Как из неравенства составить уравнение

В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Равносильные неравенства: определение, примеры

Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.

Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.

Даны три равносильных неравенства: x > 2 , 2 · x : 2 > 2 и x > 3 — 1 . В самом деле, множества решений этих неравенств одинаковые, решение каждого их них – числовой промежуток ( 2 , + ∞ ) .

Неравенства х 6 ≥ — 2 и | х + 7 | 0 являются равносильными, поскольку оба не имеют решений.

Неравенства х > 3 и х ≥ 3 – не равносильные: х = 3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.

Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Равносильные преобразования неравенств

Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.

Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.

Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.

Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.

Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:

1. Замена выражений в обоих частях неравенства тождественно равными выражениями на области допустимых значений (ОДЗ) переменных заданного неравенства есть равносильное преобразование неравенства.

Доказательство 1

Докажем утверждение. Пусть дано неравенство с одной переменной A ( x ) B ( x ) , где A ( x ) и B ( x ) — некие выражения с переменной x . Допустим, выражение C ( x ) является тождественно равным выражению A ( x ) , а выражение D ( x ) является тождественно равным B ( x ) на ОДЗ заданного неравенства. Найдем доказательство, что неравенство C ( x ) D ( x ) служит равносильным неравенству A ( x ) B ( x ) . С этой целью нам нужно продемонстрировать тот факт, что любое решение q заданного неравенства будет также решением неравенства C ( x ) D ( x ) , и наоборот: любое решение неравенства C ( x ) D ( x ) будет решением заданного неравенства A ( x ) B ( x ) .

Мы приняли, что q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) , тогда верным будет числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Отсюда по разностному определению неравенства выводим, что A ( q ) − B ( q ) 0 .

Выражение A ( q ) − B ( q ) можно записать в виде A ( q ) + ( C ( q ) − C ( q ) ) − B ( q ) + ( D ( q ) − D ( q ) ) , что является тем же самым, ( A ( q ) − C ( q ) ) + C ( q ) − ( B ( q ) − D ( q ) ) − D ( q ) . Выражения A ( x ) и C ( x ) , B ( x ) и D ( x ) по условию тождественно равны, тогда: A ( q ) = C ( q ) и B ( q ) = D ( q ) , откуда A ( q ) − C ( q ) = 0 и B ( q ) − D ( q ) = 0 . Таким образом, ( A ( q ) − C ( q ) ) + C ( q ) − ( B ( q ) − D ( q ) ) − D ( q ) = 0 + C ( q ) − 0 − D ( q ) = C ( q ) − D ( q ) . Мы продемонстрировали, что значение выражения A ( q ) − B ( q ) равно значению выражения C ( q ) − D ( q ) , а поскольку A ( q ) − B ( q ) 0 , то и C ( q ) − D ( q ) 0 . Отсюда делаем вывод, что C ( q ) D ( q ) . И крайнее неравенство означает, что q – решение неравенства C ( x ) D ( x ) .

Таким же образом доказывается, что любое решение неравенства C ( x ) D ( x ) будет решением и неравенства A ( x ) B ( x ) , тем самым будет доказано и исходное утверждение.

Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.

Покажем пример использования.

Рассмотрим неравенство x > 2 + 6 . В правой части возможно заменить сумму значением так, чтобы получилось равносильное неравенство x > 8 .

В неравенстве 3 · ( x + 1 ) − 2 · x + 11 ≤ 2 · y + 3 · ( y + 1 ) + x , в обоих его частях мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получив в итоге равносильное неравенство x + 14 ≤ 5 · y + 3 + x . Если детально разобрать наши действия, то мы заменили левую часть данного неравенства тождественно равным ей выражением x + 14 , а правую часть – тождественно равным ей выражением 5 · y + 3 + x на области допустимых значений переменных x и y заданного неравенства.

Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств.

1. Прибавление или вычитание из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.

Доказательство 2

Приведем обоснование указанного утверждения. Допустим, задано неравенство A ( x ) B ( x ) и некое число c . Необходимо доказать, что заданному равносильно неравенство A ( x ) + c B ( x ) + c , которое мы получим, прибавив к обеим частям исходного неравенства число c . Продемонстрируем, что любое решение q заданного неравенства будет также и решением неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c , и наоборот.

Мы приняли, что q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) , тогда верно следующее: A ( q ) B ( q ) . Из свойств числовых неравенств следует, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавить любое число. Мы прибавим число c к обеим частям крайнего неравенства, получим A ( q ) + c B ( q ) + c , и это означает, что q служит решением неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c .

Подобным же образом можно доказать, что любое решение неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c будет являться и решением неравенства A ( x ) B ( x ) . Мы приняли, что q — решение неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c , тогда A ( q ) + c B ( q ) + c , из обеих частей вычтем число c , получим A ( q ) B ( q ) , где q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) .

Таким образом, неравенства A ( x ) B ( x ) и A ( x ) + c B ( x ) + c являются равносильными. Для наглядности укажем пример: x > 2 и x − 5 > 2 − 5 – равносильные неравенства, а, учитывая рассматриваемое выше утверждение, равносильным им является и неравенство x − 5 > − 3 .

1. Свойство, которое мы доказали выше, возможно расширить: прибавив к левой и правой частям неравенства одно и то же выражение с учетом соблюдения ОДЗ данного неравенства, получим равносильное неравенство.

Пример 3

Исходному неравенству x 7 будет равносильно неравенство x + ( 12 · x − 1 ) 7 + ( 12 · x − 1 ) .

1. Указанные выше равносильные преобразования дают как следствие еще одно действие, пожалуй, основное в процессе преобразования неравенств: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком служит равносильным преобразованием.

Пример 4

Исходному неравенству 3 · x − 5 · y > 12 равносильно неравенство 3 · x > 12 + 5 · y .

1. Равносильным преобразованием также является умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число. И, умножив (или разделив) обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный ( на > , > на , ≤ на ≥ , а ≥ на ≤ ), получим равносильное неравенство.

Доказательство 3

Докажем сначала первую часть утверждения. Допустим, задано неравенство A ( x ) B ( x ) и c – некое положительное число. Приведем доказательство, что A ( x ) B ( x ) и A ( x ) · c B ( x ) · c — равносильные неравенства. Примем q как решение заданного неравенства, в таком случае верным будет числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Опираясь на свойства числовых неравенств, можем утверждать, что, умножив обе части верного числового неравенства на положительное число, получим верное числовое неравенство. Производим умножение на заданное число c , что дает нам A ( q ) · c B ( q ) · c . Это значит, что q — решение неравенства A ( x ) · c B ( x ) · c .

Теперь в обратную сторону: примем q как решение неравенства A ( x ) · c B ( x ) · c , в таком случае: A ( q ) · c B ( q ) · c . Разделим обе части этого числового неравенства на положительное число c (опираясь на свойства числовых неравенств), что даст нам верное числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Отсюда можно сделать вывод, что q — решение неравенства A ( x ) B ( x ) . Так, мы доказали, что при положительном числе c неравенства A ( x ) B ( x ) и A ( x ) · c B ( x ) · c являются равносильными.

Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.

Задано неравенство 2 · x ≤ 5 . Умножим его левую и правую части на положительное число 3 , что даст нам равносильное неравенство 6 · x ≤ 15 .

Задано неравенство — 2 3 · z 1 . Разделим левую и правую его части на отрицательное число — 2 3 , сменив знак неравенства. Получим z > — 1 1 2 — неравенство, равносильное заданному.

Расширим и это свойство неравенств:

• умножив обе части заданного неравенства на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства, не изменяющее ОДЗ, получим равносильное неравенство;
• умножив обе части неравенства на одно и то же выражение, отрицательное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства и не изменяющее ОДЗ, а также изменив знак равенства на противоположный, получим равносильное неравенство.

Пример 7

Задано неравенство x > 1 . Умножим его правую и левую части на выражение x 2 + 1 , положительное на всей ОДЗ, и получим равносильное неравенство x · ( x 2 + 1 ) > 1 · ( x 2 + 1 ) .

В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

Результат неравносильных преобразований неравенств

Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.

Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.

Разберем примеры для лучшего понимания теории.

Пусть заданы неравенства x > − 2 и 1 x — 1 x + x > — 2 . Решением первого будет числовой промежуток ( − 2 , + ∞ ) , а второго – множество — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ .

Пусть необходимо решить второе неравенство.

Конечно, сазу приходит мысль об упрощении левой части приведением слагаемых, произведя замену просто на х, что даст переход к простому неравенству x > − 2 . Однако мы намеренно не учтем, что переход надо осуществить на ОДЗ переменной х ( х ≠ 0 ) , тогда предложенное выше преобразование даст нам неравносильное неравенство x > − 2 , а следовательно – неверный ответ ( − 2 , + ∞ ) взамен нужного — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ .

Посмотрим с другой стороны:

Мы решим неравенство x > − 2 . При этом нам захотелось заменить его якобы равносильным неравенством 1 x — 1 x + x > — 2 . Однако оно не является таковым: нуль не служит его решением, однако служит решением исходного неравенства. Суть в том, что выражение в его левой части тождественно равно не на всей области допустимых значений исходного неравенства: когда х = 0 , неравенство не равно x (при х = 0 оно не определено). Совершенные действия приведут нас к неверному ответу — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ взамен правильного ( − 2 , + ∞ ) .

Признак вероятного неравносильного преобразования – сужение области допустимых значений. Вновь обратимся к примеру выше: когда мы производили переход от неравенства x > − 2 к неравенству 1 x — 1 x + x > — 2 , произошло сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел до множества без нуля. Такое положение вещей точно указывает на то, что полученное в итоге неравенство никак не будет равносильным исходному, т.е. такой переход не приведет к необходимому верному результату.

Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Видео:Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
2. a > b и b > и

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Правила линейных неравенств

1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

• 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

• Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

• Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x
  

  Видео:10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

  

  Решение линейных неравенств

  Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

  Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

  

  Равносильные преобразования

  Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

  Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

  Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

  Видео:СИСТЕМА НЕРАВЕНСТВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

  

  Метод интервалов

  Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

  Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

  Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

  Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

  Как решаем:

  В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

  Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  

  Определим знаки на промежутках.

  Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

  Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

  Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

  

  Графический способ

  Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

  Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

  Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

  Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

  Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

  Видео:Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

  

  Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

  Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

  

  Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

  Содержание страницы:

  • Неравенства
  • Линейные неравенства

  Видео:ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА - Как решать линейные неравенства // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

  

  Неравенства

  Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

  ≥ больше или равно,

  ≤ меньше или равно,

  то получится неравенство.

  Линейные неравенства

  Линейные неравенства – это неравенства вида:

  a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

  где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

  Примеры линейных неравенств:

  3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

  Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

  x c x ≤ c x > c x ≥ c

  где c – некоторое число.

  Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

  • Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .

  Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

  • Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .

  Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

  • Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

  Таблица числовых промежутков

  

  Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
  x c	x ∈ ( − ∞ ; c )
  x ≤ c		x ∈ ( − ∞ ; c ]
  x > c		x ∈ ( c ; + ∞ )
  x ≥ c	Алгоритм решения линейного неравенства Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов: a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a. Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a . Если a 0 , то знак неравенства меняется на противоположный , неравенство приобретает вид x ≥ b a . Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков. Примеры решения линейных неравенств: №1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. − 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 ) Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) №2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14 6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4 3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет. x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно). №1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x − 6 x ≤ − 1 + 1 Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа. Ответ: x – любое число x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) x ∈ ℝ №2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. x + 6 − 9 x > − 8 x + 48 − 8 x + 8 x > 48 − 6 Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ. Квадратные неравенства Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная. Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет. Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4). Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 . Отметить на числовой прямой корни трехчлена. Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые. Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный). Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A ) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x . Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий. Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий. Выбрать подходящие интервалы (или интервал). Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +. Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -. Примеры решения квадратных неравенств: №1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 1, c = − 12 D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ . Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = − 2 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1 x 1 = − 2, x 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − . Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +. Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ] №3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = 4 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − . Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 5, c = − 6 D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -. Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 ) №5. Решить неравенство x 2 4. Решение: Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения. ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − . Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 ) №6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0. Решение: Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0. x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже. Дробно рациональные неравенства Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов: f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0 Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю). Примеры дробно рациональных неравенств: x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3 Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов. Алгоритм решения дробно рациональных неравенств: Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве): f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0 Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя . Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя . В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x . Вне зависимости от знака неравенства при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые . Если знак неравенства строгий , при нанесении на ось x нули числителя выколотые . Если знак неравенства нестрогий , при нанесении на ось x нули числителя жирные . Расставить знаки на интервалах. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ. Примеры решения дробно рациональных неравенств: №1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0. Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0. x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это. Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0. x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) . Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x . При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда. Расставляем знаки на интервалах. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ. Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом. Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0. 3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0 3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0 − 5 x − 37 x + 8 ≤ 0 Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0. x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4 x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0. x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства). Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x . При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда. Расставляем знаки на интервалах. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : − 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ. Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -. В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ ) №3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0. ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1 x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0. x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства). Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x . При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда. Расставляем знаки на интервалах. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ. Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) Системы неравенств Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой. Пример системы неравенств: Алгоритм решения системы неравенств Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x . Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x . Нанести решения первого и второго неравенств на ось x . Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ. Примеры решений систем неравенств: №1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом. Решаем первое неравенство системы. 2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий. Решаем второе неравенство системы. − 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный. Графическая интерпретация решения: Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий. Наносим оба решения на ось x . Выбираем подходящие участки и записываем ответ. Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные. №2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом. Решаем первое неравенство системы. 2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий. Решаем второе неравенство системы. 3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения: Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий. Наносим оба решения на ось x . Выбираем подходящие участки и записываем ответ. Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) №3. Решить систему неравенств 5 − x Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом. Решаем первое неравенство системы. Графическая интерпретация решения: Решаем второе неравенство системы 2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения: Наносим оба решения на ось x . Выбираем подходящие участки и записываем ответ. Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений. №4. Решить систему неравенств 0 2 x + 3 ≤ x 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом. Решаем первое неравенство системы. Графическая интерпретация решения первого неравенства: Решаем второе неравенство системы Решаем методом интервалов. a = − 1, b = 2, c = 3 D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16 D > 0 — два различных действительных корня. x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1 Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными. Графическая интерпретация решения второго неравенства: Наносим оба решения на ось x . Выбираем подходящие участки и записываем ответ. Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ . Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные. 📸 Видео Как решать тригонометрические неравенства?Скачать ЧТО ТАКОЕ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ? ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #методинтерваловСкачать Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные фактыСкачать Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать Как решать неравенства? 9 - 11 класс. Вебинар | Математика TutorOnlineСкачать Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Сера — химические свойства, получение, соединения. Нитрат кальция: способы получения и химические свойства Кальций: способы получения и химические свойства Гидроксид натрия: способы получения и химические свойства Гидроксид кальция: способы получения и химические свойства Получение бензола Разница между глюкозой и сахарозой Гидроксид калия: способы получения и химические свойства