Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Видео:Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона часть 1| Физика TutorOnlineСкачать

Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона часть 1| Физика TutorOnline

Затухающие колебания

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ — колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой.

Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание обусловлено в основном трением (механические системы) и сопротивлением ( в электромагнитных колебательных контурах).

Колебательная система называется линейной, если её свойства не меняются при колебаниях, то есть такие параметры, как сила тяжести, упругость пружины, сопротивление, емкость, индуктивность не зависят ни от смещения, ни от скорости, ни от ускорения колеблющейся величины. В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные системы.

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)

Уравнения затухающих колебаний

Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний на примере реального пружинного маятника, совершающего колебания в среде с сопротивлением (простейший случай — трение о воздух). Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = — bv, v — скорость маятника, b — коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как мы рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x — смещение маятника от положения равновесия.

Второй закон Ньютона в нашем случае запишется так:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Это уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Его, однако, принято записывать в следующем, так называемом каноническом виде:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является— коэффициент затухания, Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является— собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w .

Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j0 .

Видео:ЭТО ОБЯЗАТЕЛЬНО НУЖНО ЗНАТЬ — Второй Закон Ньютона или от чего зависит ускорение телаСкачать

ЭТО ОБЯЗАТЕЛЬНО НУЖНО ЗНАТЬ — Второй Закон Ньютона или от чего зависит ускорение тела

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

где β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

— у равнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Период затухающих колебаний:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний являетсяЗатухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является. Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

В уравнении (1) А0 и φ0 — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

τ — время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является(1)

— дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Это комплексное число удобно представить в виде

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ — по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является(3)

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является(4)

Слагаемое Хо.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи­ческой системы, называется резонансом.

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний являетсяЧастота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ωрез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

При ω→0 все кривые приходят к значению Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является— статическое отклонение.

Из приведенных ниже уравнений вторым законом ньютона для затухающих колебаний является

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках».) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

Видео:Решение задач по теме Законы НьютонаСкачать

Решение задач по теме   Законы Ньютона

Затухающие колебания

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Определение затухающих колебаний

Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.

Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием

Иногда, если тело движется в веществе, силу сопротивления ($<overline>_

$), которая действует на рассматриваемое тело, при маленьких скоростях его движения, считают прямо пропорциональной скорости ($overline$):

[<overline>_

=-beta overlineleft(1right),]

где $beta $ — коэффициент сопротивления.

Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:

где $dot=v_x.$ Принимая во внимание равенства:

(где $_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $gamma $=0) той же колебательной системы; $gamma $ — коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:

Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания . ) описывают при помощи уравнения формы (4).

Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:

где $omega =sqrt<^2_0-^2>$; $A_0$ — начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $varphi $ — постоянная из начальных условий. При $gamma ll _0$, $omega approx _0$, параметр $A_0e^$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.

Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.

Видео:Второй закон Ньютона | Физика 9 класс #11 | ИнфоурокСкачать

Второй закон Ньютона | Физика 9 класс #11 | Инфоурок

Диссипация энергии при затухающих колебаниях

Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.

Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:

[frac

=-fracleftlangle E_krightrangle left(6right),]

где $frac

$ — скорость изменения энергии колебаний; $leftlangle E_krightrangle $ — средняя величина кинетической энергии за период колебаний. Уравнение (6) не применяют для промежутков времени, которые меньше периода колебаний.

Так как мы считаем затухание малым, то $leftlangle E_krightrangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:

[leftlangle E_krightrangle =fracleft(7right).]

В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:

Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:

где $E_0$ — величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($Esim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:

$A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Видео:Второй закон НьютонаСкачать

Второй закон Ньютона

Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания

Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $tau =frac$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($tau gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.

Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.

Период затухающих колебаний считают равным:

Пусть $Aleft(tright) и A(t+T)$ — амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:

называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($theta $):

называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $theta $ постоянная величина.

Видео:Урок 53. Простейшие задачи на законы НьютонаСкачать

Урок 53. Простейшие задачи на законы Ньютона

Примеры задач с решением

Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($gamma $), если за $Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?

Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:

По условию задачи имеем:

С другой стороны:

где $t_2-t_1=Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:

Выразим $gamma $ из (1.3) учтем, что $frac=n$:

Ответ. $gamma =frac<>$

Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?

Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $left(x;;vright).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $left(x,vright),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:

Фазовая траектория затухающего колебания, если

[<overline>_

=-beta overlineleft(2.2right),]

представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.

💡 Видео

Физика . Законы Ньютона. ​Решение задач.Скачать

Физика . Законы Ньютона. ​Решение задач.

Лекция №11 "Колебания" (Булыгин В.С.)Скачать

Лекция №11 "Колебания" (Булыгин В.С.)

ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 9 класс ЗАДАЧИ физика ПерышкинСкачать

ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 9 класс ЗАДАЧИ физика Перышкин

ФИЗИКА 9 класс: Первый закон НьютонаСкачать

ФИЗИКА 9 класс: Первый закон Ньютона

Физика - первый и второй законы НьютонаСкачать

Физика - первый и второй законы Ньютона

ФИЗИКА 9 класс: Второй закон НьютонаСкачать

ФИЗИКА 9 класс: Второй закон Ньютона

Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона часть 2| Физика TutorOnlineСкачать

Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона часть 2| Физика TutorOnline

Урок 51. Первый закон Ньютона. Взаимодействие тел и их ускорение.Скачать

Урок 51. Первый закон Ньютона. Взаимодействие тел и их ускорение.

Как решать задачи о механических колебаниях.Скачать

Как решать задачи о механических колебаниях.

Третий закон Ньютона. 9 класс.Скачать

Третий закон Ньютона. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: