Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

OBRAZOVALKA.COM — образовательный портал
Наш сайт это площадка для образовательных консультаций, вопросов и ответов для школьников и студентов .

На вопросы могут отвечать также любые пользователи, в том числе и педагоги.

Консультацию по вопросам и домашним заданиям может получить любой школьник или студент.

Содержание
  1. Школе NET
  2. Register
  3. Login
  4. Newsletter
  5. Зачетный Опарыш
  6. 5х=12 составить действие которое оставит в левой части уравнения х
  7. Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров
  8. Сложение и вычитание логарифмов.
  9. Что такое логарифм и как его посчитать
  10. Два очевидных следствия определения логарифма
  11. Свойства логарифмов
  12. Степень можно выносить за знак логарифма
  13. Логарифм произведения и логарифм частного
  14. Формула перехода к новому основанию
  15. Сумма логарифмов. Разница логарифмов
  16. Логарифмический ноль и логарифмическая единица
  17. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
  18. Сравнение логарифмов
  19. Пример Найдите корень уравнения.
  20. Логарифмы со специальным обозначением
  21. Десятичный логарифм
  22. Натуральный логарифм
  23. Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
  24. Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
  25. Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств
  26. 🔍 Видео

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнем

Школе NET

Register

Do you already have an account? Login

Login

Don’t you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

  • Главная 
  • Вопросы & Ответы 
  • Вопрос 1493430

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Зачетный Опарыш

Видео:Как решать линейные уравнения Решите уравнение 5 класс 6 класс 7 класс Как решать простое уравнениеСкачать

Как решать линейные уравнения Решите уравнение 5 класс 6 класс 7 класс Как решать простое уравнение

5х=12 составить действие которое оставит в левой части уравнения х

Видео:Как решать уравнение с дробями Уравнение вида Дробь=0 Дробное уравнение Числитель=0 знаменатель не=0Скачать

Как решать уравнение с дробями Уравнение вида Дробь=0 Дробное уравнение Числитель=0 знаменатель не=0

Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xn существует тождество :

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,

А значит имеет место равенство:

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Видео:Диофантовы уравнения x³-y³=91Скачать

Диофантовы уравнения x³-y³=91

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15и преобразовываем в Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Два очевидных следствия определения логарифма

log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Видео:Как решать уравнение со скобками Уравнение вида произведение элементов=выражению Произведение скобокСкачать

Как решать уравнение со скобками Уравнение вида произведение элементов=выражению Произведение скобок

Свойства логарифмов

Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

( основное свойство логарифмов ),

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

( основное свойство логарифмов ),

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Проверь удачу, набери 60+

Математика – это систематицация и результат, а общественные науки и история – процесс осмысления результата.

Видео:ЕГЭ. Математика. Уравнения с модулем. Системы уравнений. ПрактикаСкачать

ЕГЭ. Математика. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика

Пример Найдите корень уравнения.

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Используя определение логарифма, получим:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Проверим: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Ответ: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15.

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

  1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
  2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
  3. Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь .
  4. Делаем проверку
  5. Записываем ответ.

Видео:Решение задач с помощью уравнений.Скачать

Решение задач с помощью уравнений.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

И вычислить его можно таким образом:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Применяем эти знания и получаем: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Делаем проверку: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Делаем проверку: Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Видео:УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степениСкачать

УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степени

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием. Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Преобразуем правую часть уравнения: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Преобразуем правую часть уравнения: Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Сведем все требования в систему:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Перепишем нашу систему: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система примет следующий вид: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Теперь решаем наше уравнение: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Видео:Решаем классные задачи второй части, смотрим задание со "слива".Скачать

Решаем классные задачи второй части, смотрим задание со "слива".

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

🔍 Видео

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе:
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

( формула перехода к новому основанию логарифмов ),

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
( основное свойство логарифмов ),
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
( основное свойство логарифмов ),
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
( формула перехода к новому основанию логарифмов ),
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15
Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Видео:ВСЕ ТИПЫ 20 ЗАДАНИЕ 2 ЧАСТЬ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать

ВСЕ ТИПЫ 20 ЗАДАНИЕ 2 ЧАСТЬ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?

Логарифм произведения и логарифм частного

log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 )

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ.

log a ( f ( x ) g ( x ) )

определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму

log a f ( x ) + log a g ( x )

, мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Видео:Как решать уравнение с дробями Уравнение вида Дробь=выражению Дробное уравнение Сложное уравнениеСкачать

Как решать уравнение с дробями Уравнение вида Дробь=выражению Дробное уравнение Сложное уравнение

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 )

Видео:Как решать кубические уравнения Решите уравнение 3 степени 9 класс Разложить на множители ДелениеСкачать

Как решать кубические уравнения Решите уравнение 3 степени 9 класс Разложить на множители Деление

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15 Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15 Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Видео:Алгебра 8. Урок 8 - Квадратный корень. Освобождение от иррациональностиСкачать

Алгебра 8. Урок 8 - Квадратный корень. Освобождение от иррациональности

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Видео:№8 Линейное уравнение x/12+x/8+x=-29/6 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью ОГЭ ЕГЭСкачать

№8 Линейное уравнение x/12+x/8+x=-29/6 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью ОГЭ ЕГЭ

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15То есть в нашем случае: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Избавься от знаменателя и оставь в левой части уравнения x учи ру х 3 15Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

Сравнение логарифмов

Если 012, то
logax1> logax2– знак неравенства меняется
Если a > 1 и 012, то
logax1ax2– знак неравенства не меняется
Если 1 1, то logax> logbx
Если 0 1, то logax> logbx
Если 1axbx
Если 0axbx