К чему могут привести преобразования приводящие к уравнению следствию

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Видео:Равносильность уравнений. Уравнение – следствие | Алгебра 11 класс #24 | ИнфоурокСкачать

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Видео:11 класс, 26 урок, Равносильность уравненийСкачать

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию

Данную презентацию можно использовать при проведении урока алгебры и начала анализа в 11 классе при изучении темы «Уравнения — следствия» по УМК авторов С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин

Просмотр содержимого документа
«Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию»

• Какие уравнения называют уравнениями-следствиями?
• Что называют переходом к уравнению-следствию
• Какие преобразования приводят к уравнению-следствию?

Заменить уравнение равносильным

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Влияние на корни уравнения

Возведение уравнения в ЧЕТНУЮ степень

f(x)=g(x) ( f(x) ) n =(g(x)) n

Может привести к появлению посторонних корней

Потенцирование логарифмических уравнений, т.е. замена:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g (x)

Может привести к появлению посторонних корней

Освобождение уравнения от знаменателей:

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел x i , для которых или

Замена разности f(x)-f(x) нулем, т.е. приведение подобных членов

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел, для каждого из которых функция f(x) не определена.

Если при решении данного уравнения совершен переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения –следствия являются корнями исходного уравнения.

Проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

• Выполнить № 8.24 (б,г), стр. 236
• № 8.25(б,г)
• 8.28 (б,г)
• 8.29 (б,г)

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

1. Понятие уравнения и его корней

Равенство с переменной называ­ется уравнением. В общем виде урав­нение с одной переменной x записы­вают так: f (я) = g (я).

Под этой краткой записью пони­мают математическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны.

2х = —1 — линейное уравнение; х 2 — 3х + 2 = 0 — квадратное уравнение; чJ_x + 2 = _x — иррациональное уравнение (содер­жит переменную под знаком корня).

Корнем (или решением) уравне­ния с одной переменной называется значение переменной, при подста­новке которого в уравнение получа­ется верное равенство.

Решить уравнение — значит най­ти все его корни (и обосновать, что других корней нет) или доказать, что корней нет.

x = 2 — корень уравнения /x + 2 = x, так как при x = 2 получаем верное равенство: -Д = 2, то есть 2 = 2.

2. Область допустимых значений (ОДЗ)

Областью допустимых зна­чений (или областью опреде­ления) уравнения называется общая область определения для функций f (x) и g (x), стоя­щих в левой и правой частях уравнения.

Для уравнения л/x + 2 = x ОДЗ: x + 2 1 0, то есть x 1 —2, так как область определения функции f (x) = yj x + 2 опре­деляется условием: x + 2 1 0, а область определения функции g (x) = x — множе­ство всех действительных чисел.

Если каждый корень первого уравне­ния является корнем второго, то второе уравнение называется следствием пер­вого уравнения.

Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последую­щего, то получаем уравнения-следствия.

При использовании уравнений-след­ствий не происходит потери корней ис­ходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому при исполь­зовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в ис­ходное уравнение является составной час­тью решения (см. пункт 5 этой таблицы).

► Возведем обе части уравне­ния в квадрат:

(x + 2) = x 2 , x + 2 = x 2 , x 2 — x — 2 = 0, x₁ = 2, x₂ = —1. Проверка. x = 2 — корень (см. выше); x = —1 — посторонний ко­рень (при х = —1 получаем не­верное равенство 1 = —1). Ответ: 2. 2 = х обла­стью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так. ОДЗ: R, поскольку функции f (x) = x 2 и g (x) = x имеют области определения R.

Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как об­ласти определения функции f (x), так и области определения функции g (x) (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каж­дый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.

Например, в уравнении л/x — 2 + /1 — x = x функция g (x) = x определена при всех действительных значениях x, а функция f (x) = л/x — 2 + VT — x ко при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрица­тельные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается систе-

мой -! из которой получаем систему -! не имеющую решений.

[1 — x 10, [x 2 — 1 = 0. Но тогда верно, что (х — 1)(х + 1) = 0. Последнее урав­нение имеет два корня: х = 1 и х = —1. Подставляя их в заданное уравнение, видим, что только корень х = 1 удовлетворяет исходному уравнению. По­чему это случилось?

Это происходит поэтому, что, используя уравнения-следствия, мы гаран­тируем только то, что корни заданного уравнения не теряются (каждый корень первого уравнения является корнем второго). Но второе уравнение, кроме корней первого уравнения, имеет еще и другой корень, который не яв­ляется корнем первого уравнения. Для первого уравнения этот корень явля­ется посторонним, и, чтобы его отсеять, выполняется проверка подстановкой корней в исходное уравнение. (Более полно причины появления посторон­них корней рассмотрены в таблице 7 на с. 54.) Таким образом, чтобы пра­вильно применять уравнения-следствия для решения уравнений, необходи­мо помнить еще один о р и е н т и р: при использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней, и поэтому проверка подстанов­кой корней в исходное уравнение является составной частью решения.

Схема применения этих ориентиров дана в таблице 6. В пункте 3 этой таблицы приведено решение уравнения

Замечание. Переход от данного уравнения к уравнению-следствию мож­но обозначить специальным значком ^, но его использование для записи решения не является обязательным. Вместе с тем, если этот значок запи­сан, то это свидетельствует о том, что мы воспользовались уравнениями- следствиями, и поэтому обязательно в запись решения необходимо вклю­чить проверку полученных корней.

С понятием равносильности вы знакомы еще из курса алгебры 7 класса, где равносильными назывались те уравнения, которые имели одни и те же корни. Заметим, что равносильными считались и такие два уравнения, ко­торые не имели корней. Формально будем считать, что и в этом случае урав­нения имеют одни и те же корни, поскольку ответы к таким уравнениям одинаковы: «уравнения не имеют корней» (точнее: одинаковыми являются множества корней таких уравнений — они оба пустые, что обозначается символом 0).

В курсе алгебры и начал математического анализа мы будем рассматри­вать более общее понятие равносильности, а именно: равносильность на определенном множестве.

Два уравнения называются равносильными на некотором множе-
стве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни, то
есть каждый корень первого уравнения является корнем второго

и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем
первого.

Для уравнений, заданных на множестве всех действительных чисел (например, для линейных), мы можем однозначно дать ответ на вопрос: «Равносильны ли данные уравнения?» Например, уравнения х + 3 = 0 и 2х + 6 = 0 — равносильные, поскольку оба имеют одинаковый корень х = —3 и других корней не имеют, таким образом, каждое из них имеет те же решения, что и второе.

При рассмотрении равносильности уравнений на множестве, которое от­личается от множества всех действительных чисел, ответ на вопрос «Равно­сильны ли данные уравнения?» может существенно зависеть от того, на каком множестве мы рассматриваем эти уравнения. Например, если рас­смотреть уравнения:

то, как было показано выше, уравнение (3) имеет единственный корень х = 1, а уравнение (4) — два корня: х = 1 и х = —1. Таким образом, на множестве всех действительных чисел эти уравнения не являются равносильными, по­скольку у уравнения (4) есть корень х = —1, которого нет у уравнения (3). Но на множестве положительных действительных чисел эти уравнения равно­

сильны, поскольку на этом множестве уравнение (3) имеет единственный положительный корень х = 1 и уравнение (4) также имеет единственный положительный корень х = 1. Следовательно, на множестве положительных чисел каждое из этих уравнений имеет те же решения, что и второе.

Укажем, что множество, на котором рассматривается равносильность уравнений, как правило, не задается искусственно (как в последнем слу­чае), а чаще всего таким множеством является ОДЗ исходного уравнения. Договоримся, что далее

все равносильные преобразования уравнений (а также неравенств и си­стем уравнений и неравенств) мы будем выполнять на ОДЗ исходного урав­нения (неравенства или системы). Отметим, что в том случае, когда ОДЗ за­данного уравнения является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем ее записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных уравнений). И в других случаях главное — не записать ОДЗ в решение уравнения, а реально учесть ее при выполнении равносильных преобразований данного уравнения.

Например, для уравнения Ix + 2 = x ОДЗ задается неравенством х + 2 1 0. Когда мы переходим к уравнению х + 2 = х 2 , то для всех его корней это уравнение является верным равенством. Тогда выражение х 2 , стоящее в пра­вой части этого равенства, всегда неотрицательно (х 2 1 0), таким образом, и равное ему выражение х + 2 также будет неотрицательным: х + 2 1 0. Но это и означает, что ОДЗ данного уравнения (х + 2 1 0) учтено автоматически для всех корней второго уравнения и поэтому при переходе от уравнения yjx + 2 = x к уравнению х + 2 = х 2 ОДЗ заданного уравнения можно не запи­сывать в решение.

Для выполнения равносильных преобразований попробуем выделить общие ориентиры, аналогичные соответствующим ориентирам получения уравнений-следствий.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования уравне­ний, необходимо учесть ОДЗ данного уравнения — это и есть первый о р и — ентир для выполнения равносильных преобразований уравнений.

По определению равносильности уравнений необходимо гарантировать, чтобы каждый корень первого уравнения был корнем второго и наоборот — каждый корень второго уравнения был корнем первого. Для первой части этого требования мы уже выделили общий ориентир: достаточно гарантиро­вать сохранение правильности равенства при переходе от первого уравнения ко второму (с. 49).

Но тогда, чтобы выполнить вторую часть этого требования, достаточно второе уравнение рассмотреть как верное равенство (то есть взять такое значение переменной, которое является корнем второго уравнения) и га­рантировать, что при переходе к первому верное равенство сохраняется (этот корень остается и корнем первого уравнения). Фактически из опреде­ления равносильности уравнений получаем, что каждое из равносильных уравнений является следствием другого уравнения). Таким образом, при

выполнении равносильных преобразований мы должны гарантировать со­хранение правильности равенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях — это и является вторым о р и — ен т и р ом для решения уравнений с помощью равносильных преобразова­ний. (Соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 6.)

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований урав-

_{——- = 0, достаточно учесть его ОДЗ: х + 1 Ф 0 и условие равенства}

дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Также следует обратить внима­ние на то, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности равенства.

Запись решения в этом случае может быть такой:

= 0. ► ОДЗ: х + 1 Ф 0. Тогда х 2 —1 = 0. Отсюда х = 1 (удовлетворяет

условию ОДЗ) или х = —1 (не удовлетворяет условию ОДЗ). Ответ: 1. 2 + л/ x — 2 = 6x + >/ x — 2. Перенесем из правой части уравнения в левую слагаемое tx — 2 с противоположным знаком и приведем подобные члены.

Получим х 2 — 6х = 0, х₁ = 0, х₂ = 6

к уравнению, ОДЗ которого шире, чем ОДЗ заданного уравнения;

Приведение обе­их частей урав­нения к обще­му знаменателю (при сокращении знаменателя)

4 + 7 = 4 x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6 Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей (х + 2)(х + 3).

4 (х + 3) + 7 (х + 2) = 4,

Возведение обеих частей иррацио­нального уравне­ния в квадрат

yj2x +1 =Vx. 2х + 1 = х,

б) выполне­ние преоб­разований, при которых происходит неявное умно­жение на нуль;

Умножение обеих частей уравнения на выражение с пере­менной

х 2 + х + 1 = 0. Умножим обе части уравнения на х —1.

(х — 1)(х 2 + х + 1) = 0. Получим х 3 — 1 = 0, х = 1

Как получить правильное (или полное) решение

Пример правильного (или полного) решения

при решении уравнения

х₁ = 0 не является корнем заданного уравнения

Выполнить про­верку подстановкой корней в заданное уравнение

x 2 + V x — 2 = 6x + >/ x — 2.

► х 2 — 6х = 0, х₁ = 0, х₂ = 6. Проверка показывает, что х₁ = 0 — посторонний корень, х₂ = 6 — корень.

Ответ: 6. x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6

► 4 (x + 3) + 7 (x + 2) = 4;

11x = —22, x = —2. Проверка показывает, что х = -2 — посторонний корень. Ответ: корней нет. 2 + х + 1 = 0.

► D = —3 2 = (2х + 1) 2 . Получим 3х 2 + 6х = 0, х₁ = 0, х₂ = —2

2. Потеря корней

Явное или неяв­ное сужение ОДЗ заданного урав­нения, в частно­сти выполнение преобразований, в ходе которых происходит не­явное деление на нуль

1. Деление обеих ча­стей уравнения на выражение с пе­ременной

Поделив обе части уравнения на х, получим

2. Сложение, вычи­тание, умноже­ние или деление обеих частей уравнения на выражение, ОДЗ которого уже, чем ОДЗ задан­ного уравнения

Если к обеим частям уравнения прибавить [x, то получим уравнение

x 2 + yfx = 1 + yfx, у которого только один корень х = 1

🌟 Видео

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Уравнение следствиеСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Равносильные преобразования уравнений и уравнения-следствияСкачать

Преобразование логических выражений / Упрощение выражений (практика) [Алгебра логики] #6Скачать

Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)Скачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)Скачать

Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Метод Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видамСкачать

Тепловой эффект хим. реакции. Энтальпия. Закон Гесса. Капучинка ^-^Скачать