Известно, что квадратное уравнение вида x 2 + mx + k = 0 имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все возможные значения k при m = −6.
б) Найдите все возможные значения m при k − m = 45.
в) Найдите все возможные значения корней уравнения, если k 2 − m 2 = 2236.
Пусть корни равны a и b. По теореме Виета, a + b = −m и ab = k.
а) Число 6 можно записать в виде суммы двух различных натуральных слагаемых двумя способами 6 = 1 + 5 = 2 + 4, тогда k = 5 или k = 8.
б) Перепишем уравнение в виде ab + a + b = 45, то есть ab + a + b + 1 = 46, (a + 1)(b + 1) = 46. Оба множителя — натуральные числа, не меньшие двух, поэтому они равны 23 и 2. Значит, числа a и b равны 22 и 1, а тогда m = −(1 + 22) = −23.
в) Запишем уравнение в виде (k − m)(k + m) = 2 2 · 13 · 43. Числа k − m и k + m имеют одинаковую четность, поэтому они оба четны. При этом первое число больше (поскольку m 2 − 30x + 56 = 0 имеет корни 2 и 28, либо k − m = 1118, k + m = 2, откуда m = −558, k = 560 и уравнение x 2 − 558x + 560 = 0 не имеет натуральных корней.
Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами
Разделы: Математика
Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.
Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.
Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.
В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.
Понятие квадратного трехчлена и его свойства.
Квадратным трехчленом называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a
0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a 0 ветви направлены вверх.
Выражение x 2 +px+q называется приведенным квадратным трехчленом.
В зависимости от величины дискриминанта D=b 2 — 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:
при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);
при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);
при D 0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а 2 +bx+c и коэффициентами этого
трехчлена существуют соотношения : x1+x2= -b/a,
Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x 2 +px+q : x1+x2= -p,
Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.
Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.
Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и
достаточно выполнения соотношений: D=b 2 -4ac
0; x1•x2=c/a>0.
При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :
а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a 2 -4ac>0.
Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).
Дидактический материал для учащихся.
1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых корни квадратного трехчлена х 2 +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].
2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных положительных корня?
3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?
4. Найдите все значения параметра а , при которых корни уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .
5. Найдите все значения параметра а , при которых один из корней уравнения х 2 -2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?
6. При каких значениях параметра а уравнение 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 имеет хотя бы один корень?
7. При каких значениях параметра а уравнение (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?
8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х 2 -2ах +а=3=0 положительны?
9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х 2 -2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?
10. При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 -2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?
11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-а 2 =0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?
12. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?
13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?
14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х 2 -3ах+2а=0 больше 1/2?
15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х 2 -2ах+а 2 -а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?
16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х 2 -2ах+2(а+1)=0 равна 20?
17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х 2 -2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?
18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х 2 -2ах+6а=0 положительны?
19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х 2 -3ах+4а=0 больше 1?
Видео:Уравнение x^2+px+q=0 имеет корни -6; 4. Найдите q. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Задачи с параметром
1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение ( a — 1) x 2 + 2 x + a — 1 = 0 имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2 x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4 a 2 — 8 a = 0, откуда a = 0 или a = 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О .
2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16 a 2 -4(8 a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4 a 2 -8 a -3 > 0, откуда
| a Ц 7 2 | или a > 1 + | Ц 7 2 |
2. Ответ:
| a О (- Ґ ; 1 – | Ц 7 2 | ) И (1 + | Ц 7 2 | ; Ґ ). |
3. Задача.
Известно, что 
f 2 ( x ) = 6 x — x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 ( x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 ( x ) и f 2 ( x ) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 ( x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx + b и y = ax 2 + bx + c ( a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx + b = ax 2 + bx + c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6 x — x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4 a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2 x — a = 6 x — x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.
4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2 ax -3 a і 0 содержит отрезок [3;6].
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f ( x ) = x 2 -2 ax -3 a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f ( x ) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем
| м н о | a Ј 3, f (3) = 9-9 a і 0, | м н о | 3 a D = 4 a 2 +12 a Ј 0, | м н о | a і 6, f (6) = 36-15 a і 0. |
Решением первой системы является множество (- Ґ ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.
4. Ответ: a О (- Ґ ,1].
5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
| x 2 +2 ax -3 a +7 = 2 x |
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2 a -2) x — 3 a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 + a -6 > 0. Решая неравенство, находим a a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции
| f ( x ) = | x 2 + | ax +2 | a -1 |
6. Решение.
Из условия f (-1) = 1 имеем уравнение
| 1 = | 1+ | — a +2 | a -1 | , |
6. Ответ: a О [2; Ґ ).
7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
| x 2 -2 ax + a 2 — a = 0 |
7. Решение.
Дискриминант уравнения x 2 -2 ax + a 2 — a = 0 равен 4 a . Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x 1 + x 2 = 2 a и x 1 · x 2 = a 2 — a . Отсюда x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 -2 x 1 · x 2 = 2 a 2 +2 a . Решениями неравенства 2 a 2 +2 a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.
📹 Видео
Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 классСкачать
Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
10 вариант ЕГЭ Ященко 2024 математика профильный уровеньСкачать
УРАВНЕНИЕ х²=а корни уравненияСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№28 - Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0.Формула корней кв.ур.)Скачать
5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Уравнение х^2 = аСкачать
Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать
Уравнение имеет два корня такие что их разность равна 17 а разность их кубов равна Ответы ЗФТШ МФТИСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать
№1 Квадратное уравнение х^2+x-6=0 Дискриминант, теорема ВиетаСкачать
#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать
