Изучение уравнений и неравенств в 5 9 классах ответ на билеты

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе

Понятие уравнения формируется у учащихся постепенно в процессе изучения математики в средней школе. Впервые с уравнениями учащиеся знакомятся в начальных классах. Это — уравнение первой степени с одним неизвестным. Уравнение трактуется в 3 классе как равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти [13, с. 29]. Здесь же указывается, что значение переменной, при котором из уравнения получается верное равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что их нет).

Уравнения решаются в начальных классах на основе свойств арифметических действий. Учащиеся решают их с комментированием, то есть, проговаривая выполняемые операции с известными компонентами действий. Приведем примеры (см. таблицу 1).

В курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.

Опр.1. Уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти (Н. Я. Виленкин и др. «Математика. 5 класс», М., 2013).

Учащимся сообщается, что «значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения», приводятся примеры корней уравнений и поясняется, что значит «решить уравнение».

л + 28 = 53 л = 53-28 х = 25

11еизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

у-34 = 26 у = 34 + 26 у — 60

Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

35-2= 19 2 = 35-19 2= 16

Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель

6:23 = 4 6 = 23 • 4 6 = 92

Неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

90 : с = 5 с = 90 : 5 с= 18

Неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

В дальнейшем учение об уравнениях в основной школе (5-9 кл.) развертывается следующим образом.

• 5 класс — определение уравнения первой степени с одним неизвестным; правая и левая части уравнения; корень уравнения и что значит «решить уравнение». Решение уравнений осуществляется на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий.
• 6 класс — решение уравнений с помощью переноса членов уравнения из одной части в другую с заменой знака переносимых членов на противоположный. Если до 6 класса учащиеся пользовались различными правилами: в одних случаях — правилом нахождения неизвестного слагаемого, в других — правилом нахождения неизвестного уменьшаемого, в третьих — правилом нахождения неизвестного вычитаемого и т. д., то теперь, после изучения операций над положительными и отрицательными числами, уравнения решаются одним способом.

В качестве примера рассмотрим решение уравнения: 6.v + 2 = З.г + 8. Перенесем слагаемое Зх из правой части уравнения в левую, а слагаемое 2 — из левой в правую: 6л* — Зл* = 8-2. Упростим левую и правую части уравнения: Зд* = 6. Разделим обе части уравнения на 3, получим: л* = 2. Проверка показывает, что число 2 является корнем данного уравнения.

7 класс — понятие уравнения и его корня; уравнения первой степени с одним неизвестным; решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным; свойства уравнений; алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным; линейное уравнение с двумя неизвестными и его решение; график уравнения с двумя неизвестными; понятие системы двух уравнений с двумя неизвестными и способы её решения: способ подстановки, способ сложения, графический способ. Рассматриваются уравнения вида f (х) • g (х) = 0.

В 7 классе заканчивается изучение линейной функции, линейных уравнений с одним неизвестным и систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

• 8 класс — уравнения с неизвестным в знаменателе; квадратные уравнения; уравнения с параметрами.
• 9 класс — понятие алгебраического уравнения степени п решение алгебраических уравнений; уравнения, сводящиеся к алгебраическим; системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными и способы их решения; иррациональные уравнения, простейшие тригонометрические уравнения.

Мы рассмотрим вопросы методики изучения наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем. Эти классы можно разбить на две группы.

I группа — рациональные уравнения, неравенства и системы. Наиболее важными классами здесь являются линейные уравнения с одним неизвестным, квадратные уравнения, соответствующие классы неравенств, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

II группа — иррациональные и трансцендентные уравнения, неравенства и системы. В состав этой группы входят иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.

Первая группа изучается в курсе основной школы, там формируются навыки решения названных уравнений, неравенств и систем. Вторая группа в этом курсе только начинает изучаться, причем рассматриваются нс все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и начал анализа.

Последовательность изучения различных классов уравнений, неравенств и систем различна в разных учебниках. Можно выделить два основных пути развертывания содержания линии уравнений и неравенств:

• 1. Сначала изучается материал, относящийся к уравнениям и их системам, затем к неравенствам. Раздельное изложение проводится до теории квадратного трехчлена включительно. Дальше, в старших классах, логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения и соответствующие неравенства изучаются в более тесной связи друг с другом.
• 2. Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением соответствующих классов уравнений.

Имеются и промежуточные пути, когда некоторые классы уравнений и неравенств сближены друг с другом по времени изучения, а другие, наоборот, нс связаны. Различные подходы требуют и своей методики, различных приёмов изучения материала. Мы будем придерживаться первого пути.

Видео:Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Методика изучения уравнений и неравенств в средней школе

Тема “Уравнения и неравенства” является одной из самых основных тем школьного курса математики. Она имеет большое внутрипредметное и межпредметное значение. Внутрипредметные связи: тема связана с темой “Функции” и темой “Тождественные преобразования”. Межпредметные связи: тема широко используется в физике и химии. Основная задача темы – освоить способы решения различных видов уравнений и неравенств.

Основными понятиями темы являются:

1. уравнение, неравенство;
2. корень уравнения, решение неравенства;
3. равносильность уравнений, равносильность неравенств.

Понятие уравнение рассматривается дважды: в 5 классе, как равенство, содержащее неизвестное, (здесь понятие вводится конкретно-индуктивным методом через решение задачи, используя картинку с весами) и в 7 классе, где вводится уже точное определение уравнения: уравнение – это равенство, содержащее переменную. Здесь же вводятся понятия “корень уравнения” и “решить уравнение”. В 7 классе вводится и понятие “равносильные уравнения”, формулируются теоремы о равносильных преобразованиях. Эти теоремы формулируются в виде свойств, они не доказываются, а поясняются на примерах.

С числовыми неравенствами 2 5 учащиеся знакомятся в начальной школе. В 5 классе вводится двойное неравенство: 1 , ?, ? называется неравенством.

Понятие “решение неравенства” удобно вводить по аналогии с понятием “корень уравнения”.

А можно ли указать все решения неравенства? Встает вопрос, как изобразить все решения неравенства? Учитель сообщает, что оказывается, решения неравенства изображаются на координатной прямой, а ответ записывается с помощью числовых прямых. После этого необходимо рассмотреть всевозможные случаи неравенств и их решений.

При обучении решению любого вида уравнений и неравенств строго соблюдается методика формирования математических умений. Например, в 5 классе решаются линейные уравнения, которые содержат переменную только в одной части. Записывается на доске уравнение: 52 + (3x – 14) = 62. Что представляет собой левая часть уравнения? Сумма. Назовите слагаемые. Какое слагаемое известно? В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти неизвестное слагаемое? 3x – 14 = 10. Что представляет собой левая часть уравнения? Разность. В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти уменьшаемое? 3x = 24. Что представляет собой левая часть уравнения? Произведение. Назовите множители. Какой множитель известен? В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти неизвестный множитель? x = 8. Как проверить, что число 8 является корнем уравнения? 52 + (3 ? 8 – 14) = 62 ? 62 = 62. После этого составляем и записываем в тетрадь правило решения таких уравнений:

1. определяем вид уравнения по последнему действию;
2. определить, что неизвестно и найти неизвестное по соответствующему правилу;
3. в случае необходимости, повторит шаги 1 – 2;
4. найти корень уравнения;
5. выполнить проверку;
6. записать ответ.

Учитель показывает образец решения на доске. После этого переходим к решению упражнений на отработку каждого шага правила.

Методические основы решения уравнений:

1. определяем условия, когда уравнения не имеет решения;
2. выделяем промежуток, на котором уравнение имеет единственное решение, словесно описываем решение уравнения, вводим символическую запись решения уравнения на этом промежутке;
3. другие решения уравнения, если они есть, выражаем через это решение и записываем все решения данного уравнения.

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

О системе изучения неравенств в 5-6 классах

Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Как в самой математике, так и в ее приложениях с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями.

До прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равны». Поэтому пропедевтическое изучение неравенств должно осуществляться совместно с изучением уравнений. С отношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих отношений дети знакомятся уже в 1 классе при изучении чисел первого десятка. В начальной школе дети должны научиться сравнивать уже простейшие числовые выражения, например такие как а + 3 и а + 1. Желательно научить ребят таким рассуждениям: первые слагаемые в обоих выражениях одинаковы, но второе слагаемое первого выражения больше второго слагаемого второго выражения, значит, первая сумма больше второй: а + 3 > а + 1

В начальной школе начинается и решение простейших неравенств, хотя термины «решение неравенства» и «решить неравенство» еще не вводятся. Приведем примеры заданий, предлагаемых в начальной школе.

🎥 Видео

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Решение неравенства методом интерваловСкачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Урок 5. Неравенства и системы неравенств. Алгебра ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать

Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные фактыСкачать

Алгебра с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Как решать неравенства? 9 - 11 класс. Вебинар | Математика TutorOnlineСкачать

Уравнение 5 классСкачать

Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

"Ох уж эти неравенства" с 0 и до ОГЭ | Математика | TutorOnlineСкачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

ОГЭ ЗА 3 МИНУТЫ 😉 ЧАСТЬ I #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать