Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1

Видео:Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнениюСкачать

Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1

Пример 15. Построим множество точек ( x , y ) (x, y) , удовлетворяющих уравнению x 2 + x y = 0 x^2 + xy = 0 .

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 = 0 x^2 + 4x + 4 + 4y^2 = 0 .

Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.

т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка ( 0,5 ; – 0,5 ) (0,5; – 0,5) (см. рис. 39).

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1

Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1

Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.

Построим множество точек, удовлетворяющих | y | = | x | |y| = |x| .

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Разделы: Математика

Цели:

  • учащиеся должны уметь изображать на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих заданным условиям;
  • учащиеся должны знать, что геометрическая интерпретация комплексных чисел может быть различной: прямая, часть плоскости, кольцо, параболы, гиперболы, окружности;
  • у учащихся должно быть сформировано понятие о связи комплексных чисел и точек координатной плоскости;
  • развитие речи и логического мышления.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

III. Основная часть.

IV. Итог урока и домашнее задание.

1. Назовите действительную и мнимую части комплексного числа:

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1I

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1– 2i

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1– 6i

2. При каком значении X действительная часть комплексного числа равна нулю:

3. Найдите произведение комплексных чисел:

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1

4. Разложите число Z на комплексно сопряженные множитель (а и b – действительные числа):

5. Назовите комплексное число, сопряженное с данным числом:

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i

6. Найдите модуль комплексного числа:

Устно. Назовите действительную и мнимую части комплексного числа:

3. Imz Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 10;

4. Rez Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 10.

Задание № 1. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих заданному условию:

а) действительная часть равна – 2;

б) мнимая часть равна – 3 или 4;

Задание № 2. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих заданному условию:

а) действительная часть на 4 больше мнимой части;

б) сумма действительной и мнимой части равна 4;

в) сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 4;

г) квадрат суммы действительной и мнимой частей равен 4.

Устно. Найдите изображение соответствующего множества всех комплексных чисел Z, у которых:

ReZ 2 и (ReZ) 2 Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1ImZ

б) ImZ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 12 ReZ или ReZ 25.03.2008

Видео:Область на комплексной плоскости. Re z^2=-1. ГиперболаСкачать

Область на комплексной плоскости. Re z^2=-1.  Гипербола

Геометрия комплексных чисел

2.1. Геометрическое изображение комплексных чисел.Пусть a=a+bi ¾ произвольное комплексное число. Тогда в декартовой системе координат существует единственная точка с координатами (a; b) и, обратно, произвольной точке (a; b) в декартовой системе координат соответствует единственное комплексное число a такое, что Rea=a и Ima=b. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел C существует взаимно однозначное соответствие y такое, что y(a+bi)=(a; b). Поэтому комплексные числа можно изображать точками плоскости. Эту плоскость называют комплексной.

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1Пусть M(a; b) ¾ точка комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу a+bi. Тогда можно рассматривать вектор Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1с координатами (a; b) (рис. 1) Вектор Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1называется векторным представлением числаa+bi. Длина | Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1| вектора Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1называется модулем комплексного числа a=a+bi, а угол j между вектором Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа a¹0. Для нуля модуль не определён. Модуль числа a обозначается через |a|, а его аргумент ¾ через Аrga. Очевидно, Аrga определён с точностью до кратных угла 2p, то есть, если j ¾ угол наклона Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1к оси Ox, то Аrga=j+2pk, kÎZ. Если j=АrgaÎ(p, p], то j называется главным значением аргумента и обозначается через arga. Таким образом, Аrga=arga +2pk, kÎZ, argaÎ(-p, p].

2.1.1. Упражнение. Построить точки, изображающие комплексные числа 1, -1, i, — i, 1+ i, 1- i, 2+3i, 2-3i.

2.1.2. Упражнение. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z, удовлетворяющим условиям:

а) |z|=2; б) |z-(2+3i)|=1; в) |z+1+i|=2; г) |zi|£2;

д) |z+(2-3i)|³2; е) |z-1-i|

в) Аналогично предыдущему, если z=x+yi, то |zi|= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1и |zi|£2 Û Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1£2 Û Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1£4 ¾ круг с центром (0; 1) радиуса 2 (рис. 3).

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 12.2. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел.Пусть a=a+bi и b=c+di ¾ произвольные комплексные числа. Тогда их сумма a+b=(a+c)+(b+d)i изображается вектором с координатами (a+c, b+d), то есть при сложении комплексных чисел они складываются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел (рис. 4).

Аналогично, ab=(ac)+(bd)i изображается вектором с координатами (ac, bd), и при вычитании комплексных чисел они вычитаются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел.

Отсюда вытекают следующие свойства модулей комплексных чисел:

|a|-|b|£|a+b|£|a|+|b|, (2.2.1)

|a|-|b|£|ab|£|a|+|b|, (2.2.2)

|-a|=|a|.

2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть a=a+bi ¾ комплексное число с модулем r=|a| и аргументом Arga. Тогда из геометрических соображений имеем a=rcosj и b=rsinj, откуда

a+bi=r(cosj+isinj). (2.3.1)

Правая часть полученного равенства (2.3.1) называется тригонометрической формой комплексного числаa+bi.

Таким образом, для нахождения тригонометрической формы комплексного числа a+bi достаточно найти модуль r по формуле

r= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(2.3.2)

и аргумент Arga=j из системы уравнений

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(2.3.3)

При этом в качестве аргумента Arga берётся, как правило, главное значение argaÎ(-p, p].

2.3.1. Упражнение.Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) 1; б) -4; в) i; г) -2i; д) 1+i; е) 1-i;

ж) 3+3i; з) 1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i; и) Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i; к) -1- Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i.

Решение. б) Комплексное число -4 представляется вектором с координатами (-4; 0). Поэтому |-4|=4 и arg(-4)=p. Следовательно, -4=4(cosp+isinp) ¾ тригонометрическая форма числа -4.

з) Имеем a=1 и b= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1. Поэтому |1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i|= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1=2. Далее, cosj= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1и sinj= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1, откуда j=arg(1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i)= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1и 1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i=2(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1).

Ответ: б) -4=4(cosp+isinp);

з) 1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i=2(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1).

2.3.2. Теорема. Пусть комплексные числа a и b=a+bi записаны в тригонометрической форме: a=r1(cosj1+isinj1), b=r2(cosj2+isinj2). Тогда

ab=r1r2[cos(j1+j2)+isin(j1+j2)], (2.3.4)

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1[cos(j1j2)+isin(j1j2)]. (2.3.5)

Допуская вольность речи, эту теорему формулируют следующим образом: при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении ¾ модули делятся, аргументы вычитаются.

2.3.4. Следствие. Если a=r(cosj+isinj), то для любого целого числа n имеет место равенство

a n =r n (cos nj+i sin nj). (2.3.6)

Формула (2.3.6) носит название формулы Муавра.

2.3.5. Упражнение.Найти значения выражений:

а) (1+i) 20 ; б) (1-i) 100 ; в) (1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i) 300 ; г) Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1; д) Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1; е) Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1.

Решение. а) Представим 1+i в тригонометрической форме: 1+i= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1). Теперь, по формуле Муавра (2.3.6) получаем

(1+i) 20 =( Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1)) 20 =( Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1) 20 (cos 20× Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin 20× Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1)=

=2 10 (cos 5p+i sin 5p)=2 10 (cos p+i sin p)= -2 10 .

г) Представим Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1в тригонометрической форме. Имеем 1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i=2(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1) (см. предыдущее упражнение) и 1-i= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1). Поэтому

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1 Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1)= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+isin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1).

Теперь по формуле Муавра получаем

Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1=( Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1) 15 (cos 15× Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+i sin 15× Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1)= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+i sin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1)=

= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+i sin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1)= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(cos Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+i sin Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1)=

= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(- Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1+ Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1i)= Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1× Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1(-1+i)=2 7 (-1+i).

á(1) Применяем формулу (2.3.5)ñ

Ответ: а) -2 10 ; б) 2 7 (-1+i).

🔍 Видео

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Комплексная область Im(1/z)=1/2. ОкружностьСкачать

Комплексная область  Im(1/z)=1/2. Окружность

Линии и области на комплексной плоскостиСкачать

Линии и области на комплексной плоскости

Построение областей по заданным условиямСкачать

Построение областей по заданным условиям

Изображение множества точек на координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению.Скачать

Изображение множества точек на координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Множества на комплексной плоскости. Связное множество. Односвязная область. Граница. Круг сходимостиСкачать

Множества на комплексной плоскости. Связное множество. Односвязная область. Граница. Круг сходимости

Как найти множество точек комплексной плоскости?Скачать

Как найти множество точек комплексной плоскости?

Область на комплексной плоскости arg z = pi/2Скачать

Область на комплексной плоскости  arg z = pi/2

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать

Аргумент комплексного числа.  Часть 1

Окружности на комплексной плоскостиСкачать

Окружности на комплексной плоскости

Комплексные числа #1Скачать

Комплексные числа #1

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

10 класс, 33 урок, Комплексные числа и координатная плоскостьСкачать

10 класс, 33 урок, Комплексные числа и координатная плоскость

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.
Поделиться или сохранить к себе: