Из точки м проведена касательная к сфере заданной уравнением (7 видео)

Содержание

Из точки М (-7; 3; -4) проведена касательная к сфере, заданной уравнением х2 + у2 + z2 — 2х – 4y — 27 = 0. Найдите длину касательной от точки М до точки касания.
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
ГДЗ по геометрии 11 класс Зив дидактические материалы контрольная работа к-2 вариант-2 — 3
Похожие ГДЗ
Урок 4. Сферы, касающиеся прямых
📹 Видео

Видео:11 класс, 20 урок, Уравнение сферыСкачать

Из точки М (-7; 3; -4) проведена касательная к сфере, заданной уравнением х2 + у2 + z2 — 2х – 4y — 27 = 0. Найдите длину касательной от точки М до точки касания.

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Ваш ответ

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

решение вопроса

Видео:11 класс, 24 урок, Взаимное расположение сферы и прямойСкачать

ГДЗ по геометрии 11 класс Зив дидактические материалы контрольная работа к-2 вариант-2 — 3

Издательство: Просвещение 2015

Тип: Дидактические материалы

Подробный решебник (ГДЗ) по Геометрии за 11 (одиннадцатый) класс дидактические материалы — готовый ответ контрольная работа к-2 вариант-2 — 3. Авторы учебника: Зив. Издательство: Просвещение 2015.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Урок 4. Сферы, касающиеся прямых

(Класс 11, модуль II, урок 4)

Урок 4. Сферы, касающиеся прямых

4.1. Сферы, касающиеся прямых

4.2. Условие касания сферы с прямой

4.3. Касание сферы со сторонами угла

4.4. Задача из вступительных экзаменов в вузы

4.5. Равенство отрезков касательных, проведенных к сфере из одной точки

Тесты

Домашнее задание

На этом уроке рассматриваются сферы, касающиеся прямых, изучаются способы нахождения центра и радиуса сферы, которая касается сторон угла, рассматривается свойство отрезков касательных, проведенных к сфере из одной точки, и демонстрируется, как использовать эти свойства при нахождении центра и радиуса сферы, касающейся нескольких прямых.

4.1. Сферы, касающиеся прямых

Начнем изучение прямых, касающихся сферы, с определения.

Прямая а называется касательной к сфере S, если она лежит в плоскости α, касающейся сферы, и проходит через точку М касания сферы с плоскостью α.

На рисунке 1 изображена одна из касательных к сфере. В этом случае прямая а имеет со сферой S единственную общую точку, которая называется точкой касания прямой со сферой. Отрезок ОМ, соединяющий центр сферы S с точкой касания плоскости α со сферой, перпендикулярен плоскости α. Отсюда сразу следует, что ОМ α, причем длина отрезка ОМ равна радиусу сферы.

4.2. Условие касания сферы с прямой

Рассмотрим в пространстве прямую а и не лежащую на ней точку Р. Проведем Р а, где К — основание перпендикуляра (рисунок 2). Тогда для любой точки М прямой а, отличной от точки К, имеет место неравенство

Отсюда следует, что сфера радиуса РК с центром Р имеет с прямой а единственную общую точку, а поэтому касается прямой а. В результате получаем способ построения точки касания сферы с прямой.

4.3. Касание сферы со сторонами угла

Когда известно, что сфера касается сторон некоторого угла, то можно указать плоскость, в которой лежит центр этой сферы.

Пусть сфера S с центром О касается сторон угла ВАС. Опустим из точки О перпендикуляр ОН на плоскость ВАС и рассмотрим сечение сферы плоскостью ВАС. Тогда в сечении получится окружность с центром Н, касающаяся сторон угла ВАС (рисунок 3). Отсюда следует, что центр О сферы находится на перпендикуляре к плоскости ВАС, проходящем через точку биссектрисы угла ВАС. Каждый такой перпендикуляр содержится в плоскости β, проходящей через биссектрису угла ВАС перпендикулярно плоскости ВАС (рисунок 7). В итоге приходим к следующему важному свойству.

Если сфера касается сторон угла, то центр сферы лежит в плоскости, проходящей через биссектрису угла перпендикулярно плоскости угла.

Вопрос 1. Пусть прямая а имеет со сферой S единственную общую точку. Как доказать, что прямая а является касательной к сфере S?

Вопрос 2. Пусть известно, что сфера касается двух параллельных прямых. Где в этом случае может находиться центр сферы?

Вопрос 3. Пусть прямая а лежит в плоскости α и известна ортогональная проекция точки Р на плоскость α. Как в этом случае провести из точки Р перпендикуляр к прямой а?

4.4. Задача из вступительных экзаменов в вузы

В этом пункте разберем следующую задачу.

Пример 1. В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, лежит квадрат ABCD. Точки М и N — середины SА и SC соответственно; точка К лежит на диагонали АС основания, причем

Найти радиус шара, касающегося лучей AD, АВ, NM и NK.

Решение. Лучи АВ и AD образуют угол. Поэтому центр О искомой сферы лежит в плоскости ASС, которая проходит через биссектрису угла BAD и перпендикулярна плоскости ABCD.

Рассмотрим теперь лучи NM и NK, также образующие угол (рисунок 5). Так как точка К середина отрезка НС, то

. Поэтому угол MNK — прямой. Далее, вычисления приводят к тому, что АН=НС=,

NK=КН= .

Поэтому биссектрисой угла MNK является луч NH. Так как центр О сферы лежит в плоскости AS С и в плоскости, проходящей через прямую NH перпендикулярно плоскости AS С, то центр О лежит на луче NH (рисунок 6). Чтобы на чертеже получить радиусы сферы, проведем OF АС, ОЕ MN, FG АВ. Тогда ОЕ — радиус, проведенный в точку касания сферы с лучом NM, OG — радиус, проведенный в точку касания сферы с лучом АВ. Обозначим ОЕ=r. Тогда

, .

Так как по условию

то приходим к уравнению

длина отрезка FK больше АК, а поэтому сфера с таким радиусом касается продолжения луча АВ, то есть не удовлетворяет условиям задачи. При

точки касания сферы данного радиуса лежат на соответствующих лучах.

4.5. Равенство отрезков касательных, проведенных к сфере из одной точки

Из точки, расположенной вне сферы, можно провести много лучей, касающихся сферы (рисунок 7). При этом выполняется следующее свойство.

Отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны между собой.

Такое свойство касательных иногда оказывается полезным при решении задач.

Пример 2. В правильной пирамиде SABC ребра основания ABC равны а, боковые ребра равны т. Найти радиус сферы, касающейся всех ребер пирамиды.

Решение. Так как при пересечении указанной сферы плоскостью ABC получится окружность, вписанная в треугольник ABC, то центр О сферы должен лежать на высоте SH. Из равенства треугольников ASH, BSH, CSH следует, что каждая точка высоты SH равноудалена от лучей SA, SB, SC. Проведем OKSA и ОМАС (рисунок 8). При условии ОК=ОМ точка О будет центром сферы, касающейся всех ребер данной пирамиды.

Отрезки AM и АК являются отрезками касательных, проведенных к сфере из одной точки. Поэтому

АК=AM= |.

SK=.

Для получения ответа остается выполнить элементарные вычисления:

Ответ: .

Вопрос 1. Как объяснить смысл равенства

использованного в решении задачи из пункта 4.4.?

Вопрос 2. Как доказать равенство отрезков касательных, проведенных к сфере из одной точки?

Пусть в пространстве выбраны четыре точки A, B, C, D. Соединяя эти точки отрезками AB, BC, CD, AD, получаем пространственную фигуру, которую часто называют пространственным четырехугольником.

Предлагается исследовать касание сферы со сторонами пространственного четырехугольника.

Показать, что если существует сфера, касающаяся всех сторон пространственного четырехугольника ABCD, то:

а) выполняется равенство

б) точки касания сторон четырехугольника со сферой лежат в одной плоскости.

На примерах проверить, что если существует сфера, касающаяся сторон пространственного четырехугольника, то существует бесконечно много различных сфер, также касающихся всех сторон четырехугольника.

Проверь себя. Сферы, касающиеся прямых

Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

Из точки A, расположенной на расстоянии 4 см. от центра сферы радиуса 5см. проводится прямая, касающаяся сферы в точке B. Чему равна длина отрезка AB?

1. 3 см.

2. см.

3. см.

4. 5 см.

(Правильный вариант: 2)

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра основания ABC равны

4 см., боковые ребра равны 7 см. Проводится сфера, которая касается всех ребер пирамиды. Пусть M — точка касания этой сферы с ребром SA. Чему равна длина отрезка SM?

1. 3 см.

2. 4 см.

3. 5 см.

4. 6 см.

(Правильный вариант: 3)

Известно, что существует сфера, касающаяся всех ребер треугольной пирамиды ABCD, у которой

Чему равна длина ребра BD этой пирамиды?

1. 4

2. 5

3. 6

4. 7)

(Правильный вариант: 3)

Из точки A проведена прямая, касающаяся сферы радиуса 5 в точке B. Известно, что AB=12. Чему равно наименьшее из расстояний от точки A до точек этой сферы?

1. 8

2. 9

3. 10

4. 11

(Правильный вариант: 1)

Проверь себя. Сферы, касающиеся прямых

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

Сфера с центром O касается сторон угла с вершиной S в точках A и B и центр сферы не лежит в плоскости угла. Какие из утверждений являются верными?

1. Треугольник SAB равнобедренный

2. Плоскость OAB перпендикулярна плоскости SAB

3. Отрезок, соединяющий середину AB с центром O, перпендикулярен плоскости SAB

4. Треугольник OAB равнобедренный

(Правильные варианты: 1, 4)

Сфера с центром O касается в точках A и B параллельных прямых m и n, лежащих в плоскости α, и центр сферы не лежит в плоскости α. Какие из утверждений являются верными?

1. Прямые AB и m перпендикулярны

2. Плоскость OAB перпендикулярна плоскости α

3. Отрезок, соединяющий середину AB с центром O, перпендикулярен плоскости α

4. Отрезок OA перпендикулярен плоскости α

(Правильные варианты: 1, 2, 3)

Если для треугольной призмы существует сфера, которая касается всех ребер, то:

1. основания призмы правильные треугольники

2. в призму можно вписать сферу

3. боковые грани призмы квадраты

4. вокруг призмы можно описать сферу

(Правильные варианты: 1, 3)

Известно, что сфера касается двух скрещивающихся прямых, расстояние между которыми равно 8. Какие из приведенных значений могут быть радиусами такой сферы?

3. 4

(Правильные варианты: 3, 4)

1. Найдите радиус сферы, касающейся всех ребер правильного тетраэдра с ребром 6 см.

2. Найдите радиус сферы, касающейся боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды и касающейся плоскости основания, если известно, что ребра основания равны см, а боковые ребра равны

3. Каким условиям должны удовлетворять ребра треугольной пирамиды, чтобы существовала сфера, касающаяся всех ее ребер?

4. Длина ребра правильного тетраэдра равна 1. Сфера касается ребер AS, AC, AB и проходит через середину ребра ВС. Найдите радиус сферы, если известно, что ее центр лежит внутри тетраэдра.

5. В основании правильной треугольной призмы ABCА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами

Высота призмы равна .

Найдите радиус шара, касающегося ребра B1C1 и граней АА1В1В, АА1С1С, ABC.

6. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором

Ребро SA перпендикулярно основанию и равно а. Найдите радиус шара, касающегося основания и боковых ребер пирамиды.

7. В основании треугольной призмы лежит правильный треугольник ABC со стороной, равной а. Боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 перпендикулярны прямой BC и образуют угол в 60° с плоскостью основания. Известно, что существует сфера, которая касается всех боковых ребер и ребер А1С1, А1В1, ВС. Найдите высоту призмы.

8. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами

AD=.

Ребро SА перпендикулярно плоскости основания, его длина равна 1. Шар, центр которого находится вне пирамиды, касается отрезков SB, SC и плоскостей SAD и ABCD. Найдите радиус шара.

9. В тетраэдре ABCD ребра АС, ВС, DC попарно перпендикулярны. Точка М лежит в плоскости ABC и одинаково удалена от ребер АВ, ВС и CD. Точка N лежит в плоскости BCD и одинаково удалена от тех же ребер. Найдите длину отрезка MN, если

ВС=CD=,

10. В правильной треугольной призме ABCА1В1С1 с основанием ABC длины всех ребер равны 1. Точки М и N — середины ребер А1С1 и СС1 соответственно. Найдите минимально возможный радиус шара касающегося плоскостей граней АА1В1В, ABC и прямой MN.

Прямая, касательная к сфере. Прямая а называется касательной к сфере S, если она лежит в плоскости α, касающейся сферы, и проходит через точку М касания сферы с плоскостью α

Отрезок касательной к сфере. Если из некоторой точки A проводится прямая, касающаяся сферы в точке M, то отрезок AM называют отрезком касательной к сфере.