калажоков Анзор Хасанович
- Текст научной работы на тему «Некоторые приемы вычисления границ корней алгебраических уравнений»
- Верхняя и нижняя граница корней полинома
- Алгебраические уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения
- Делимость многочлена
- Общий вид алгебраического уравнения
- Некоторые свойства алгебраического уравнения
- Методы решения целых алгебраических уравнений
- Разложение на множители
- Подбор корня с последующим понижением степени уравнения
- Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами
- Метод неопределённых коэффициентов
- Метод умножения на функцию
- Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решения
- Алгебраические уравнения и их геометрическое истолкование
- Уравнение с одной буквой (неизвестным)
- Уравнение с двумя буквами (переменными)
- Линейное уравнение с двумя переменными
- Нелинейные уравнения с двумя переменными
- Алгебраические уравнения и алгоритм их решения
- Общая теория уравнений
- Область допустимых значений
- Уравнения
- Совокупности уравнений
- Преобразования уравнений
- Теоремы о равносильности уравнений
- Уравнения с одним неизвестным
- Метод разложения на множители
- Метод введения нового неизвестного
- Биквадратные уравнения
- Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней
- 📹 Видео
Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Калажоков Хасан Хажмурзович, Калажоков Анзор Хасанович
Предложены различные приемы вычисления границ корней произвольных алгебраических уравнений на основе использования некоторых вспомогательных (характеристических) алгебраических полиномов простой конструкции и построены некоторые классы вспомогательных уравнений, имеющих единственный положительный корень, отличный от единицы. Приведены примеры применения границ корней вспомогательных уравнений для вычисления границ корней произвольных алгебраических уравнений .
Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Калажоков Хасан Хажмурзович, Калажоков Анзор Хасанович
Видео:Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать
Текст научной работы на тему «Некоторые приемы вычисления границ корней алгебраических уравнений»
Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 5 (49) 2012
— МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ =
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРАНИЦ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Х.Х. КАЛАЖОКОВ1, А.Х. КАЛАЖОКОВ2
ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН 360000, КБР, г. Нальчик, ул. И. Арманд, 37-а E-mail: iipru@rambler.ru
ФГБОУ ВПО Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова 360004, КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: bsk@kbsu.ru
Предложены различные приемы вычисления границ корней произвольных алгебраических уравнений на основе использования некоторых вспомогательных (характеристических) алгебраических полиномов простой конструкции и построены некоторые классы вспомогательных уравнений, имеющих единственный положительный корень, отличный от единицы. Приведены примеры применения границ корней вспомогательных уравнений для вычисления границ корней произвольных алгебраических уравнений.
Ключевые слова: границы корней, алгебраические уравнения, характеристические полиномы, комплексная плоскость.
Решение алгебраических уравнений является одной из тех задач, которые наиболее часто встречаются в прикладных исследованиях. Самые различные проблемы механики, физики и техники сводятся к вопросу вычисления корней полиномов достаточно высоких степеней. Однако, согласно теореме Руффини-Абеля [1], алгебраические уравнения степени выше четвертой в общем случае неразрешимы в радикалах. В связи с этим возникает задача приближенного решения заданного уравнения с любой, наперед заданной точностью. Решение этой задачи распадается на следующие два этапа:
1. Отделение корня — выделение отрезка, принадлежащего области определения полинома f (x) , на котором расположен один и только один корень рассматриваемого уравнения f (x ) = 0. Границы этого отрезка можно рассматривать как первое приближение
искомого значения корня.
2. Построение процесса, позволяющего как угодно сузить границы выделенного отрезка, т.е. позволяющего найти приближенное значение корня уравнения с любой заданной точностью.
С вопросом отделения уравнения связаны многочисленные исследования, имевшие целью научиться делать те или иные высказывания о корнях многочлена с числовыми коэффициентами, не зная этих корней. Для полиномов с действительными коэффициентами разрабатывались методы определения числа их действительных корней, разыскивались границы, между которыми эти корни могут находиться 4.
Улучшение некоторых классических приемов вычисления границ действительных корней многочленов [2, 3] дается в работах [6, 10-14, 18].
Изучался также вопрос о расположении корней на комплексной плоскости. Получены условия, при которых все корни лежат внутри единичного круга, т.е. по модулю меньше
единицы, или условия того, что все корни лежат в левой полуплоскости, т.е. имеют отрицательные действительные части 2. В последние годы выполнено несколько работ по теории распределения корней алгебраических полиномов 9, обзор которых содержится в [11]. В настоящем исследовании, которое является дальнейшим развитием и обобщением работ 9, рассматривается несколько приемов вычисления границ корней алгебраических уравнений.
2. Общая постановка задачи
Пусть Рп (г) = £ акгп к — произвольный алгебраический полином степени п > 2 с ком-
плексными коэффициентами ак, у которого а0 Ф 0 и ап Ф 0 . Пусть далее имеем полином
к , который назовем вспомогательным (характеристическим) для алгебраи-
ческих полиномов Рп (г), имеющий единственный простой положительный корень, отличный от единицы.
Относительно полиномов Рп (г) и Qn (г) ставится следующая задача: найти границы корней алгебраического полинома Рп (г) , используя единственный положительный корень вспомогательного полинома Qn (2).
3. Вычисление границ корней алгебраических полиномов методом Зморовича Пусть
Р (г) = £ акгк (а Ф 0, ап Ф 0)
— произвольный алгебраический полином степени п > 2 с вещественными или комплексными коэффициентами ак , обозначим
Теорема Зморовича. Корни полинома (3.1) лежат в круговом кольце [10]:
X 5, 2 2П 2 2п 2П
которые в восемь раз уже границ [12]. Используя различные приближения корня X, можно получать некоторые известные оценки 9 для корней полинома (2.1) как частные случаи результата В. А. Зморовича [11].
Возникает вопрос об улучшении метода В.А. Зморовича. Для этого естественно использовать в качестве вспомогательного полином, отражающий специфические особенности исходного многочлена (2.1). Это можно сделать в какой-то степени с помощью следующих теорем.
4. Некоторые теоремы о границах корней алгебраических полиномов Пусть имеем п положительных чисел Р1 > 0,Р2 > 0. Рп>0 > 0 . Составим вспомогательный полином вида
а (г)=гп+ргп-1 + р2гп-2+. +Рп-1 г -рп. (4.1)
Лемма 1. Полином (4.1) имеет единственный положительный корень. Доказательство: Для доказательства этой леммы рассмотрим функцию
¥ (г) = гп + р гп-1 + Р2 гп-2 +. + Рп-1 г.
Очевидно, что функция ¥ (г) монотонно возрастает от 0 до +¥, когда г монотонно возрастает вдоль положительной оси от 0 до +¥ (ибо Р > 0 ). Следовательно, рассматриваемая функция ¥ (г) принимает значение Рп в одной и только одной точке X. Число X и
будет единственным положительным корнем полинома.
Замечание. Лемму можно было доказать непосредственно, применяя теорему Декарта (частный случай теоремы Бюдана-Фурье). Таким образом, имеем, что
X+ррхп—1 + РХп—:2+. +Рп—X = Рп,
где X — единственный положительный корень полинома
I п т-х I Iп 1 т-» I Iп—2 Т-» I I Т-» I I г
+ Р1″ + Р2 +. + Рп_ 1 = Рп при >£.
Теорема 1. Обобщение теоремы В. А. Зморовича. Пусть имеем полином
с вещественными или комплексными коэффициентами, у которого а0 Ф 0 и |ап| Ф 0 . Тогда все корни этого полинома лежат в кольце
Х Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Видео:Математика это не ИсламСкачать
Верхняя и нижняя граница корней полинома
Коэффициенты многочлена разделенные пробелами |
Заданный многочлен имеет вид |
Нижняя граница действительных корней многочлена |
Верхняя граница действительных корней многочлена |
Рассмотрим еще одну задачу связаннуюс полиномами. Когда мы пытаемся решить такое уравнение численно, то нам необходимо знать, в каких пределах могут находится действительные корни этого полинома. Эти знания позволят нам быстрее обеспечить сходимость при компьютерных вычислениях. Это позволит при прорисовке полинома в виде графика, выбрать такой масштаб, что бы мы увидели все пересечения функции с осью абсцисс. Итак, как же формулы мы будем использовать для решения задачи? Если нам известен полином вида То разделив его на a0 мы получаем Правило утверждает, что если среди коэффицентов есть отрицательные числа и -первое из них, и также есть отрицательный коэффицент A который является самым большим (в абсолютном значении), то действительные корни этого полинома не превышают число Нижнюю границу можно определить по аналогичной формуле, вычислив значения функции коэффицентов при -x Давайте рассмотрим пример Разделим на 3 , что бы первый член полинома был равен единице. Первый отрицательный коэффициент который мы встречаем это он стоит на второй позиции ( ) Значение А=9, так как 9 явлется максимальном в абсолютном выражении числом из всех отрицательных коэффициентов полинома. Таким образом верхняя граница действительных корней Теперь определяем нижнюю границу Разделим полином на -3, что бы первый член полинома был равен единице. Первый отрицательный коэффициент который мы встречаем это он стоит на первой позиции ( ) Таким образом нижняя граница действительных корней Следовательно, все действительные корни заданного многочлена находятся в пределах Бот позволяет выполнять эти вычисления автоматически и при заданных действительных коэффициентах давать правильные результаты. Единственное замечание, не стоит вводить в качестве коэффициентов комплексные числа. Результат будет непредсказуем. Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать Алгебраические уравнения в математике с примерами решения и образцами выполненияАлгебраическое уравнение — это уравнение вида. где. — многочлен от переменных. , которые называются неизвестными. Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать Делимость многочленаДелимость многочлена, целого относительно х, на разность x— а. Теорема Безу: Многочлен, целый относительно х: Доказательство: Из процесса деления многочлена, расположенного по убывающим степеням буквы х, видно, что деление такого многочлена на х — а можно продолжать до тех пор, пока высший член остатка R не будет содержать в себе буквы х. Пусть при этом частное будет некоторый многочлен Q. Тогда мы можем написать равенство: Равенство это есть тождество, т. е. оно верно при всевозможных значениях буквы х, а потому оно должно быть верно и при х-а. Но при x=а оно даёт Следствие: Так как x+α=x— (—а), то, применяя доказанную теорему к сумме х+а, найдём: при делении на сумму x+α даёт в остатке число, равное Примеры: 2) Многочлен x⁵—3x²+5x—1 при делении на x+2 даёт остаток Следствие: Для того чтобы многочлен Это необходимо, так как если указанный многочлен делится на x—а, то остаток от деления должен быть нуль, а этот остаток, по доказанному выше, есть то значение делимого, которое оно принимает при x=а. Это и достаточно, так как если многочлен обращается в нуль при x=a, то это значит, что остаток от деления этого многочлена на х—а равен нулю. Следствие: Для того чтобы многочлен Примеры: Делимость двучлена 2) Сумма одинаковых степеней двух чисел не делится на разность этих чисел, так как 3) Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится, а нечётных не делится на сумму этих чисел, так как при делении разности 4) Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится, а чётных не делится на сумму этих чисел, так как. при делении суммы Примеры: Частные, получаемые при делении Очевидно, что многочлен, получившийся в частном, содержит m членов; сумма показателей в каждом члене при а и х одна и та же, именно: m—1; показатели х идут, уменьшаясь на 1,от m—1 до 0, показатели же а идут, увеличиваясь на 1, от 0 до m—1; коэффициенты у всех членов равны 1; знаки все +; число членов в частном m. Заметив это, можем прямо писать: Чтобы получить частное от деления Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать Общий вид алгебраического уравненияМы ранее видели, что уравнение, содержащее неизвестное в знаменателях, может быть приведено к целому виду. Далее мы знаем, что уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, может быть приведено к рациональному виду. Вследствие этого можем сказать, что всякое уравнение, в котором неизвестное связано с данными числами посредством конечного числа шести алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в степень и извлечения корня), может быть приведено к такому целому и рациональному виду: Уравнение такого вида называется алгебраическим. Алгебраические уравнения степени выше второй называются уравнениями высших степеней. Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать Некоторые свойства алгебраического уравненияУравнения высших степеней составляют предмет высшей алгебры. Элементарная же рассматривает только некоторые частные виды этих уравнений. Высшая алгебра устанавливает следующую важную теорему: Допустив эту истину (доказательство которой в элементарной алгебре было бы затруднительно), нетрудно показать, что: Действительно, согласно теореме Гаусса, уравнение Продолжая эти рассуждения далее, дойдём, наконец, до того, что многочлен, заключённый в последних скобках, будет второй степени, причём первый его коэффициент останется А. Разложив этот трёхчлен на множители, приведём уравнение (1) к виду: Полезно заметить ещё следующие истины, доказываемые в высшей алгебре. Сумма корней всякого алгебраического уравнения Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то число этих корней — чётное (примером может служить биквадратное уравнение). Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет n корней вида p+qi, оно имеет ещё n корней вида p—qi (примером может служить биквадратное уравнение, комплексные корни которого всегда сопряжённые), и так как Алгебраическое уравнение нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет, по крайней мере, один вещественный корень. Уравнения с произвольными буквенными коэффициентами степени не выше четвёртой разрешены алгебраически, т. е. для корней этих уравнений найдены общие формулы, составленные из коэффициентов уравнения посредством алгебраических действий. В этом смысле уравнения с произвольными коэффициентами степени выше четвёртой не могут быть разрешены алгебраически (теорема Абеля); однако, если коэффициенты уравнения какой угодно степени выражены числами, всегда есть возможность вычислить с желаемой степенью приближения все его корни как вещественные, так и мнимые. Способы такого вычисления излагаются в высшей алгебре. Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать Методы решения целых алгебраических уравненийРазложение на множителиЧасть целых алгебраических уравнений Если разложение на множители удалось выполнить, то решение алгебраического уравнения сводится к решению совокупности нескольких уравнений, но более низкой степени. Неравенство после разложения на множители можно решать методом интервалов. Пример: Решить уравнение Решение: Из 1-го уравнения находим корни Пример: Найти все положительные корни уравнения Решение: Покажем, что второе уравнение в совокупности не имеет положительных решений. Действительно, рассмотрим функцию Ответ: Подбор корня с последующим понижением степени уравненияПри решении алгебраических уравнений и неравенств степени выше второй можно использовать общий принцип последовательного понижения степени уравнения (неравенства). Пусть требуется решить уравнение n -й степени где Пример: Решить уравнение Решение: Заметим, что x = 2 является корнем данного уравнения. Найдём другие корни этого уравнения: Решая уравнение Эта ссылка возможно вам будет полезна: Пример: Решить уравнение Решение: Легко заметить, проанализировав структуру уравнения, что числа x = 0 и x = -10 являются решениями данного уравнения. С другой стороны, ясно, что это квадратное уравнение, а поэтому может иметь не более двух корней. Так как два корня уравнения уже подобраны, то других корней нет. В некоторых случаях, для того чтобы не подбирать корень «вслепую», можно воспользоваться следующим методом. Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентамиДля решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени причём все коэффициенты Пример: При каких натуральных n уравнение Решение: Воспользуемся приведённым выше методом. Свободный член имеет два целочисленных делителя: ± 1, а старший коэффициент — два натуральных делителя: 1,2. Поэтому рациональные корни следует искать среди чисел Ответ: Метод неопределённых коэффициентовИногда для решения целых алгебраических уравнений (неравенств) с одной или несколькими неизвестными используют метод неопределённых коэффициентов. Пусть, например, решается уравнение Суть метода состоит в том, что многочлен когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то, приравнивая эти коэффициенты, получают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эту систему решают (или подбирают любое решение). Найденные таким способом коэффи-циенты Рассмотрим применение этого метода на примере решения кубического уравнения. Допустим, требуется решить уравнение Известно, что многочлен третьей степени всегда можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степеней. Таким образом, сразу для всех действительных значений переменной x должно выполняться равенство где числа а,b,c являются в данном случае искомыми неопределён-ными коэффициентами. Найдём их значения. После этого останется подставить их в правую часть (1) и, приравняв её к нулю, решить уравнение Чтобы найти коэффициенты а,b,c, раскроем скобки в правой части тождества (1) и приведём образовавшийся при этом многочлен к стандартному виду Многочлены третьей степени тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравнивая коэффициенты при решая которую (можно даже просто подобрать любое решение этой системы) находим коэффициенты. Пример: Решить уравнение Решение: Воспользуемся для решения методом неопределённых коэффициентов. Будем искать разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, в виде Раскрыв скобки, приведём многочлен в правой части к стандартному виду Приравнивая коэффициенты слева и справа при Найдя подбором решение Пример: При каких значениях а все корни уравнения Решение: Чтобы первое из уравнений имело корни, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицателен, т.е. Далее, второй многочлен в силу теоремы Безу должен делиться нацело на первый многочлен. Иными словами, должно найтись такое b , что при всех действительных x справедливо тождество Для нахождения неопределённых коэффициентов (в данном случае в их роли выступают а и b ) воспользуемся известным фактом, что два кубических многочлена, стоящие по разные стороны от знака равенства, тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений Метод умножения на функциюИногда, применяя приём умножения обеих частей уравнения (неравенства) на некоторую функцию, удаётся упростить уравнение (неравенство). Пример: Решить уравнение Решение: Заметим, что x = — 1 (и вообще никакое отрицательное число) не является корнем данного уравнения. Домножим обе части данного уравнения на выражение (х +1). Получаем уравнение-следствие множество решений которого состоит из всех решений исходного уравнения и числа x = -1. Это число является посторонним корнем, возникшем как раз в результате умножения уравнения на функцию, имеющую действительный нуль. Применяя известную формулу сокращенного умножения, получаем существенно более простое уравнение Ответ: уравнение не имеет решений. Рассмотрим некоторые виды целых алгебраических уравнений, решаемые в основном при помощи специально подобранных подстановок. Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решенияВведем понятия алгебраического и трансцендентного уравнения. Алгебраическое уравнение — уравнение, в котором переменная Примерами алгебраических уравнений могут служить уравнения вида: Уравнение, содержащее неизвестную переменную под знаком логарифма, тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций или в показателе степени некоторого числа, называется трансцендентным. Примерами трансцендентных уравнений могут служить уравнения вида: Решить предложенное уравнение — значит найти все значения переменной Из курса алгебры нам известны методы и приемы решения некоторых видов алгебраических и трансцендентных уравнений: например, квадратных уравнений; уравнений, решаемых методом группировки и вынесения за скобки общего множителя. Но даже решение несложного кубического уравнения вызовет у нас определенные сложности. Если нс удастся решить заданное уравнение привычными способами, существуют методы приближенного решения уравнений, состоящие из двух этапов: 1. отделение корней; 2. уточнение корней до заданной степени точности с помощью одного из следующих методов: Этап отделения корней необходим для того, чтобы определить, какому промежутку принадлежат корни уравнения. На этом этапе обычно используется графический способ. Пример: Определить промежуток, которому принадлежат корни уравнения Решение: Преобразуем данное уравнение к виду: Построим графики функций По рисунку видим, что графики функций Ответ: Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики: Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся: Видео:Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравненияСкачать Алгебраические уравнения и их геометрическое истолкованиеУравнение с одной буквой (неизвестным)Один из основных вопросов, которыми занимается алгебра, заключается в решении уравнений нормального вида. Так называются уравнения, у которых в левой части стоит многочлен, расположенный по степеням неизвестной буквы, а в правой части — нуль. Степень многочлена в левой части носит название степени уравнения. Мы встречались не раз с уравнениями, которые не имели нормального вида: таковы, например, уравнения Подобного рода уравнения могут быть приведены к уравнениям нормального вида. Для этого до статочно освободиться от дробей, затем перенести на лево члены, стоящие в правой части, сделать приведение подобных членов и, наконец, правильно расположить члены. Таким образом, привести заданное уравнение к уравнению нормального вида удается по большей части несложными приемами. Напротив, нахождение всех корней уравнения представляет собою более трудную задачу, в особенности в том случае, если уравнение высокой степени. Уравнение первой степени (линейное) имеет вид Уравнение второй степени (иначе квадратное) имеет вид Уравнение третьей степени (иначе кубическое) имеет вид Так можно продолжать и дальше. Ради единообразия неизвестное здесь обозначено буквой Уравнение первой степени мы решаем (см. гл. 6) следующим образом: свободный член переносим направо В случае уравнений второй степени или высших степеней решение уравнения тесно связано с разложением левой части на линейные множители. Так, например, уравнение В отдельных примерах нам удавалось разлагать трехчлен второй степени на линейные множители; более полно общий прием разложения (по средствам «выделения квадрата») будет рассмотрен в главе 12. Что касается уравнений третьей, четвертой и высших степеней, то, не говоря об отдельных частных случаях, разложить их левую часть на множители весьма трудно. С другой стороны, очень просто можно составить уравнение, имеющее наперед заданные корни; при этом степень уравнения в точности будет равняться числу корней. Например, пусть заданы три числа: Производя умножение, получаем окончательно: Можно доказать, что число корней уравнения никогда не превышает его степени. Но иногда оно бывает меньше степени уравнения. Например, уравнение Совокупность точек на числовой оси, являющихся корнями уравнения (иначе, удовлетворяющих этому уравнению), дает нам геометрическое представление этого уравнения. Уравнение с двумя буквами (переменными)Нам хорошо известно, что решением (корнем) уравнения с одной неизвестной буквой называется всякое значение входящей буквы, удовлетворяющее уравнению. Если уравнение содержит две неизвестные буквы, понятие решения должно быть обобщено и именно следующим образом: решением уравнения с двумя неизвестными буквами называется пара значений двух неизвестных, удовлетворяющая уравнению. Так, пара чисел В случае уравнения с двумя неизвестными найти и перечислить все решения, как правило, невозможно. Уже простейшие примеры, вроде Поэтому, если в уравнение входят две (или более) неизвестных буквы, их называют обыкновенно не неизвестными, а переменными (переменными величинами). Алгебраическое уравнение с двумя буквами считается нормальным, если в правой части стоит нуль, а в левой — многочлен, расположенный по обеим буквам. Уравнения с двумя буквами (как и уравнения с одной буквой) классифицируются по степеням: степенью уравнения называется степень многочлена, стоящего в его левой части, причем обе буквы считаются главными. Уравнения первой степени (линейные) имеют вид Уравнения второй степени (квадратные) имеют вид Отдать себе отчет в том, какова совокупность решений данного уравнения, нам помогает геометрическое представление уравнения: оно делает наглядной ту зависимость, которая существует между значениями букв, удовлетворяющими уравнению. Познакомимся ближе с этим геометрическим представлением. Так как у нас имеется не одна, а две буквы, допустим, Пример: Рассмотрим уравнение Пример: Второй пример возьмем более сложный. Пусть нам дано уравнение второй степени: Посмотрим, как можно наметить его график. Ничего не стоит решить уравнение относительно буквы Дальше можно составить табличку числовых значений переменной Каждую полученную точку сейчас же отмечают на черте же. Точки располагаются с известной правильностью. Чертеж 39 показывает, что при возрастании значений При Можно букве Полезло убедиться, что точки, получающиеся при подстановке дробных значений Поставим себе еще и такой вопрос: имеет ли наш график какие-нибудь точки на оси Хотя мы отметили на чертеже не свыше десятка точек, положение которых нам известно вполне точно, тем не менее правильность их расположения не оставляет сомнений в том, что все остальные, не отмеченные нами, точки графика лежат на некоторой плавной кривой, проходящей через отмеченные точки. Эта кривая и есть график нашего уравнения. Провести ее от руки не представит труда. Правда, полученная таким образом кривая даст возможность лишь приближенно судить о положении тех точек графика, координаты которых не были вычислены. Использованный нами прием получения графика носит название построения графика по точкам. Постараемся дать описание этого приема, не связывая его с каким-либо определенным примером. Пусть дано некоторое уравнение, содержащее буквы Посмотрим, существуют ли такие точки графика, которые имеют заранее назначенную абсциссу, скажем, Разумеется, можно было бы также решить данное уравнение относительно буквы Примечание: Иные уравнения — таковы, что не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы уравнению. В редких случаях график может оказаться состоящим из одной точки или нескольких точек (в конечном числе). Так, уравнение Действительно, каждый из квадратов Линейное уравнение с двумя переменнымиНа чертеже 40 изображен график уравнения Это — прямая линия, проходящая через начало координат и расположенная в первой и третьей четвертях. Уравнение показывает, что величина у прямо пропорциональна величине Эти точки отмечены на чертеже. Чтобы перейти от одной такой точки к следующей (считая вправо), достаточно отсчитать « Коэффициент пропорциональности Если бы вместо уравнения (I) было задано, например, уравнение При значениях Отсчитывать нужно « Чем меньше Коэффициент Обратим внимание на то, чем график уравнения Таким образом, направление прямой Другими словами, прямые На черт. 41 изображен график уравнения Пусть буква Нам нужно установить, какова совокупность точек на плоскости Итак, уравнение вида Из предыдущего следует весьма важное заключение: всякое уравнение, линейное относительно буквы Действительно, если буква Если же буква Рассматривать случай, когда Раз известно, что линейное уравнение В самом деле, прямая определяется двумя точками: значит, достаточно сделать две числовые подстановки. Проще всего установить точки пересечения прямой с осями Указанный прием неудобен только в том случае, если точки Например, чтобы построить график прямой Нелинейные уравнения с двумя переменнымиМы видели, что если заданное уравнение — линейное (т. е. первой степени) относительно букв Дальнейшие примеры покажут, что если заданное уравнение — не линейное (т. е. степени второй или выше) относительно букв Степень уравнения относительно букв Мы рассмотрим здесь только несколько наиболее простых и важных примеров кривых, преимущественно второго порядка. Пример: С этим уравнением мы уже встречались. Оно говорит о том, что переменные величины Можно ли решить уравнение относительно Итак, пусть теперь Это равенство свидетельствует, что Ограничиваясь пока положительными значениями величины Попробуем взять и дробные значения Получающиеся на чертеже точки имеют правильное расположение: через них можно с уверенностью про вести плавную кривую. Менее ясно пока, как вести кривую влево, в промежутке от и станем отмечать новые точки. Теперь становится ясно, что с убыванием положительных значений Вся полученная кривая расположена в первой четверти. Если бы мы пожелали давать букве Обе «ветви». рассматриваемые совместно, образуют кривую, называемую «гиперболой». Гипербола — кривая второго порядка. Пример: Подставляя положительные значения Отметив соответствующие точки на чертеже, мы видим, что при увеличении абсциссы В первой клеточке Последняя табличка позволяет заключить, что. под ходя к началу Обращаясь к отрицательным значениям Полученная кривая носит название параболы(см. черт. 43). Парабола — кривая также второго порядка. Пример: При подстановке больших значений Напротив, при подстановке значений, близких к нулю, кубы убывают быстрее, чем квадраты: Поэтому кривая На параболу Общий вид кривой Это — кривая третьего порядка. Видео:Алгебра 8 класс (Урок№20 - Нахождение приближённых значений квадратного корня.)Скачать Алгебраические уравнения и алгоритм их решенияОбщая теория уравненийТождества: Введем понятие тождественного равенства функций на числовом множестве X. Пусть функции у = f(х) и у = F(х) имеют области определения А и В соответственно, и X является подмножеством как A, так и В (но не обязательно совпадает с пересечением А и В). Тогда функции у = f(х) и у = F(х) определены на X. Функции у=f(х) и у=F(х) называются тождественно равными на числовом множестве X, если для любого числа х из X выполняется равенство f(х)=F(х). В этом случае говорят, что равенство f(х)=F(х) является тождеством на множестве X. Разумеется, равенство f(х)=F(х) может быть тождеством на некотором множестве X, но не быть тождеством на каком-нибудь другом множестве Y . Рассмотрим, например, функции у=х и у =|x|. На множестве X положительных чисел эти функции тождественно равны: если х — положительное число, то |х|=х. На множестве же Y всех действительных чисел эти функции не являются тождественно равными: при отрицательных значениях х равенство не имеет места, так как при этих значениях |x|= — х. Совершенно так же определяется понятие тождественного равенства для функций нескольких переменных. Например, функции Функции же z=х+у и z =|х+у | тождественно равны лишь на множестве пар чисел х, у , для которых Область допустимых значенийТождественные преобразования многочленов и алгебраических дробей изучались в начальной алгебре, и мы не будем подробно останавливаться на этом вопросе. Разберем лишь вопрос об области допустимых значений функционального равенства. Пусть дано равенство вида Может случиться, что функции у=f(x) и у=F(x) определены не для всех значений х . Областью допустимых значений аргумента х для равенства (1) мы будем называть множество всех значений х, при которых определены и левая и правая части этого равенства. Например, для тождества областью допустимых значений является совокупность всех действительных чисел, из которой исключены числа 2 и 4 (при х=2 не определена функция Следует иметь в виду, что такие преобразования, как приведение подобных членов, могут привести к изменению области допустимых значений. Например, тождество (2) справедливо для всех значений х , кроме х=2 и х=4. Если же мы приведем подобные члены, то получим тождество справедливое для всех без исключения значений х. УравненияОбычно когда даны две функции у=f(х) и у=F(х), то неизвестно, каково множество, на котором эти функции тождественно равны. Поэтому возникает следующая задача: найти все значения х, для которых выполняется равенство При такой постановке задачи (*) называют уравнением с неизвестным х , а все х , при которых функции у=f(х) и у=F(х) принимают одинаковые значения, — корнями или решениями этого уравнения. Итак, уравнение f(x) =F(х) выражает задачу об отыскании таких значений переменного х, при которых функции f(x) и F(x) имеют одинаковые значения. Решить уравнение — это значит найти все такие значения х, т. е. все корни (решения) уравнения. Областью допустимых значений для уравнения (1) называют множество всех х у при которых определены обе функции у=f(х) и у=F(х). Например, для уравнения область допустимых значений определяется условиями: Область допустимых значений может заранее ограничиваться некоторыми условиями. Например, могут иметь смысл лишь положительные или лишь целые корни. В этом случае надо рассматривать уравнение лишь для положительных (или целых) значений х. Тогда мы считаем, что функции f(x) и F(х) заданы на некотором множестве X, и рассматриваем уравнение лишь на этом множестве. Пусть даны два уравнения Обозначим множество корней уравнения (1) через M, а множество корней уравнения (2) через N. Если Если множества М и N корней уравнений (1) и (2) совпадают, то эти уравнения называются равносильными. Иными словами, уравнения равносильны, если всякий корень уравнения (2) является корнем уравнения (3) и, обратно, всякий корень уравнения (3) является корнем уравнения (2). В частности, уравнения равносильны, если множества М и N — пусты, то есть если каждое из уравнений не имеет решений. Если уравнения (2) и (3) равносильны, то каждое из них является следствием другого. Следует отметить, что понятие равносильности уравнений существенно зависит от того, какие значения корней считаются допустимыми. Рассмотрим, например, уравнения: Корнями первого уравнения является число х=3, а второго — числа Совокупности уравненийПусть задано несколько уравнений и требуется найти все значения х, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих уравнений. Тогда говорят, что задана совокупность уравнений, а такие значения х называют решениями или корнями этой совокупности. Следует различать совокупность уравнений и систему уравнений — для системы уравнений требуется искать значения неизвестных, которые удовлетворяют всем уравнениям, а для совокупности — хотя бы одному из уравнений. Чтобы отличать совокупность уравнений от системы уравнений, мы будем обозначать совокупность квадратными скобками, а систему — фигурными скобками. имеет одно решение имеет три решения Обозначим множество решений уравнения состоит из чисел 2, 3 (решений уравнения Две совокупности уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней. Например, совокупности уравнений равносильны — их корнями являются числа 2, —2 и —3. Преобразования уравненийПри решении уравнений мы переходим от одного уравнения к другому, пока не придем к уравнению вида х = а или совокупности уравнений такого вида. Возьмем, например, уравнение Прибавляя к обеим частям этого уравнения (—Зх+3) и приводя подобные члены, получаем уравнение А теперь умножим обе части уравнения (2) на и получим, что В процессе решения этого уравнения мы прибавляли к обеим частям уравнения некоторое алгебраическое выражение (а именно, —Зх+3), умножали обе части уравнения на одно и то же число (а именно, на Однако не всегда одинаковые преобразования обеих частей уравнения приводят к уравнению, равносильному первоначальному. Рассмотрим уравнение: Его решением является х = 3. Если же мы умножим обе части уравнения на х — 2, то получим уравнение: Это уравнение, кроме решения х=3, имеет еще решение х= 2— оно имеет лишний корень по сравнению с (4). С другой стороны, если мы возьмем уравнение (5), имеющее решения х=2, х=3, и «сократим» его на х — 2 (то есть разделим обе части уравнения на х — 2), то получим уравнение 2х+1= =х+4 с единственным решением х=3. Значит, здесь мы в процессе решения потеряли корень х=2. Не является «безобидным» и прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения. Например, уравнение имеет решение х =2. Но если прибавить к обеим частям этого уравнения выражение для которого х =2 не является решением — обе части этого уравнения не имеют смысла при х=2. Таким образом, произошла потеря решения. Эти примеры наглядно показывают, что при преобразовании уравнений необходима осторожносгь — неправильно преобразуя уравнение, мы можем как приобрести лишние решения, так и потерять решения данного уравнения. При этом надо иметь в виду, что приобретение лишних решений не столь опасно, как потеря существующих. Ведь после того, как уравнение решено, можно подставить все найденные решения в заданное уравнение и отобрать те из решений, которые ему удовлетворяют. А потерянные решения восстановить уже нельзя. Из изложенного видно, что, прежде чем решать конкретные виды уравнений, надо познакомиться с общей теорией уравнений, выяснить, какие преобразования приводят к равносильным уравнениям, какие дают посторонние решения, а при каких решения могут быть потеряны. Только после этого мы сможем решать уравнения «с открытыми глазами». Теоремы о равносильности уравненийСформулируем сначала условия, при которых одно уравнение является следствием другого уравнения. Потом из этих условий будут получены условия равносильности уравнений. Теорема: Если к обеим частям уравнения прибавить функцию являющееся следствием данного. Доказательство: В самом деле, пусть а—корень уравнения (1). Тогда f(а)=F(а). Но которое показывает, что число а является корнем уравнения (2). Таким образом, всякий корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), то есть уравнение (2) является следствием уравнения (1). Условие, что функция Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения не может привести к приобретению посторонних корней, если это прибавление не сопровождается приведением подобных членов или иными преобразованиями, меняющими область определения уравнения (например, сокращением дробей). Рассмотрим, например, уравнение Если прибавить к обеим частям — Перейдем к вопросу об умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Теорема: Если обе части уравнения умножить на функцию являющееся следствием уравнения (3). Доказательство. Пусть а — корень уравнения (3). Тогда справедливо равенство f(а)=F(а). Умножим обе части этого равенства на число Из доказанных теорем следует, например, что уравнение является следствием уравнения Действительно, уравнение (5) получается из уравнения (6) прибавлением к обеим частям функции Зх+2 и умножением полученного уравнения на х + 2. Многочлены определены при всех значениях х. Поэтому прибавление к обеим частям уравнения многочлена, равно как и умножение обеих частей уравнения на многочлен, приводит к уравнению, являющемуся следствием исходного. Оговорка о том, что и умножим обе части этого уравнения на Докажем теперь теоремы о равносильности уравнений. Чтобы доказать равносильность двух уравнений, надо показать, что пер вое из них является следствием второго, а второе — следствием первого. Теорема: Если функция Доказательство: Мы уже видели, что при условии теоремы уравнение (9) является следствием уравнения (8). Но уравнение (8) в свою очередь получается из уравнения (9) прибавлением к обеим частям функции — Так как функция Из доказанной теоремы вытекает правило перенесения слагаемых из одной части уравнения в другую: если некоторое слагаемое данного уравнения перенести из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному. В самом деле, в силу теоремы 3 уравнения равносильны: уравнение (11) получается путем прибавления функции — Кратко правило перенесения слагаемых формулируют так: всякое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Из доказанной теоремы вытекает, что всякое уравнение f(х) =F(х) можно заменить равносильным ему уравнением вида Ф(х) = 0. Для этого достаточно перенести F(х) в левую часть уравнения, заменив знак на противоположный, и положить f(х)— F(х) =Ф (х). Теорема: Если функция Доказательство: Мы уже видели (теорема 2), что уравнение (13) является следствием уравнения (12). Докажем, что уравнение (12) в свою очередь является следствием уравнения (13). Уравнение (12) получается из уравнения (13) умножением обеих частей на функцию Из доказанной теоремы вытекает, например, что уравнения равносильны в области действительных чисел. В самом деле, уравнение (15) получается из уравнения (14) умножением на функцию не являются равносильными — второе получается из первого умножением на функцию Уравнения (12) и (13) могут быть неравносильными и в том случае, когда множитель неравносильны: множитель Если в ходе решения уравнения приходилось умножать обе части этого уравнения на выражение В первом случае среди найденных корней могут оказаться посторонние корни, и надо проверить все найденные корни, удовлетворяют ли они первоначально заданному уравнению. Во втором же случае возможна потеря корней, и мы должны подставить в заданное уравнение значения неизвестного, при которых теряет смысл Из теоремы 4 непосредственно вытекает справедливость утверждения: если обе части уравнения умножить на произвольное отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Это утверждение кратко формулируют так: обе части уравнения можно умножать на произвольное отличное от нуля число. Видео:Отбор корней по окружностиСкачать Уравнения с одним неизвестнымАлгебраические уравнения с одним неизвестным: Рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида где R(х) — алгебраическая дробь относительно х. К такому виду можно в силу теорем 3 и 5, привести любое уравнение является рациональным алгебраическим. В дальнейшем мы будем называть такие уравнения просто алгебраическими. Применяя теоремы о равносильности уравнений, можно заменить каждое уравнение вида (1) равносильным ему уравнением вида: где f(x)— многочлен от х. Для этого надо записать дробь R(x) в виде отношения двух многочленов. Мы получим уравнение: где f(х) и Пример: Перенесем Приравнивая нулю числитель этой дроби, получаем уравнение х—2=0, корнем которого является число х=2. Однако при x=2 дробь Метод разложения на множителиРассмотрим некоторые методы решения алгебраических уравнений, а также отдельные виды таких уравнений. Выше было сказано, что при решении уравнения его заменяют другими уравнениями или совокупностями уравнений, равносильными заданному, но более простыми Рассмотрим следующий пример. Пусть надо решить уравнение: Мы знаем, что произведение может равняться нулю тогда и только тогда, когда хоть один из его сомножителей равен нулю. Поэтому, чтобы решить уравнение (1), надо найти все значения, при кототых хоть один из сомножителей равен нулю. А это все равно, что решить совокупность уравнений Решая ее, находим для х значения Метод, примененный для решения уравнения (1), в общем виде формулируется так. Теорема: Если функции равносильно совокупности уравнений Доказательство: Пусть а — одно из решений совокупности (3). Это означает, что а является корнем одного из уравнений этой совокупности, например, уравнения так как один из сомножителей Наоборот, пусть а — корень уравнения (2). Тогда f (а)=0, то есть Пример: Левая часть этого уравнения разлагается на множители следующим образом: Отсюда следует, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений: Решая уравнения этой совокупности, получаем корни уравнения (4): не равносильны, так как при х = 0 функция В некоторых случаях разложение на множители связано с искусственными преобразованиями. Рассмотрим, например, уравнение: Нетрудно заметить, что Поэтому уравнение (б) можно записать в виде: Таким образом, все свелось к решению совокупности двух квадратных уравнений: Решая их, находим корни уравнения (6): Метод введения нового неизвестногоНаряду с методом разложения на множители часто применяется другой метод — введение нового неизвестного. Рассмотрим следующий пример: Если раскрыть скобки, то получится уравнение четвертой степени, решить которое довольно сложно. Мы поступим иначе. Обозначим Поэтому уравнение (1) после введения нового неизвестного z принимает вид Решая это квадратное уравнение, получаем, что его корни равны: Но Решая ее, получаем: Метод, примененный для решения уравнения (1), в общем виде заключается в следующем. Пусть дано уравнение F(х)=0 и пусть функцию F(х) можно представить в виде Введем новое неизвестное z, положив Теорема: Если а — один из корней уравнения f(z) = 0, а b — один из корней уравнения Доказательство. Пусть b — корень уравнения Таким образом, b удовлетворяет уравнению F (х) = 0. Обратно, пусть b — корень уравнения F(х)=0 и Следовательно, а — корень уравнения f(z)=0. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что решение уравнения вида Биквадратные уравненияМетод замены неизвестного при меняется для решения уравнений вида Такие уравнения называют биквадратными. Чтобы решить уравнение (1), положим Его корнями являются числа: Поэтому корни уравнения (1) получаются путем решения уравнений Четыре корня возникают при различных комбинациях знаков: При решении биквадратных уравнений (как и при решении квадратных уравнений) иногда приходится извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Это приводит к так называемым комплексным числам, которые будут изучены в главе V. Пример. Решить уравнение Полагая Его корнями являются числа Возвратные уравнения 3-й и 4-й степенейМногочлен n-й степени называется возвратным, если его коэффициенты, одинаково уда ленные от начала и от конца, равны между собой. Иными словами, коэффициенты возвратного многочлена n-й степени удовлетворяют условию Алгебраическое уравнение вида f(х)=0, где f(х) — возвратный многочлен, называют возвратным уравнением. Примерами таких уравнений являются: Рассмотрим решение возвратных уравнений третьей и четвертой степеней. Возвратное уравнение третьей степени имеет вид: Группируя члены, разложим выражение в левой части уравнения на множители: Отсюда видно, что одним из корней уравнения (1) является х=—1 . Два других корня получаются путем решения квадратного уравнения Пример: Разлагая левую часть уравнения на множители, получаем: Корни квадратного уравнения Приведем пример задачи, сводящейся к разобранному типу уравнений. Задача: Из квадратного листа жести со стороной а см вырезают по углам четыре квадратика со стороной х см и делают из получившейся фигуры коробку. При каком значении х объем коробки равен Решение: Основанием коробки является квадрат со стороной а-2x, а ее высота равна х. Значит, объем коробки равен Положим Разлагая на множители, получаем Поэтому корни нашего уравнения равны Из условия задачи следует, что Теперь рассмотрим возвратное уравнение 4-й степени: Так как Введем новое неизвестное z, положив Следовательно, уравнение (3) превращается в квадратное уравнение относительно z Решив это уравнение, найдем его корни Она сводится к совокупности квадратных уравнений: Пример. Решить уравнение Перепишем это уравнение в виде и введем новое неизвестное Решая его, находим: Из них получаем: Наряду с уравнениями вида (1) и (2) рассматривают так называемые кососимметричные уравнения, или, иначе, возвратные уравнения второго рода. При n=4 они имеют вид: Это уравнение сводится к После этого вводят новое неизвестное по формуле Решение заданий и задач по предметам: Дополнительные лекции по высшей математике: Образовательный сайт для студентов и школьников Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника. © Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института 📹 ВидеоАЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать Биквадратные уравнения. 8 класс алгебра.Скачать ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 5. Найдите корень уравненияСкачать 5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать |