Изобразить на плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению re 1 z re z 1

Пример 15. Построим множество точек ( x , y ) (x, y) , удовлетворяющих уравнению x 2 + x y = 0 x^2 + xy = 0 .

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 = 0 x^2 + 4x + 4 + 4y^2 = 0 .

Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.

т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка ( 0,5 ; – 0,5 ) (0,5; – 0,5) (см. рис. 39).

Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.

Построим множество точек, удовлетворяющих | y | = | x | |y| = |x| .

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Разделы: Математика

Цели:

• учащиеся должны уметь изображать на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих заданным условиям;
• учащиеся должны знать, что геометрическая интерпретация комплексных чисел может быть различной: прямая, часть плоскости, кольцо, параболы, гиперболы, окружности;
• у учащихся должно быть сформировано понятие о связи комплексных чисел и точек координатной плоскости;
• развитие речи и логического мышления.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

III. Основная часть.

IV. Итог урока и домашнее задание.

1. Назовите действительную и мнимую части комплексного числа:

I

– 2i

– – 6i

2. При каком значении X действительная часть комплексного числа равна нулю:

3. Найдите произведение комплексных чисел:

4. Разложите число Z на комплексно сопряженные множитель (а и b – действительные числа):

5. Назовите комплексное число, сопряженное с данным числом:

i

i

6. Найдите модуль комплексного числа:

Устно. Назовите действительную и мнимую части комплексного числа:

3. Imz 0;

4. Rez 0.

Задание № 1. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих заданному условию:

а) действительная часть равна – 2;

б) мнимая часть равна – 3 или 4;

Задание № 2. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих заданному условию:

а) действительная часть на 4 больше мнимой части;

б) сумма действительной и мнимой части равна 4;

в) сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 4;

г) квадрат суммы действительной и мнимой частей равен 4.

Устно. Найдите изображение соответствующего множества всех комплексных чисел Z, у которых:

ReZ 2 и (ReZ) 2 ImZ

б) ImZ 2 ReZ или ReZ 25.03.2008

Геометрия комплексных чисел

2.1. Геометрическое изображение комплексных чисел.Пусть a=a+bi ¾ произвольное комплексное число. Тогда в декартовой системе координат существует единственная точка с координатами (a; b) и, обратно, произвольной точке (a; b) в декартовой системе координат соответствует единственное комплексное число a такое, что Rea=a и Ima=b. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел C существует взаимно однозначное соответствие y такое, что y(a+bi)=(a; b). Поэтому комплексные числа можно изображать точками плоскости. Эту плоскость называют комплексной.

Пусть M(a; b) ¾ точка комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу a+bi. Тогда можно рассматривать вектор с координатами (a; b) (рис. 1) Вектор называется векторным представлением числаa+bi. Длина | | вектора называется модулем комплексного числа a=a+bi, а угол j между вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа a¹0. Для нуля модуль не определён. Модуль числа a обозначается через |a|, а его аргумент ¾ через Аrga. Очевидно, Аrga определён с точностью до кратных угла 2p, то есть, если j ¾ угол наклона к оси Ox, то Аrga=j+2pk, kÎZ. Если j=АrgaÎ(p, p], то j называется главным значением аргумента и обозначается через arga. Таким образом, Аrga=arga +2pk, kÎZ, argaÎ(-p, p].

2.1.1. Упражнение. Построить точки, изображающие комплексные числа 1, -1, i, — i, 1+ i, 1- i, 2+3i, 2-3i.

2.1.2. Упражнение. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z, удовлетворяющим условиям:

а) |z|=2; б) |z-(2+3i)|=1; в) |z+1+i|=2; г) |z—i|£2;

д) |z+(2-3i)|³2; е) |z-1-i|

в) Аналогично предыдущему, если z=x+yi, то |z—i|= и |z—i|£2 Û £2 Û £4 ¾ круг с центром (0; 1) радиуса 2 (рис. 3).

2.2. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел.Пусть a=a+bi и b=c+di ¾ произвольные комплексные числа. Тогда их сумма a+b=(a+c)+(b+d)i изображается вектором с координатами (a+c, b+d), то есть при сложении комплексных чисел они складываются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел (рис. 4).

Аналогично, a—b=(a—c)+(b—d)i изображается вектором с координатами (a—c, b—d), и при вычитании комплексных чисел они вычитаются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел.

Отсюда вытекают следующие свойства модулей комплексных чисел:

|a|-|b|£|a+b|£|a|+|b|, (2.2.1)

|a|-|b|£|a—b|£|a|+|b|, (2.2.2)

|-a|=|a|.

2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть a=a+bi ¾ комплексное число с модулем r=|a| и аргументом Arga. Тогда из геометрических соображений имеем a=rcosj и b=rsinj, откуда

a+bi=r(cosj+isinj). (2.3.1)

Правая часть полученного равенства (2.3.1) называется тригонометрической формой комплексного числаa+bi.

Таким образом, для нахождения тригонометрической формы комплексного числа a+bi достаточно найти модуль r по формуле

r= (2.3.2)

и аргумент Arga=j из системы уравнений

(2.3.3)

При этом в качестве аргумента Arga берётся, как правило, главное значение argaÎ(-p, p].

2.3.1. Упражнение.Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) 1; б) -4; в) i; г) -2i; д) 1+i; е) 1-i;

ж) 3+3i; з) 1+ i; и) —i; к) -1- i.

Решение. б) Комплексное число -4 представляется вектором с координатами (-4; 0). Поэтому |-4|=4 и arg(-4)=p. Следовательно, -4=4(cosp+isinp) ¾ тригонометрическая форма числа -4.

з) Имеем a=1 и b= . Поэтому |1+ i|= =2. Далее, cosj= и sinj= , откуда j=arg(1+ i)= и 1+ i=2(cos +isin ).

Ответ: б) -4=4(cosp+isinp);

з) 1+ i=2(cos +isin ).

2.3.2. Теорема. Пусть комплексные числа a и b=a+bi записаны в тригонометрической форме: a=r₁(cosj₁+isinj₁), b=r₂(cosj₂+isinj₂). Тогда

ab=r₁r₂[cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂)], (2.3.4)

= [cos(j₁—j₂)+isin(j₁—j₂)]. (2.3.5)

Допуская вольность речи, эту теорему формулируют следующим образом: при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении ¾ модули делятся, аргументы вычитаются.

2.3.4. Следствие. Если a=r(cosj+isinj), то для любого целого числа n имеет место равенство

a n =r n (cos nj+i sin nj). (2.3.6)

Формула (2.3.6) носит название формулы Муавра.

2.3.5. Упражнение.Найти значения выражений:

а) (1+i) 20 ; б) (1-i) 100 ; в) (1+ i) 300 ; г) ; д) ; е) + .

Решение. а) Представим 1+i в тригонометрической форме: 1+i= (cos +isin ). Теперь, по формуле Муавра (2.3.6) получаем

(1+i) 20 =( (cos +isin )) 20 =( ) 20 (cos 20× +isin 20× )=

=2 10 (cos 5p+i sin 5p)=2 10 (cos p+i sin p)= -2 10 .

г) Представим в тригонометрической форме. Имеем 1+ i=2(cos +isin ) (см. предыдущее упражнение) и 1-i= (cos +isin ). Поэтому

=

(cos +isin )= (cos +isin ).

Теперь по формуле Муавра получаем

=( ) 15 (cos 15× +i sin 15× )= (cos +i sin )=

= (cos +i sin )= (cos +i sin )=

= (- + i)= × (-1+i)=2 7 (-1+i).

á(1) Применяем формулу (2.3.5)ñ

Ответ: а) -2 10 ; б) 2 7 (-1+i).