Как избавиться от логарифма в одной части уравнения

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

Видео:КАК СЧИТАТЬ ЛОГАРИФМЫ? #егэматематика2022 #егэ2022 #логарифмы #математика #егэ #огэ #shortsСкачать

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Видео:Решение логарифмических уравнений #shortsСкачать

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Видео:Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Видео:✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\ x^-4> 0\ x^+x=x^-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^+x> 0\ x^-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ alt=’log _left ( x^+x right )=log _left ( x^-4 right )Leftrightarrow left <beginx^+x> 0\ x^-4> 0\ x^+x=x^-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^+x> 0\ x^-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _left ( 4x+5 right )> right )^<frac>=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac>=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginsqrt=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac endright.’ alt=’2^<log _left ( 4x+5 right )>=9Leftrightarrow left <begin2^frac<<log _left ( 4x+5 right )>>=9\ 4x+5> 0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _left ( 4x+5 right )> right )^<frac>=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac>=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginsqrt=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac endright.’ />

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ alt=’left <begin12-x> 0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Преобразование логарифмических уравнений

Видео:Круговорот воды в природе ➜ Решение логарифмических уравнений из ЕГЭ #ShortsСкачать

Когда проведение преобразований необходимо

Когда заданное логарифмическое уравнение отвечает условиям применимости одного из методов решения логарифмических уравнений, мы просто берем и решаем это уравнение соответствующим методом. А если уравнение не отвечает условиям применимости ни одного метода, то необходимо изучать возможности проведения преобразований.

Видео:Умножаем логарифмы В УМЕ🧠Скачать

Цели преобразования логарифмических уравнений

Можно выделить две главные цели преобразования логарифмических уравнений:

• Первая – избавиться от логарифмов. Например, от решения логарифмического уравнения log₃3 3·x+5 +5 log₅(7·x−5) =x 2 путем проведения преобразований можно перейти к решению рационального уравнения 10·x=x 2 .
• Вторая – получить возможность воспользоваться каким-либо методом решения. Например, преобразование логарифмического уравнения log₂x+log_x4=3 к виду открывает возможность использования метода введения новой переменной.

Видео:ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМОМ ЧАСТЬ I. Готовимся к ЕГЭ вместе #shorts #математика #егэ #огэСкачать

Какие преобразования используются

Вообще, для решения логарифмических уравнений используются практически все изученные преобразования уравнений. Это, конечно же, и перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположными знаками, и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число и другие. Эти преобразования широко используются при решении уравнений разных видов, в том числе и логарифмических. Ничего нового в преобразовании логарифмических уравнений с их помощью нет, поэтому не будем долго на них задерживаться, приведем лишь пару примеров и пойдем дальше.

Первый пример. Пусть дано логарифмическое уравнение log₃(x+1)−2=0 . Для его решения можно перенести слагаемое −2 в правую часть уравнения с противоположным знаком, то есть, перейти к уравнению log₃(x+1)=2 , после чего воспользоваться методом решения по определению логарифма.

Еще один пример. Допустим, нужно решить логарифмическое уравнение 2·lgx−lgx=3·lg(2·x−1)−2·lg(2·x−1) . Здесь очевидна возможность приведения подобных слагаемых. В результате выполнения этого действия приходим к уравнению lgx=lg(2·x−1) , которое можно решать методом потенцирования.

Самыми характерными для логарифмических уравнений являются преобразования, проводимые на базе определения логарифма и свойств логарифмов. А так как логарифмы очень тесно связаны со степенями, то не менее характерными являются и преобразования, проводимые с опорой на свойства степеней. О них речь пойдет чуть ниже.

Видео:Логарифм от логарифмаСкачать

Основные направления проведения преобразований

Иногда, набор возможных преобразований для заданного логарифмического уравнения весьма ограничен. Например, для уравнения log₃x+log₃(x+2)=1 просматривается одно единственное преобразование – замена суммы логарифмов логарифмом произведения (есть, конечно, и другие преобразования, но здесь они будут больше надуманными). В таких случаях все просто – проводится преобразование логарифмического уравнения (если это вообще требуется) и решается полученное уравнение подходящим методом. А как быть, когда возможностей для проведения преобразований сравнительно много, как, например, для логарифмического уравнения ? Так встает вопрос о направлениях проведения преобразований.

Можно выделить два основных направления преобразования логарифмических уравнений:

• к одинаковым логарифмам, например, от уравнения к , и дальше к log₃x=1 .
• если не к одинаковым логарифмам, то хотя бы к логарифмам с одинаковыми основаниями, например, от логарифмического уравнения к , и дальше к .

Почти всегда движение в этих направлениях позволяет подвести заданное логарифмическое уравнение под условия применимости какого-либо метода решения.

Видео:Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!Скачать

Перед преобразованием логарифмического уравнения стоит найти ОДЗ

Как известно, при преобразовании любых выражений с переменными необходимо учитывать ОДЗ. Значит, преобразование логарифмических уравнений тоже требует учета ОДЗ. Поэтому, перед тем, как преобразовать логарифмическое уравнение, стоит найти ОДЗ для него, или, по крайней мере, записать условия, определяющие ОДЗ, если их достаточно.

Видео:84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать

Преобразование логарифмических уравнений на базе свойств логарифмов

Характерными для логарифмических уравнений являются преобразования на базе свойств логарифмов. Поэтому, есть смысл детально и на примерах разобрать, как проводитя преобразование логарифмических уравнений с использованием свойств логарифмов.

Основное логарифмическое тождество , a>0 , a≠1 , b>0 .

Как правило, при преобразовании логарифмических уравнений записанная формула применяется слева направо. Например, с опорой на основное логарифмическое тождество можно перейти от решения логарифмического уравнения 4 log₄(2·x+1) =3 к решению сравнительно простого уравнения 2·x+1=3 , естественно, оставаясь в рамках ОДЗ для исходного уравнения.

Заметим, что одинаковые основание степени и основание логарифма часто бывают скрыты за обыкновенными и десятичными дробями, например, .
Логарифм единицы , a>0 , a≠1 .

Мы знаем, что логарифм единицы по любому положительному и отличному от единицы основанию есть нуль. Это позволяет упрощать вид уравнений, в которых присутствуют логарифмы единицы. Например, логарифмическое уравнение log₈(x 2 −3)+log_x1=1 можно преобразовать к виду log₈(x 2 −3)=1 . При этом необходимо помнить про ОДЗ для исходного уравнения, так как при подобном преобразовании может расшириться ОДЗ, и, как следствие, могут появиться корни, посторонние для исходного уравнения.
Формула , a>0 , a≠1 .

Базируясь на этой формуле, например, можно осуществить преобразование логарифмического уравнения log₂x+log_x−3(x−3)=4 к виду log₂x+1=4 . Подобные переходы часто провоцируют расширение ОДЗ, поэтому, необходимо учитывать ОДЗ для исходного уравнения.

Нередки случаи применения этой формулы справа налево. Приведем пример. В логарифмическом уравнении log_x(x·(x+5))=1+log_x(4·x−1) единицу можно представить как логарифм log_xx , чтобы дальше перейти к уравнению log_x(x·(x+5))=log_x(x·(4·x−1)) и воспользоваться методом потенцирования.
Логарифм степени основания , a>0 , a≠1 .

Логарифмическое уравнение log₃3 x+2 +log₂2 8−2·x =16 на ОДЗ для него с опорой на формулу логарифма степени основания сводится к уравнению x+2+8−2·x=16 .

А вот пример использования этой формулы справа налево: от уравнения log₃(1+3 x )+x=log₃2 переходим к log₃(1+3 x )+log₃3 x =log₃2 , чтобы дальше перейти к уравнению log₃((1+3 x )·3 x )=log₃2 , которое путем потенцирования сводится к показательному уравнению (1+3 x )·3 x =2 .
Логарифм произведения и логарифм частного , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Формулы логарифма произведения и частного при преобразовании логарифмических уравнений используются преимущественно справа налево. То есть, обычно суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями заменяются логарифмом произведения и частного. Так, например, логарифмическое уравнение log₇(x+1)−log₇(7−x)+log₇(x+2)=0 приводится к виду , а уравнение — к виду .

Что касается обратных переходов, то есть, переходов от логарифма произведения к сумме логарифмов и от логарифма частного к разности логарифмов, то при решении логарифмических уравнений лучше к ним вообще не прибегать. А уж если в этом есть крайняя необходимость, то надо заменять не на , а на , и заменять не на , а на . Иначе можно сузить ОДЗ со всеми вытекающими из этого негативными последствиями.

Приведем пример. Пусть дано уравнение . Преобразование этого логарифмического уравнения к уравнению с целью дальнейшего избавления от логарифмов log₂(x−3) и перехода к сравнительно простому уравнению log₂(2·(x−1))=log₂(x−5) — нехорошая затея. При таком преобразовании сужается ОДЗ с множества (−∞, 1)∪(5, +∞) до промежутка (5, +∞) , и возникает риск потери корня x=−3 . Чтобы этого избежать, надо использовать модули, то есть, переходить к уравнению . Но лучше вообще отказаться от замены логарифмов частных разностями логарифмов в пользу других подходов к решению. Например, можно от исходного уравнения перейти к равенству логарифмов и воспользоваться методом потенцирования, либо разность логарифмов заменить логарифмом частного, после чего решать уравнение по определению логарифма.
Логарифм степени , a>0 , a≠1 , b>0 .

Записанная формула при преобразовании логарифмических уравнений применяется как слева направо, например, логарифмическое уравнение преобразуется к виду и дальше log₅x=2 , так и справа налево, например, от уравнения log₂(x 2 +2·x)=3·log₂x можно перейти к уравнению log₂(x 2 +2·x)=log₂x 3 .

Необходимо особо отметить, что при четных показателях степени, как положительных, так и отрицательных, выражение , где k – любое целое отличное от нуля число, необходимо заменять не выражением , а выражением с модулем , чтобы избежать сужения ОДЗ. Приведем пример: при решении логарифмического уравнения вынесение четного показателя степени требует модуля: .

При замене в обратную сторону модуль не требуется, то есть, выражение заменяется выражением .
Формула перехода к новому основанию , a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 .

Обычно используется для приведения логарифмов в логарифмическом уравнении к одному основанию. Например, в уравнении log₂(3·x−2)·log_x3=2·log₂3 имеет смысл перейти к логарифмам по основанию два , чтобы дальше преобразовать уравнение к виду log₂(3·x−2)=log₂x 2 и решать его методом потенцирования.

Формулу перехода к новому основанию можно использовать и справа налево. Например, логарифмическое уравнение с опорой на формулу перехода к новому основанию можно преобразовать в уравнение и дальше – в совсем простое уравнение x−1=5 .
Формула , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

При решении логарифмических уравнений иногда возникает необходимость поменять местами выражения под знаком логарифма и в его основании. Это делается как раз на основе записанной формулы. Приведем пример. Преобразование логарифмического уравнения к виду log₂(x+12)=2·log₂x и дальше log₂(x+12)=log₂x 2 открывает возможность действовать по методу потенцирования.

Напомним, что с опорой на формулу проводится замена переменной в логарифмических уравнениях, переменная в которых находится только в составе логарифмов с переставленными местами выражениями под их знаками и основаниями. Например, при решении логарифмического уравнения log_4·x+3(3·x+4)+log_3·x+4(4·x+3)=2 один из логарифмов принимается за t , при этом другой логарифм выражается через новую переменную t как 1/t .
Степень основания , a>0 , a≠1 , b>0 , q≠0 .

Преобразование логарифмических уравнений на базе этой формулы проводится также как и с использованием формулы логарифма степени. Вот пример вынесения степеней тройки из оснований логарифмов:

При вынесении четных степеней выражений с переменными необходимо помнить про модули, например,

Формула , a>0 , b>0 , b≠0 , c>0 .

Это следствие из формулы перехода к новому основанию логарифма зафиксировано далеко не во всех учебниках. Однако, в материалах для подготовки к ЕГЭ все чаще встречаются логарифмические уравнения, для преобразования которых его очень удобно использовать. Например, с опорой на него уравнение можно преобразовать в уравнение , для которого уже отчетливо просматривается дальнейшее решение.

Видео:ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать

Не забываем про модули

Еще раз перечислим ситуации, в которых при преобразовании логарифмических уравнений с использованием свойств логарифмов требуется не забывать про модули:

При замене логарифма произведения (частного) суммой (разностью) логарифмов, например,

При вынесении четного показателя степени из-под знака логарифма, как в следующем случае

При вынесении четного показателя степени из основания логарифма, например,

Видео:Правило "круговорот". Как избавиться от логарифма в уравнении. ТеорияСкачать

Аккуратнее со степенями

Преобразование логарифмических уравнений требует особой аккуратности при работе со степенями логарифмов, такими как , и т.п., и со степенями, в показателях которых находятся логарифмы, наподобие . Сейчас объясним почему.

Часто приходится видеть замены

• на , вместо ;
• на , вместо ;
• на , вместо , и др.

Скорее всего, подобные ошибки можно объяснить нечетким пониманием принятой для степеней логарифмов записи. Запись означает r -ю степень логарифма . То есть, — это то же самое, что и . Здесь можно порекомендовать переписывать степени логарифмов , , … в виде , , …, а то и в виде произведений , , … . Поначалу с подобными записями работать привычнее, и естественным образом уменьшается количество ошибок.

Например, если переписать как , то останется логарифм произведения преобразовать в сумму логарифмов, то есть, практически гарантирован корректный переход к , и неоткуда взяться неверному преобразованию в .

Аналогично, если переписать как , то останется использовать формулу логарифма степени, и почти наверняка преобразование будет проведено правильно: .

Осталось разобраться с преобразованием степени . Степень — это не , поэтому, ее замена выражением с якобы опорой на основное логарифмическое тождество является ошибкой.

Как же правильно преобразовать ? Замена на здесь мало помогает. Стоит идти дальше – расписать в произведение , то есть, перейти от исходной степени к выражению . Для чего? Для того чтобы эту степень с произведением двух логарифмов в показателе переписать как , сославшись на формулу степени в степени (при необходимости повторите свойства степеней). После этого остается преобразовать выражение в скобках с опорой на основное логарифмическое тождество: . Итак, вот вся цепочка преобразований: .

Хотите примеры конкретных логарифмических уравнений, где это используется? Пожалуйста:

Решение первого из этих уравнений есть в статье решение логарифмических уравнений.

Здесь же заметим, что степени , и , где a>0 , b>0 , b≠1 , r – любое число, f(x)>0 , с опорой на свойства степеней и логарифмов могут быть преобразованы одна в другую. Кстати, в логарифмических уравнениях такими степенями часто скрывается возможность замены переменной. А вот степень к ним в компанию не входит. Например, при x>0 степени , и — это по сути одно и то же, а — это другое.

💥 Видео

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМОМ ЧАСТЬ II #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Логарифмы, часть 4, зачем логарифмировать уравнения?Скачать

10 класс. Алгебра. Логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным.Скачать

Логарифмы-1. Уравнения: от базы до олимпиадСкачать

Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать

Логарифмическое уравнение / Как решить?Скачать