К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Содержание
  1. К какому виду можно отнести следующее уравнение?
  2. Квадратные уравнения?
  3. К какому виду можно отнести следующее уравнение?
  4. Х² + 8х + ?
  5. Как решать неполные квадратные уравнения?
  6. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Помогите решить уравнения?
  7. Неполное квадратное уравнение : Решите уравнение 2x + 3x ^ 2 = 0 Помогите?
  8. Помоготе решыть уровнение — 2х² — 4 = 0 Тема : Квадратные уравнения?
  9. Решите неполное квадратное уравнение?
  10. Определение неполные квадратные уравнение?
  11. X2 — 16 = 0 неполное квадратное уравнение?
  12. К какому виду можно отнести следующее уравнение
  13. К какому виду можно отнести следующее уравнение?
  14. Квадратные уравнения?
  15. К какому виду можно отнести следующее уравнение?
  16. Х² + 8х + ?
  17. Как решать неполные квадратные уравнения?
  18. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Помогите решить уравнения?
  19. Неполное квадратное уравнение : Решите уравнение 2x + 3x ^ 2 = 0 Помогите?
  20. Помоготе решыть уровнение — 2х² — 4 = 0 Тема : Квадратные уравнения?
  21. Решите неполное квадратное уравнение?
  22. Определение неполные квадратные уравнение?
  23. X2 — 16 = 0 неполное квадратное уравнение?
  24. К какому виду можно отнести следующее уравнение? x4−10×2+9=0 Выберите правильный ответ: 1) Уравнение, сводящееся к квадратному 2)Приведенное квадратное уравнение 3) Неполное квадратное уравнение 4) Квадратное уравнение общего вида 5) Нет правильного ответа
  25. Виды дифференциальных уравнений
  26. Дифференциальные уравнения первого порядка
  27. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )
  28. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )
  29. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )
  30. Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a
  31. Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0
  32. Дифференциальные уравнения второго порядка
  33. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R
  34. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R
  35. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )
  36. Дифференциальные уравнения высших порядков
  37. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  38. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )
  39. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )
  40. Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Видео:Решите уравнение ★ x^6-2x^5-x^4+3x^3+x^2-2x-1=0Скачать

Решите уравнение ★ x^6-2x^5-x^4+3x^3+x^2-2x-1=0

К какому виду можно отнести следующее уравнение?

Алгебра | 5 — 9 классы

К какому виду можно отнести следующее уравнение?

X4−10x ^ 2 + 9 = 0 1.

Квадратное уравнение общего вида 2.

Нет правильного ответа 3.

Неполное квадратное уравнение 4.

Уравнение, сводящееся к квадратному 5.

Приведенное квадратное уравнение.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

4. Уравнение сводящееся к квадратному, путем замены переменной, например, х² = а, получаем :

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Решите уравнение x^2+3x=54. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Решите уравнение x^2+3x=54. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Квадратные уравнения?

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Как решать уравнения 4 степени Решите уравнение четвертой степени Разложить на множители Безу столбиСкачать

Как решать уравнения 4 степени Решите уравнение четвертой степени Разложить на множители Безу столби

К какому виду можно отнести следующее уравнение?

К какому виду можно отнести следующее уравнение?

X4−10×2 + 9 = 0 Выберите правильный ответ : 1) Уравнение, сводящееся к квадратному 2)Приведенное квадратное уравнение 3) Неполное квадратное уравнение 4) Квадратное уравнение общего вида 5) Нет правильного ответа.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Простое решение сложного уравнения ➜ Решите уравнение ➜ x⁴-2x³-13x²+14x-3=0Скачать

Простое решение сложного уравнения ➜ Решите уравнение ➜ x⁴-2x³-13x²+14x-3=0

Х² + 8х + ?

Определить недостающий член квадратного уравнения трехчлена так, чтобы представить в виде квадратного двухчлена.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Как решать кубические уравнения Решите уравнение 3 степени 9 класс Разложить на множители ДелениеСкачать

Как решать кубические уравнения Решите уравнение 3 степени 9 класс Разложить на множители Деление

Как решать неполные квадратные уравнения?

Как решать неполные квадратные уравнения?

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Что делать? ➜ Решите уравнение: x^2-5[x]+4=0Скачать

Что делать? ➜ Решите уравнение: x^2-5[x]+4=0

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Помогите решить уравнения?

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Помогите решить уравнения.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!

Неполное квадратное уравнение : Решите уравнение 2x + 3x ^ 2 = 0 Помогите?

Неполное квадратное уравнение : Решите уравнение 2x + 3x ^ 2 = 0 Помогите!

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0

Помоготе решыть уровнение — 2х² — 4 = 0 Тема : Квадратные уравнения?

Помоготе решыть уровнение — 2х² — 4 = 0 Тема : Квадратные уравнения.

Розвязывания неполных квадратных уравнений.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Как решить алгебраическое уравнение 4-й степени x^4+4x^3+x^2−6x+2=0?Скачать

Как решить алгебраическое уравнение 4-й степени x^4+4x^3+x^2−6x+2=0?

Решите неполное квадратное уравнение?

Решите неполное квадратное уравнение.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:№5 Кубическое уравнение x^3-3x^2-4х+12=0 2 способа решения Разложить на множители Безу Как решить урСкачать

№5 Кубическое уравнение x^3-3x^2-4х+12=0 2 способа решения Разложить на множители Безу Как решить ур

Определение неполные квадратные уравнение?

Определение неполные квадратные уравнение.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?

X2 — 16 = 0 неполное квадратное уравнение?

X2 — 16 = 0 неполное квадратное уравнение.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос К какому виду можно отнести следующее уравнение?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Алгебра вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Решение задания смотри на фотографии.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

1) 3 — 2x = 0, 2 — 2x = — 2, 8 x = 1, 4 2)5х + 1 = 20 5х = 19 х = 3, 8 3) 2у — 1 = 1, 6 2у = 2, 6 у = 1, 3 номер 2 1) х + 7 = 49 х = 42 2)6х — 1 = 1 6х = 2 х = 2 / 6 х = 1 / 3 4).

Видео:ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбикомСкачать

ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбиком

К какому виду можно отнести следующее уравнение

Видео:Хитрый способ решения ★ x^4-2x^3+x=30 ★ Решите уравнениеСкачать

Хитрый способ решения ★ x^4-2x^3+x=30 ★ Решите уравнение

К какому виду можно отнести следующее уравнение?

Алгебра | 5 — 9 классы

К какому виду можно отнести следующее уравнение?

X4−10x ^ 2 + 9 = 0 1.

Квадратное уравнение общего вида 2.

Нет правильного ответа 3.

Неполное квадратное уравнение 4.

Уравнение, сводящееся к квадратному 5.

Приведенное квадратное уравнение.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

4. Уравнение сводящееся к квадратному, путем замены переменной, например, х² = а, получаем :

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)

Квадратные уравнения?

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Быстрый способ решения уравнения ➜ 9x⁴-6x³-18x²-2x+1=0Скачать

Быстрый способ решения уравнения ➜ 9x⁴-6x³-18x²-2x+1=0

К какому виду можно отнести следующее уравнение?

К какому виду можно отнести следующее уравнение?

X4−10×2 + 9 = 0 Выберите правильный ответ : 1) Уравнение, сводящееся к квадратному 2)Приведенное квадратное уравнение 3) Неполное квадратное уравнение 4) Квадратное уравнение общего вида 5) Нет правильного ответа.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Задача Декарта ➜ Решите уравнение: x⁴-4x³-19x²+106x-120=0Скачать

Задача Декарта ➜ Решите уравнение: x⁴-4x³-19x²+106x-120=0

Х² + 8х + ?

Определить недостающий член квадратного уравнения трехчлена так, чтобы представить в виде квадратного двухчлена.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Решите уравнение ➜ x²-x³=12Скачать

Решите уравнение ➜ x²-x³=12

Как решать неполные квадратные уравнения?

Как решать неполные квадратные уравнения?

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:ВСЕ ТИПЫ 20 ЗАДАНИЕ 2 ЧАСТЬ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать

ВСЕ ТИПЫ 20 ЗАДАНИЕ 2 ЧАСТЬ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Помогите решить уравнения?

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Помогите решить уравнения.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Неполное квадратное уравнение : Решите уравнение 2x + 3x ^ 2 = 0 Помогите?

Неполное квадратное уравнение : Решите уравнение 2x + 3x ^ 2 = 0 Помогите!

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Видео:№5 Неполное квадратное уравнение х^2-3x=0 Как разложить на множители Вынести х за скобку Как решитьСкачать

№5 Неполное квадратное уравнение х^2-3x=0 Как разложить на множители Вынести х за скобку Как решить

Помоготе решыть уровнение — 2х² — 4 = 0 Тема : Квадратные уравнения?

Помоготе решыть уровнение — 2х² — 4 = 0 Тема : Квадратные уравнения.

Розвязывания неполных квадратных уравнений.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Решите неполное квадратное уравнение?

Решите неполное квадратное уравнение.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Определение неполные квадратные уравнение?

Определение неполные квадратные уравнение.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

X2 — 16 = 0 неполное квадратное уравнение?

X2 — 16 = 0 неполное квадратное уравнение.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос К какому виду можно отнести следующее уравнение?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Алгебра вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

А)(у — 4)(у + 4) / 10ху * 5у / 3(у + 4) = у — 4 / 6х б) — а — в / а * 3ав / (а — в)(а + в) = — 3в / а + в Ну как — то так.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

(у — 4)(у + 4) * 5у / (2х * 5у)3(у + 4) = (у — 4) / 6х = — ( а — в)а * а * зв / а (а + в)(а — в) = — 3в / (а + в).

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Х ^ 4 — x ^ 3 — 4x² + 2x + 4 = 0 методом герона х ^ 4 — x³ — 4x² + 2x + 4⊥x — 2 x ^ 4 — 2x³ x³ + x² — 2x — 2 — — — — — — — — — — — — — — x³ — 4x² x³ — 2x² — — — — — — — — — — — — — — — — — 2x² + 2x x³ + x² — 2x — 2 = 0 — 2x² + 4x тоже методом герона ..

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

Решение в прикрепленном файле.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

— 6 * 9(при возведение в квадрат ( — 3) дает 9) = — 54 — 1 * 4(при возведение в квадрат( — 2) дает 4) = — 4.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

— 6 * ( — 3) ^ 2 = — 6 * 9 = — 54 ; ( — 1) ^ 3 * ( — 2) ^ 2 = — 1 * 4 = — 4.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

А1 — 1 А2 — 2 А3 — 3 В — 17. 5 С я не уверен но вроде x = 5 Оцени решение и поставь спасибо.

К какому виду можно отнести следующее уравнение x2 3x 4 0

(26 * 3) + (33÷3) = 87 помойму так меньше пока не нашел.

К какому виду можно отнести следующее уравнение? x4−10×2+9=0 Выберите правильный ответ: 1) Уравнение, сводящееся к квадратному 2)Приведенное квадратное уравнение 3) Неполное квадратное уравнение 4) Квадратное уравнение общего вида 5) Нет правильного ответа

Поделись вопросом в социальных сетях!

Если Вы не получили ответ на свой вопрос, то предлагаем воспользоваться поиском, чтобы найти похожие вопросы и ответы по предмету -> Алгебра. А если Вы знаете правильный ответ сами, то будем признательны если Вы ответите, воспользовавшись формой ниже.

Виды дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .

Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .

Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .

Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:

y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0

Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :

  • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
  • действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
  • комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

  • y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
  • y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
  • y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.

В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .

Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

  • находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
  • записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Поделиться или сохранить к себе: