Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Содержание
  1. Понятие полюсов и нулей в передаточных функциях
  2. Полюсы и нули
  3. Влияние полюсов и нулей
  4. Влияние на фазу
  5. Скрытый ноль
  6. Заключение
  7. 2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13
  8. 2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)
  9. Пример
  10. 2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
  11. 2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона
  12. 2.12. Mетод переменных состояния.
  13. Пример решения задачи в форме коши.
  14. 2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно
  15. 2.13.1. Правая часть содержит только b0*u(t)
  16. 2.13.2. Правая часть общего вида
  17. Пример:
  18. Операторные передаточные функции
  19. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
  20. Законы Кирхгофа в операторной форме
  21. Операторные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей
  22. Для элемента активного сопротивления
  23. Для элемента индуктивности
  24. Для элемента ёмкости
  25. Операторные сопротивление и проводимость последовательного и параллельного двухполюсников
  26. Операторные сопротивление и проводимость двухполюсника общего вида
  27. Определение операторной передаточной функции. Связь с импульсной и переходной характеристиками
  28. Понятие о нулях и полюсах передаточной функции. Устойчивость передаточной функции
  29. Связь передаточной функции с частотными и временными характеристиками цепи
  30. 💥 Видео

Видео:23) Построение Л.А.Ч.Х. и Л.Ф.Ч.Х. системы по её передаточной функцииСкачать

23) Построение Л.А.Ч.Х. и Л.Ф.Ч.Х. системы по её передаточной функции

Понятие полюсов и нулей в передаточных функциях

Данная статья объясняет, что такое полюсы и нули, и обсуждает, как полюсы и нули передаточной функции связаны с поведением схем аналоговых фильтров относительно амплитуды и фазы.

В предыдущей статье я представил два стандартных способа представления передаточной функции в s-области для RC фильтра нижних частот первого порядка. Давайте кратко рассмотрим некоторые важные концепции.

  • Передаточная функция математически выражает поведение фильтра в частотной области при передаче сигнала от входа к выходу.
  • Мы можем написать передаточную функцию относительно переменной s , которая представляет собой комплексную частоту, и мы можем заменить s на jω , когда нам нужно вычислить амплитуду и сдвиг фазы на конкретной частоте.
  • Нормированная форма передаточной функции похожа на шаблон, который помогает нам быстро определять определяющие характеристики фильтра.
  • Математическое манипулирование нормированной передаточной функцией первого порядка позволяет нам продемонстрировать, что частота среза фильтра – это частота, на которой амплитуда уменьшается на 3 дБ, а фаза сдвигается на –45°.

Видео:[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]

Полюсы и нули

Предположим, что у нас есть передаточная функция, в которой переменная s появляется как в числителе, так и в знаменателе. В этой ситуации, по крайней мере, одно значение s приведет к тому, что числитель будет равен нулю, и, по крайней мере, одно значение s приведет к тому, что знаменатель будет равен нулю. Значение, при котором числитель равен нулю, является нулем передаточной функции, а значение, которое приводит к нулю в знаменателе, является полюсом передаточной функции.

Давайте рассмотрим следующий пример:

В этой системе мы имеем ноль при s = 0 и полюс при s = –ω0 .

Полюсы и нули являются определяющими характеристиками фильтра. Если вы знаете расположение полюсов и нулей, то у вас много информации о том, как система будет реагировать на сигналы с разными входными частотами.

Видео:7) ТАУ для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...Скачать

7) ТАУ  для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...

Влияние полюсов и нулей

Диаграмма Боде (логарифмическая амплитудно-частотная характеристика, АЧХ) обеспечивает простую визуализацию взаимосвязи между полюсом или нулем и поведением системы при передаче сигнала от входа к выходу.

Частота полюса соответствует угловой частоте, при которой наклон кривой АЧХ уменьшается на 20 дБ/декада, а ноль соответствует угловой частоте, при которой наклон увеличивается на 20 дБ/декада. В следующем примере амплитудно-частотная характеристика представляет собой аппроксимацию амплитудного отклика системы, которая имеет полюс при 10 2 радиана в секунду (рад/с) и ноль при 10 4 рад/с.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией Рисунок 1 – Полюс и ноль на логарифмической амплитудно-частотной характеристике

Видео:Обратная функция. 10 класс.Скачать

Обратная функция. 10 класс.

Влияние на фазу

В предыдущей статье мы видели, что математическим источником фазо-частотной характеристики фильтра нижних частот является функция арктангенса. Если мы используем функцию арктангенса (точнее, функцию отрицательного арктангенса), чтобы сгенерировать график зависимости фазы (в градусах) от частоты в логарифмическом масштабе, мы получим следующий график:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией Рисунок 2 – Фазо-частотная характеристика ФНЧ первого порядка

Аппроксимация логарифмической фазо-частотной характеристики для сдвига фазы, генерируемого полюсом, представляет собой прямую линию, представляющую сдвиг фазы -90°. Эта линия центрируется на частоте полюса и имеет наклон –45 градусов на декаду, что означает, что наклонная линия начинается за одну декаду до частоты полюса и заканчивается через одну декаду после частоты полюса. Влияние нуля будет таким же, за исключением того, что линия имеет положительный наклон, поэтому итоговый сдвиг фазы составляет +90°.

В следующем примере представлена система, которая имеет полюс при 10 2 рад/с и ноль при 10 5 рад/с.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией Рисунок 3 – Полюс и ноль на логарифмической фазо-частотной характеристике

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 8. Дискретные САУ. Аналог критерия устойчивости МихайловаСкачать

Теория автоматического управления. Лекция 8. Дискретные САУ. Аналог критерия устойчивости Михайлова

Скрытый ноль

Если вы читали предыдущую статью, вы знаете, что передаточная функция фильтра нижних частот может быть записана следующим образом:

У этой системы есть ноль? Если мы применим определение, данное ранее в этой статье, мы сделаем вывод, что его нет – переменная s не появляется в числителе, и поэтому никакое значение s не приведет к тому, что числитель станет равным нулю.

Однако оказывается, что у нее на самом деле есть ноль, и чтобы понять почему, нам нужно рассмотреть более обобщенное определение полюсов и нулей передаточной функции: ноль ( z от «zero») возникает при значении s , которое заставляет передаточную функцию уменьшаться до нуля, а полюс ( p от «pole») возникает при значении s , которое заставляет передаточную функцию стремиться к бесконечности:

Имеет ли фильтр нижних частот первого порядка значение s , которое приводит к T(s) → 0 ? Да, это так, а именно, s = ∞ . Таким образом, система фильтра нижних частот первого порядка имеет полюс в точке ω0 и ноль в точке ω = ∞ .

Я попытаюсь дать физическую интерпретацию нуля при ω = ∞ : это указывает на то, что фильтр не может «всегда» продолжать увеличивать ослабление (где «всегда» относится к частоте, а не ко времени). Если вам удастся создать входной сигнал, частота которого продолжает увеличиваться до тех пор, пока она не «достигнет» бесконечности рад/с, то ноль при s = ∞ заставит фильтр прекратить увеличивать ослабление, т.е. наклон амплитудно-частотной характеристики увеличится с –20 дБ/декада до 0 дБ/декада.

Видео:Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениямСкачать

Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениям

Заключение

Мы изучили основные теоретические и практические аспекты полюсов и нулей передаточной функции и увидели, что можем создать прямую связь между частотами полюса и нуля фильтра и его амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками. В следующей статье мы рассмотрим передаточную функцию фильтра верхних частот первого порядка.

Видео:Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состоянийСкачать

Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состояний

2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В предыдущих сериях:

В это части будут рассмотрены:

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.
2.12. Mетод переменных состояния.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния.

Попробуем применить, полученные знания на практике, создавая и сравнивая расчетные модели в разных видах. Будет интересно познавательно и жестко.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)

Рассмотрим динамическое звено САР изображенное на рисунке 2.9.1

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

где: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— постоянные времени;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— коэффициент усиления.

Пусть известны отображения:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Найдем изображения для производных: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

B(s) — слагаемое, которое определяется начальными условиями, при нулевых начальных условиях B(s)=0.
W(s) — передаточная функция.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного сигнала к входному воздействию при нулевых н.у.

После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.

Пример

Построить выходной сигнал звена САР при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, если уравнение динамики звена имеет следующий вид:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

входное воздействие: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— единичное ступенчатое воздействие.

Выполним преобразование Лапласа:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Подставим в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Для получения выходного сигнала из уравнения в изображениях выполним обратное преобразования Лапласа:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).

Определение: Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Определение: Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

На этом месте можно вспомнить, что преобразование Лапласа это интеграл от 0 до бесконечности по времени (см. предыдущий текст), а импульсное воздействие при таком интегрировании превращается в 1 Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейтогда в изображениях получаем что:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Для единичного ступенчатого воздействия преобразование Лапласа тоже известно (см. предыдущий текст):

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

тогда в изображениях получаем, что реакция системы Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейна ступенчатое воздействие, рассчитывается так:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие рассчитывается обратным преобразованием Лапласа:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона

Предположим, что на вход системы поступает произвольное воздействие x(t), заранее известное. Найти реакцию системы y(t), если известны входное воздействие x(t) и весовая функция w(t).

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Представим, что входное воздействие представляет собой последовательность прямоугольных импульсов до времени t и ступеньки высотой x(t) в момент времени t. см.рис. 2.11 Для каждого импульса мы можем записать реакцию системы через весовую функциию:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

где:
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— значение отклика по завершению предыущего импульса;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— время завершения текущего импульса;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— значение весовой функции в начале текущего импульса.

Тогда для определения занчения отклика в произвольный момент времени необходимо сложить все импульсы и ступенчатое воздействие в момент времени t:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Переходя к пределам

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

если перейти от t к бесконечности мы получим формулу интеграла Дюамеля-Карсона, или по другому «интеграла свертки» который обеспечивает вычисление оригинала функции по произвдению изображения двух функций:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

где Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— вспомогательное время

Для вывода аналогичной зависмости от переходной функции вспомним что изображение весовой и переходной функции связаны соотношением: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейзапишем выражение изображения для отклика в операторной форме:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Используя интеграл свертки получаем, что при известной переходной функции (h(t)) и известному входному воздействию х(t) выходное воздействие рассчитывается как:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

2.12. Mетод переменных состояния.

До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему. В этом случае можно говорить, что состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. см. рис. 2.12.2

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

где:
n — количество перемнных состояния,
m — количество входных воздействий,
p — количество выходных переменных;

Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

где:
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— вектор входа (или вектор управления);
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— вектор столбец производных переменных состояния;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— вектор столбец переменных состояния;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— вектор выхода;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— собственная матрица системы [n x n],
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— постоянные коэффициенты;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— матрица входа [n x m],
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— постоянные коэффициенты;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— матрица выхода а [p x n],
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— постоянные коэффициенты;
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— матрица обхода [p x m],
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— постоянные коэффициенты;

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования

Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики

Пример решения задачи в форме коши.

Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:

Дано:
Цилиндрический плунжер диаметром 10 мм, с приведенной массой 100 кг, работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения — 1000 Н/(м/с). Полость начальным объемом 20 см 3 соединяется с источником давлния дросселем диаметром диаметр которого 0,2 мм. Коэффициент расхода дросселя 0.62. Плотность рабочей жидкости ρ = 850 кг/м 3 .
Определить:
Перемещение дросселя, если в источнике давление происходит скачек 200 бар. см. рис. 2.12.13

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Уравенение движение плунжера:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Где: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией– площадь плунжера, Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией– жесткость пружины, Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией– коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.

Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией, тогда Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.

Расход через дроссель:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Где: f– площадь дросселя, Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией– давление в источнике, p – давление в камере.
Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:
1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.
2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме).
3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта.

Модель на внутреннем языке программирования представлена на рис. 2.12.6. В данной модели используется описание модели в форме Коши. Так же выполняется учет изменения объема дросселя на каждом шаге расчета, за счет перемещения плунжера (Vk = V0+Ap*x.)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.

Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают.
Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.

2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно

Рассмотрим несколько вариантов перехода от описания «вход-выход», к переменным состояния:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Вариант прехода зависит от правой части уравнения с переменными «вход-выход»:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

2.13.1. Правая часть содержит только b0*u(t)

В этом варианте, в уравнениях в правой части отсутствуют члены с производными входной величины u(t). Пример с плунжером выше так же относится к этому варианту.

Что бы продемонстрировать технологию перехода рассмотрим следующее уровнение:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Для перехода к форме Коши ведем новые переменные:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

И перепишем уравнение относительно y»'(t):

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Используя эти переменные можно перейти от дифференциального уравнения 3-го прядка, к системе из 3-х уравнений первого порядка в форме Коши:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Соотвественно матрицы для матричного вида уравнений в переменных сосотяния:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

2.13.2. Правая часть общего вида

Более сложный случай, когда в уравнениях есть производные от входных воздействий и уравнение в общем случае выглядит так:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Тогда можно представить уравнение в изображениях в виде:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Разделим уравнение в изображениях на произведение полиномов Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией, получим:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Где: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— некоторая комплексная величина (отношение двух комплексных величин). Можно считать, что Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейотображение величины Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией. Тогда входная величина может быть в изображениях представлена как:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Вренемся к оригиналу от изображений получим: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией,
где: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— дифференциальный оператор.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

А это дифференциальное уравнение n-го порядка мы можем преобразовать к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, как это мы делали выше:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Таким образом, мы получили систему уравнение в форе Коши, относительно переменных состояния Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

А регулируемую величину (выход системы) мы так же можем выразить через эти переменные, в изображениях:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Перейдем от изображения к оригиналам:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Если обозначить вектор Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией, то мы получим уравнения переменных состояниях в матричной форме, где D = 0:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Пример:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией
Рисунок 2.13.1 Передаточная функция.

Имеется передаточная функция (рис. 2.13.1) в изображениях :

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Необходимо преобразовать передаточную функцию к системе уравнений в форме Коши

В изображения реакция системы связана с входным воздействие соотношением:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Разделим в последнем правую и левую часть на произведения Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией, и введем новую перменную Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Полиномы N(s) и L(s) равны:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Перейдем в последнем выражении от изображения к оригиналам и ведем новые переменные (состояния):

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Переходим от уравнения третьего порядка к системе трех уравнений первого порядка:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Или в матричной форме:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Для получения второго матричного уравнения воспользуемся соотношением для новых переменных в отображениях:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Перейдем от изображений к оригиналу:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Таким образом второе уравнение матричной системы выглядит так:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Проверим в SimInTech сравнив передаточную функцию и блок переменных состояния, и убедимся, что графики совпадают см. рис. 2.13.2

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией
Рисунок 2.13.2 Сравнение переходного процеса у блока передаточной функции и блока переменных состояния.

Видео:Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.Скачать

Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.

Операторные передаточные функции

Содержание:

Операторные передаточные функции:

Практический смысл и назначение операторного метода в теории электрических цепей состоит, прежде всего, в представлении соотношения вход/выход в операторной форме, что даёт возможность существенно упростить процедуры анализа и синтеза электрических цепей и обеспечить связь между временным и частотным описаниями как колебаний, действующих в цепи, так и самой цепи.

Видео:16) ТАУ для чайников. Часть 4.8. ЛАФЧХ сложных звеньевСкачать

16) ТАУ для чайников. Часть 4.8. ЛАФЧХ сложных звеньев

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Покажем, что решение задач анализа колебаний в электрической цепи существенно упрощается при использовании операторного метода.

Законы Кирхгофа в операторной форме

Пусть токи Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.1)

что говорит о формальной справедливости законов Кирхгофа для токов и напряжений, выраженных в операторной форме.

Операторные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей

Убедимся в справедливости закона Ома для L-изображений колебаний на зажимах элементов R, L, С при нулевых начальных условиях (см.разд. 15.2) и найдём операторные изображения Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейактивного сопротивления, реактивного сопротивления индуктивности и ёмкости, а также их операторные проводимости Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Для элемента активного сопротивления

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.2)

т. е. операторное активное сопротивление равно самому активному сопротивлению, поэтому операторная активная проводимость равна самой активной проводимости

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.3)

Для элемента индуктивности

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

правило дифференцирования даёт:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

откуда операторные сопротивление и проводимость индуктивности равны:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.4)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.5)

Для элемента ёмкости

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

правило интегрирования даёт:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

откуда операторные сопротивление и проводимость ёмкости равны:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.6)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.7)

Заметим, что поскольку оператор р согласно (16.2) определён как комплексное переменное

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

операторные сопротивления и проводимости элементов L и С получаются заменой оператора Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейна оператор р при Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Операторные сопротивление и проводимость последовательного и параллельного двухполюсников

Закон Ома при нулевых начальных условиях формально верен и для сложных двухполюсников, если в числе их элементов не содержатся независимые источники.

Определение:

Операторным сопротивлением Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(проводимостью Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией) двухполюсника называется отношение операторного напряжения Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейна входе (операторного входного тока Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейк операторному току на выходе Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(операторному напряжению Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейна выходе)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

(соответственно Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейпри нулевых начальных условиях.

Найти операторное сопротивление двухполюсника (рис. 17.1), состоящего из последовательно соединённых элементов R, L, С при нулевых начальных условиях.

Решение. Напряжение на зажимах двухполюсника при нулевых начальных условиях равно

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Применим к полученному уравнению преобразование Лапласа:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

откуда следует, что при последовательном соединении элементов их операторные сопротивления складываются, как и для комплексных сопротивлений, но оператор Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейзаменяется на оператор р (см. разд. 17.1.2):

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.8)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Пример 17.2.

Найти операторную проводимость двухполюсника (рис. 17.2), состоящего из параллельно соединённых элементов R, L, С при нулевых начальных условиях.

Решение. Для тока Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейсогласно первому закону Кирхгофа имеем:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

поэтому операторную проводимость заданного двухполюсника можно записать сразу:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.9)

В силу дуальности последовательного и параллельного контуров выражение (17.9) можно было записать сразу на основании формулы (17.8).

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Выражения (17.8) и (17.9) представляют собой входные операторные функции цепи. Они дают основания определению операторного сопротивления и проводимости двухполюсника общего вида.

Операторные сопротивление и проводимость двухполюсника общего вида

Закон Ома, при нулевых начальных условиях, формально можно применить и для сколь угодно сложных двухполюсников. Ранее
(см. лекцию 5) было установлено, что если на входе двухполюсника действует источник напряжения с ЭДС Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейто для контура (например, первого), замыкающегося через этот источник, по формуле Крамера можно записать:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Переходя к L-изображениям напряжений, токов и сопротивлений элементов цепи, получим представление двухполюсника в операторной форме (рис. 17.3), что позволяет записать L-изображение входного тока:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Теперь согласно определению операторной проводимости и операторного сопротивления имеем:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.10)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.11)

При этом нужно помнить, что определители и алгебраические дополнения в таких формулах записываются с учётом свойств преобразования Лапласа, как это сделано в примерах 17.1 и 17.2.

Определение операторной передаточной функции. Связь с импульсной и переходной характеристиками

В лекции 15 было показано, что во временной области соотношение вход/выход линейной электрической цепи при произвольном воздействии описывается уравнением свёртки:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

где h(t) — импульсная характеристика, x(t) — воздействие, y(t) — реакция. При этом воздействие и реакция могут быть напряжениями или токами.

Для описания соотношения вход/выход в операторной форме воспользуемся L-изображением свёртки

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.12)

откуда получаем соотношения вход/выход в операторной форме

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.3)

которое называют передаточной функцией.

Определение:

Передаточной функцией линейной электрической цепи называется отношение L-изображения реакции к L-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.

Выражение (17.13) говорит о том, что передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики, т. е. импульсная характеристика является обратным преобразованием Лапласа передаточной функции:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.14)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.15)

Именно этими зависимостями объясняется содержащееся в определении передаточной функции требование нулевых начальных условий.

Связь между передаточной функцией и переходной характеристикой можно установить, если воспользоваться интегралом Дюамеля (15.20а) при нулевых начальных условиях:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

когда Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейЗдесь, как и в случае импульсной характеристики, имеет место свёртка двух функций, которой в операторной области соответствует произведение L-изображений свёртываемых функций:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Первый сомножитель правой части полученного уравнения содержит L-изображение производной, поэтому окончательно можно записать:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(7.16)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(7.17)

что полностью соответствует связи импульсной и переходной характеристик (15.16).

Обратим внимание на то, что передаточная функция может быть получена из комплексных частотных характеристик формальным образом, а именно — простой заменой в КЧХ Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейоператора Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейна Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи наоборот: КЧХ может быть получена из передаточной функции Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейзаменой оператора Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейна Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия, а какая в качестве реакции цепи, различают четыре вида передаточных функций:

операторное передаточное сопротивление

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.18)

операторную передаточную проводимость

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.19)

передаточную функцию по току

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.20)

передаточную функцию по напряжению

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(7.21)

Последние две функции иногда называют операторными передаточными коэффициентами по току и по напряжению соответственно.

По любой из передаточных функций (17.18)—(17.21) нетрудно найти L-изображение реакции цепи, а затем и саму реакцию на заданное воздействие, поскольку любая передаточная функция Н(р) согласно (17.12) может рассматриваться как связующий коэффициент между L-изображения ми воздействия Х(р) и реакции Y(p).

Пример 17.3.

Записать передаточную функцию для последовательного колебательного контура (рис. 17.1, б) относительно напряжения на индуктивности.

Решение. По определению передаточной функции для индуктивности имеем

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Но операторное напряжение на индуктивности равно:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Подставляя сюда операторное сопротивление (17.8), получаем искомую передаточную функцию:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.22)

Аналогично можно получить и другие передаточные функции для последовательной, параллельной или более сложной цепи. В последнем случае потребуется составить систему уравнений для L-изображений колебаний, воспользовавшись методом контурных токов или узловых напряжений.

Понятие о нулях и полюсах передаточной функции. Устойчивость передаточной функции

Задача 17.1.

Получить и исследовать общее выражение для передаточной функции цепи, когда воздействие представляет собой ЭДС источника напряжения, а реакцией является ток в выделенной ветви анализируемой цепи (рис. 17.4).

Решение. Выберем независимые контуры в цепи так, чтобы через источник напряжения замыкался ток только одного входного контура, а через интересующую нас ветвь — ток только одного выходного контура. На рис. 17.4 они обозначены индексами 1 и 2 соответственно.

Теперь, как и в задаче 5.2, необходимо положить Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейПри этих условия соответствующие операторные напряжения также оказываются равными нулю. Тогда операторный ток выходного контура получает вид:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

откуда по определению передаточной функции имеем операторную передаточную проводимость

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.23)

где Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— определитель системы операторных уравнений

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

a Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— операторный минор этого определителя относительно первой строки и второго столбца:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Заметим, что определитель и все его миноры представляют собой рациональные функции оператора р, все коэффициенты которых являются вещественными числами. Это объясняется тем, что при раскрытии определителя над его элементами совершаются только операции умножения, сложения и вычитания, а сами элементы представляют собой простейшие рациональные

функции с вещественными коэффициентами вида (17.11). Раскрывая определитель Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи минор Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи подставляя результаты в (17.23), получаем:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.24)

Полиномы числителя Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи знаменателя Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейкак и всякий полином, согласно основной теореме алгебры, могут быть представлены через их нули Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейсоответственно следующим образом:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.25)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.26)

Отсюда передаточная функция (17.24) приобретает вид:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(П27)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией—постоянный множитель;

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— являются нулями числителя (корнями уравнения Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией) и называются нулями передаточной функции;

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— называется характеристическим полиномом;

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией— являются нулями характеристического полинома (корнями уравнения Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией) и называются полюсами передаточной функции.

Названия корней уравнения Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейнулями и корней уравнения Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейполюсами связаны с тем, что при Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейпередаточная функция обращается в нуль, а при Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейв бесконечность. Поскольку коэффициенты передаточной функции вещественны, то нули и полюсы могут быть или вещественными или составлять комплексно-сопряжённые пары: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Нули и полюсы наглядно отображаются на комплексной p -плоскости (рис. 17.5) значками ( ° ) и ( * ) соответственно.

На рис. 17.5 показаны:

  • вещественный положительный нуль Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи отрицательный полюс Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейу которых частота Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией
  • пара комплексно-сопряжённых нулей Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейИз какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи пара комплексно-сопряжённых полюсов Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

и Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейу которых вещественные части отрицательны, а знаки соответствующих частот Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейпротивоположны.

Отображение нулей и полюсов на p-плоскости называют картой нулей и полюсов. Различают левую и правую р-полуплоскости.

Карта нулей и полюсов позволяет оценить ряд свойств электрической цепи и, в частности, определить её устойчивость с точки зрения устойчивости передаточной функции.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Утверждение:

цепь является строго устойчивой тогда и только тогда, когда её передаточная функция имеет, полюсы только в левой р-полуплоскости, исключая мнимую ось.

Доказательство. Напомним, что цепь называется строго устойчивой, если при нулевых начальных условиях ограниченное по величине воздействие

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

вызывает ограниченную по величине реакцию

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Но реакцию y(t) при нулевых условиях можно найти с помощью уравнения свёртки

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Отсюда при заданных ограничениях имеем соотношение

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

из которого следует, что для получения равномерно ограниченной для всех t реакции, т. е. для обеспечения строгой устойчивости цепи должно выполняться условие абсолютной сходимости интеграла от импульсной характеристики:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.28)

Найдём расположение полюсов, которое соответствует полученному условию. Для этого представим импульсную характеристику h(t) цепи как обратное L-изображение передаточной функции (17.15) путём разложения последней на сумму простых дробей (16.28):

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.29)

Подставим в интеграл (17.28) правую сумму (17.29)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.30)

и проведём ряд несложных преобразований.

Поскольку модуль суммы не превосходит суммы модулей, справедливо следующее неравенство:
Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

В правой части полученного неравенства поменяем местами знаки суммирования и интегрирования и оставим только знак равенства:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Рассмотрим интеграл в правой части равенства, содержащий модуль экспоненты, при Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейИз какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

во-вторых, первая экспонента под интегралом всегда неотрицательна, поэтому знак модуля можно опустить:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Остаётся исследовать сходимость интеграла при положительном и отрицательном показателе Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Сходимость интеграла при Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейозначает, что для устойчивости передаточной функции (а потому и цепи), все полюсы Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейдолжны иметь отрицательные действительные части Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейт. е. лежать в левой р-полуплоскости, что и требовалось доказать.

Связь передаточной функции с частотными и временными характеристиками цепи

Как было показано в лекции 10, для определения частотных характеристик АЧХ Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейи ФЧХ Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейцепи необходимо знать комплексную частотную характеристику Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейПолучить КЧХ из передаточной функции несложно: необходимо лишь в (17.10) заменить оператор Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейна Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейпоскольку частотные характеристики являются непрерывными функциями только частоты:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.31)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.32)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.33)

Эквивалентное выражение для КЧХ получается из (17.31), если воспользоваться комплексными функциями числителя и знаменателя:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.34)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.35)

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.36)

Вследствие того, что функция

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

является иррациональной, обычно при анализе и синтезе цепей используют квадрат АЧХ:

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией(17.37)

Перечислим основные свойства передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей.

  1. Передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики.
  2. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами.
  3. Полюсы устойчивой передаточной функции лежат в левой р-полуплоскости.
  4. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей; приневыполнении этого свойства АЧХ на бесконечно больших частотах Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функциейдолжна принимать бесконечно большое значение, поскольку числитель в этом случае растёт быстрее знаменателя.
  5. Частотные характеристики цепи вычисляются по передаточной функции при подстановке Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией
  6. Квадрат АЧХ является чётной рациональной функцией переменной с вещественными коэффициентами: Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией
  7. По передаточной функции можно изобразить схему цепи

Обобщённая схема связи передаточной функции с характеристиками и свойствами цепи представлена на рис. 17.6.

Из какого уравнения определяются нули системы описываемой передаточной функцией

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Электротехника
  2. Основы теории цепей
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Свободные колебания в пассивных электрических цепях
  • Цепи с распределёнными параметрами
  • Волновые параметры длинной линии
  • Колебания в линиях без потерь
  • Комплексные функции электрических цепей
  • Гармонические колебания в колебательном контуре
  • Частотные характеристики линейных электрических цепей
  • Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💥 Видео

10 класс, 10 урок, Обратная функцияСкачать

10 класс, 10 урок, Обратная функция

Передаточные функцииСкачать

Передаточные  функции

Линейные системы автоматического регулирования. Лекция 1. Классификация САУСкачать

Линейные системы автоматического регулирования. Лекция 1. Классификация САУ

Линейная функция, квадратичная функция и обратно-пропорциональная функция | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция, квадратичная функция и обратно-пропорциональная функция | Математика | TutorOnline

Промежутки знакопостоянства функции.Скачать

Промежутки знакопостоянства функции.

Преобразование структурных схем систем управленияСкачать

Преобразование структурных схем систем управления

14.1. Касательная к параметрически заданной функцииСкачать

14.1. Касательная к параметрически заданной функции

Предельные вероятности состоянийСкачать

Предельные вероятности состояний

proТАУ: 1. Передаточная функцияСкачать

proТАУ: 1. Передаточная функция

proТАУ: 4. Разомкнутая и замкнутая системы управленияСкачать

proТАУ: 4. Разомкнутая и замкнутая системы управления

6. Особые решения ДУ первого порядкаСкачать

6. Особые решения ДУ первого порядка
Поделиться или сохранить к себе: