Как находить корень неполного квадратного уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где х – переменная, a, b, c некоторые числа, причем a≠0. Обычно его называют полным квадратным уравнением.

Если в таком уравнении один из коэффициентов b или c равен нулю, либо оба одновременно равны нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение при b=0: ax 2 +c=0

Для решения такого вида уравнения надо выполнить перенос коэффициента с в правую часть, затем найти квадрат переменной (делим обе части на одно и то же число), найти два корня уравнения, либо доказать, что корней нет (если х 2 равен отрицательному коэффициенту; знаем, что квадрат любого числа равен только положительному числу).

Пример №1. Решить уравнение:

Выполним перенос числа –45 в правую часть, изменяя знак на противоположный: 5х 2 =45; найдем переменную в квадрате, поделив обе части уравнения на 5: х 2 =9. Видим, что квадрат переменной равен положительному числу, поэтому уравнение имеет два корня, находим их устно, извлекая квадратный корень из числа 9, получим –3 и 3. Оформляем решение уравнения обычным способом:

Ответ: х=±3 или можно записать ответ так: х₁=–3, х₂=3 (обычно меньший корень записывают первым). Пример №2. Решить уравнение:

Выполним решение уже известным способом: –6х 2 =90. х 2 =–15 Здесь видим, что квадрат переменной равен отрицательному числу, а это значит, что уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Пример №3. Решить уравнение:

Здесь мы видим в левой части уравнения формулу сокращенного умножения (разность квадратов двух выражений). Поэтому, можем разложить данное выражение на множители, и найти корни уравнения: (х–10)(х+10)=0. Соответственно, вспомним, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть х–10=0 или х+10=0. Откуда имеем два корня х₁=10, х₂=–10.

Неполное квадратное уравнение при с=0: ax 2 +bx=0

Данного вида уравнение решается способом разложения на множители – вынесением за скобки переменной. Данное уравнение всегда имеет два корня, один из которых равен нулю. Рассмотрим данный способ на примерах.

Пример №4. Решить уравнение:

Выносим переменную х за скобки: х(х+8)=0. Получаем два уравнения х=0 или х+8=0. Отсюда данное уравнение имеет два корня – это 0 и –8.

Пример №5. Решить уравнение:

Здесь кроме переменной можно вынести за скобки еще и коэффициент 3, который является общим множителем для данных в уравнении коэффициентов. Получим: 3х(х–4)=0. Получаем два уравнения 3х=0 и х–4=0. Соответственно и два корня – нуль и 4.

Неполное квадратное уравнение с коэффициентами b и с равными нулю: ax 2 =0

Данное уравнение при любых значениях коэффициента а будет иметь один корень, равный нулю.

Пример №6. Решить уравнение:

Обе части уравнения делим на (–14) и получаем х 2 =0, откуда соответственно и единственный корень – нуль. Пример №6. Решить уравнение:

Также делим обе части на 23 и получаем х 2 =0. Значит, корень уравнения – нуль.

Видео:МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

Видео:РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ЗА 5 СЕКУНДСкачать

Формула нахождения корней неполного квадратного уравнения

В алгебре при решении задач возникает необходимость найти корни неполного квадратного уравнения, формулы которых требуется выводить. Этот процесс занимает время. Математики позаботились об оптимизации вычислений и предлагают специальные методики для расчетов. Однако перед их использованием нужно изучить теорию.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Общие сведения

Уравнением квадратного вида (квадратичной функцией) называется выражение, состоящее из неизвестных (переменных) и известных (констант) величин, основным условием которого является наличие второй степени при неизвестном значении. Математическая запись имеет такой вид: Mt^2+Nt+C=0, где М, N и С — некоторые константы.

Корнем квадратичного тождества называются такие значения переменных, которые обращают его в истинное равенство. Иными словами, при подстановке величин, полученных при его решении, правая часть равенства эквивалентна левой. Для правильного применения алгоритма поиска корней нужно знать классификацию квадратичных функций с переменными.

Видео:Учимся решать неполные квадратные уравнения.Скачать

Классификация квадратных уравнений

Математики классифицируют квадратичные многочлены с переменными на два вида. К ним относятся следующие:

Первая группа включает все три константы (М, N и С). Вторая группа делится на три типа:

1. Без коэффициента перед неизвестной первой степени (N), но с наличием С.
2. Без С, но N включен в равенство.
3. Без N и С.

В первом случае уравнение записывается в таком виде: Mt^2+Nt+C=0. Если коэффициент N отсутствует, то запись видоизменится таким образом: Mt^2+С=0. При этом достаточно сократить обе части на константу перед переменной, возведенной во вторую степень. Когда отсутствует постоянный коэффициент «С», то выражение записывается в такой форме: Mt^2+Nt=0. Для решения достаточно разложить его на множители, что приведет к понижению степени.

Однако наиболее интересный случай — наличие только компонента «Mt^2». Этот тип решается очень просто, поскольку переменная всегда равна нулевому значению. Хотя в некоторых заданиях она имеет сложную структуру, то есть M(t+1)^2. Пример сводится к полному квадратному уравнению и решается стандартным способом. Далее необходимо разобрать основные методики решения полных и неполных квадратичных функций.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Полные типы

В случаях когда квадратичная функция содержит все элементы (Mt^2+Nt+C=0), к ней можно применить три методики нахождения корней. К ним относятся следующие:

1. Формулы корней через величину дискриминанта.
2. Теорема Виета.
3. Разложение на множители.

Далее требуется разобрать каждый из случаев подробно, а также ознакомиться с методикой решения тождества квадратичной формы с переменными.

Соотношения для определения корней

Формулы позволяют решать полные квадратные уравнения, используя новую величину, которая называется дискриминантом. Она обозначается латинской литерой «D» и раcчитывается по следующей формуле: D=(-N)^2-4МС. Следует отметить, что при подсчете возможны такие варианты значений D:

1. D 1: переменная может принимать два значения.

В последнем случае корни необходимо находить по двум формулам: t1=[-N-(D)^0.5]/(2M) и t1=[-N+(D)^0.5]/(2M). Алгоритм решения имеет следующий вид:

1. Написать квадратичное тождество с переменными.
2. Произвести математические преобразования.
3. Определить D и проанализировать его величину, которая показывает количество решений или их отсутствие.
4. Рассчитать корни по формулам.
5. Проверить найденные величины на четвертом шаге алгоритма, подставив их в исходное уравнение.
6. Отсеять ложные значения, то есть числа, приводящие к пустому множеству.

Однако не во всех случаях рекомендуется использовать способ нахождения корней посредством этих соотношений. Для этих целей математики предлагают использовать одно утверждение, называемое теоремой Виета.

Теорема Виета

Коэффициент при старшей степени может быть равен единице, то есть t^2+Nt+C=0. В этом случае необязательно определять величину D, высчитывая ее по формулам. Существует способ намного проще. Он основан на определении корней при помощи теоремы Виета, которая имеет два положения (условия):

1. Сумма t1 и t2 равна N, взятому с противоположным знаком.
2. Произведение t1 и t2 эквивалентно константе «С».

Алгоритм решения уравнения квадратичной формы существенно упрощается. Он имеет следующий вид:

1. Записать тождество.
2. Решить систему, состоящую из двух выражений, или методом подбора значений переменных (в основном используется последний вариант).
3. Записать результат.
4. Выполнить проверку, подставив корни в исходное выражение.

Во втором пункте нужно использовать два условия суммы и произведения корней. Однако существует метод, который проще теоремы Виета и определения переменных по формулам.

Разложение на множители

Методика разложения квадратичной функции на простые множители применяется не только при нахождении корней, но и во многих задачах. Суть ее состоит в использовании формул сокращенного умножения для понижения степенного показателя при переменной. Соотношения разложения на множители, необходимые для решения квадратных уравнений, имеют такой вид:

1. Выделение квадрата: математические преобразования для образования соответствующих множителей, которые возможно вынести за скобку или записать в виде формулы сокращенного умножения.
2. Разность квадратов двух величин: t^2-m^2=(t-m)(t+m).
3. Квадрат суммы 2 числовых значений: (t+m)^2=(t+m)(t+m)=t^2+2t+m^2.
4. Квадратичная разность двух чисел: (t-m)^2=(t-m)(t-m)=t^2-2t+m^2.

Для подробной иллюстрации первого соотношения нужно разобрать пример выражения: t^2+2t+1=0. Для выделения квадрата необходимо в левой части прибавить и отнять единицу, то есть t^2+2t+1+(1-1)=0. Следует отметить, что равенство не поменяется, поскольку 1-1=0. Результат имеет такой вид: (t+1)^2-1=0. Последнее соотношение — формула разности, то есть (t+1-1)(t+1+1)=0.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Неполные квадратичные функции

Квадратичные функции неполного вида с неизвестными встречаются в физико-математических дисциплинах достаточно часто. Вычислить значения их корней можно двумя способами:

1. Разложить на множители.
2. Через дискриминант.

В основном используется первый метод при решении уравнений, поскольку второй добавляет больше вычислений. При использовании дискриминанта нужно дополнительно его рассчитывать, а затем подставлять в соответствующие соотношения. Однако необходимо знать о двух способах решения, а также уметь их применять на практике.

Вынесение компонентов

Методика разложения на множители, позволяющая решать неполные квадратные уравнения, простая и эффективная. Она выполняется по двум направлениям, которые зависят от самих коэффициентов. В первом случае необходимо рассмотреть тождество «Mt^2+С=0». Алгоритм нахождения его корней имеет следующий вид:

1. 5t^2-125=0.
2. 5(t^2-25)=0.
3. t^2-25=0.
4. t^2-25=(t-5)(t+5)=0.
5. t1=-5 и t2=5. Подстановка: 5*(-5)^2-125=0 и 5*(5)^2-125=0. Корни являются истинными значениями, так как не превращают равенство в пустое множество.

Решить квадратное уравнение без «С» (Mt^2+Nt=0) также просто, поскольку в этом случае необходимо воспользоваться определенной методикой. Она имеет такой вид:

1. Вынести при необходимости за скобку константу, которая является общим множителем: M[t^2+(N/M)t]=0.
2. Сократить обе части равенства на «М»: t^2+(N/M)t=0.
3. Вынести «t»: t[t+(N/M)]=0.
4. Решить оба уравнения: t1=0 и t2=-N/M.
5. Выполнить проверку, подставив решения в исходное выражение.

Далее нужно разобрать нахождение корней уравнения 2t^2-2t=0 при помощи описанной методики. Ее практическая реализация имеет такой вид:

Следует отметить, что при использовании метода разложения квадратного тождества с переменными на множители, происходит понижение степени. Этот подход можно применить и к выражениям с высшими показателями.

Вычисление дискриминанта

Решение неполного уравнения квадратичной формы через дискриминант осуществляется таким же образом, как и с полным. В формулу подставляются значения коэффициентов и рассчитывается величина «D». Затем вычисляются корни равенства.

Однако существует небольшая поправка для тождества такого типа: t1=(-N-(D)^0.5)/М и t2=(-N+(D)^0.5)/М. Алгоритм для примера «t^2-9=0» выглядит таким образом:

Существуют различные вариации тождеств, но вся методика сводится к подстановочным операциям в соответствующие формулы через дискриминант.

Таким образом, неполные квадратные уравнения решаются двумя способами, но оптимальный из них — разложение на множители для понижения степени при неизвестной.

📸 Видео

НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8 классСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)Скачать

Как решать неполное квадратное уравнение? 😎Скачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.Скачать

АЛГЕБРА 8 класс : Решение неполных квадратных уравнений | ВидеоурокСкачать