История возникновения уравнений с одной переменной (2 видео)

Происхождение и решение уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Составила учитель математики «1 категории»

Османова Зухра Омаровна.

Тема: «Происхождение и решение уравнений»

Цель урока: узнать происхождение уравнений, рассмотреть ряд уравнений.

Задачи: Выяснить историю происхождения уравнений и значение в нашей жизни.

Урок сопровождается компьютерной презентацией.

1. Линейные уравнения

2. Квадратные уравнения

Здравствуйте ребята, уважаемые коллеги, тема нашего урока «Происхождение и решение уравнений» и эту тему я выбрала не случайно. Это очень важный раздел математики.

Сегодня мы рассмотрим: линейные уравнения, квадратные уравнений, целые уравнения и дробные рациональные уравнения, хочется вспомнить слова великого физика

Альберта Эйнштейна» Мне приходиться делить время…»

Кто и когда придумал первые уравнения?

Что такое уравнения?

Уравнение первой степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне. Большой вклад в развитии решение уравнений внес узбекский математик и остраном Мухаммад Аль Хорезми .

Ученик: то, что на слайде….

Название алгебра произошла от названия трактата, Мухаммад аль Хоразма, где он дая обещания правила для решение уравнений первой степени.

И самое главное, Аль-Хорезми подчеркивал, чтобы служить практическим нуждам людей в вопросах, касающихся наследования, раздела имущества, судебных дел и коммерции. Он прежде всего рассматривал свою работу как поколение Всевышнему и лишь потом – как помощь людям.

Ø Итак, уравнение первой степени. Вопросы:

1. Какие уравнения называться линейными

(Уравнения вида ах=в, где х- переменная, а и в – некоторые числа, называются линейными уравнениями.)

2. Ребята давайте вспомним алгоритм решение линейных уравнений

Открывайте тетради, пишите число, классная работа и решаем следующие уравнения.

А) 5х+(3х-3)=6х+11; б) 3а-(10+5а)=54 в)0,15(х-4)=9,9-0,3(х-1)

5х+3х-3=6х+11 3а-10-5а=54 0,15х-0,6=9,9-0,3х+0,3

5х+3х-6х=11+3 3а-5а=54+10 0,15х+0,3=0,6+9,9+0,3

2х=14 -2а=64 0,45х=10,8

Х=7 а=64(-2) х=10,8:0,45=1080:45

Ответ; х=7 а=-32 х=24

Ответ; а=-32 ответ; х=24

Ø В Вавилоне умели решать квадратные уравнения около 4000 лет до н.э. (Бхаскара Агарья)

Ученик: Бхаскара родился в семье ученых……

Он также открыл общий метод решения квадратных уравнений.

1. Давайте вспомним, ребята, какие уравнения называют квадратными.

(Уравнения вида ах 2 + вх +с=0, где х-переменная, авс числа причем ,называется квадратным. Выражения Д=в 2 4 ас- называется дискриминантом, а корни находятся

х_1:2 = ;

Алгоритм решения квадратных уравнений: ах 2 +вх+с=0

3.Решение квадратных уравнений

д=49-4

Ответ; Х1=1;

Ответ: Х_1:2

Ответ: Х1=2, Х2=2 ;

Вопрос: а) какое уравнение называется неполным квадратным уравнением ?

(если в квадратном уравнении ах 2 +вх+с=0, хотя бы один из коэфицентов отсутствуют в или с, то уравнение называют неполным.

А) -3х 2 +15=0 б) 4х 2 =9х=0

х 2 =5 х=0 или 4х+9=0

х= или х= . 4х=-9

Ø Целые уравнения

Ученик: с 15 лет Луиджи Феррари был учеником.

Ø Подведение итогов урока.

Домашнее задание; стр 79. Упр 266; 276.

Список использованной литературы

Ю.Н.Макарычев, 7,8,9 кл.

Курс повышения квалификации

Содержание

Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Материал подходит для УМК
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Автор материала
Дистанционные курсы для педагогов
Подарочные сертификаты
Математические уравнения и их использование в решении задач
Математические уравнения и их использование в решении задач
🌟 Видео

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 385 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

§ 5. Уравнения с одной переменной

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

13.03.2021
83
4

13.03.2021
86
2

13.03.2021
138
4

13.03.2021
87
3

13.03.2021
167
27

12.03.2021
93
2

12.03.2021
105
3

12.03.2021
77
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

13.03.2021 269
DOCX 1.5 мбайт
3 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Османова Зухра Омаровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 11 месяцев
Подписчики: 0
Всего просмотров: 1361
Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ УРАВНЕНИЙ | ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Математические уравнения и их использование в решении задач

Видео:Уравнения с одной переменной 9 класс МакарычевСкачать

Математические уравнения и их использование в решении задач

Глава 1. История возникновения уравнений

Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения

Глава 3. Использование уравнений при решении задач

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Глава 1. История возникновения уравнений

Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Слово «алгебра» возникло после появления тракта «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмского математика и астронома Мухамеда Бен Муса аль Хорезми. Термин «аль-джерб», взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как алгебра.

Знак равенства ввел в 1556 году английский математик Рекорд, который объяснил это так, что ничто не может быть более равным, чем два параллельных отрезка.

Франсуам Виемт (фр. Franзois Viиte, seigneur de la Bigotiиre; 1540 — 13 декабря 1603) — выдающийся французский математик, один из основоположников алгебры

Создателем современной буквенной символики является французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603). До XVI в. изложение алгебры велось в основном словесно. Буквенные обозначения и математические знаки появлялись постепенно.

Знаки + — впервые встречаются у немецких алгебраистов XVI в. Несколько позже вводится знак * для умножения. Знак деления (:) был введён лишь в XVII в. Решительный шаг в использовании алгебраической символики был сделан в XVI в., когда французский математик Франсуа Виет (1540-1603) и его современники стали применять буквы для обозначения не только неизвестных (что делалось и ранее), но и любых чисел. Однако эта символика ещё отличалась от современной. Так, Виет для обозначения Неизвестного числа применял букву N (Numerus-число), для квадрата и куба неизвестного буквы Q (Quadratus — квадрат) и C (Cubus — куб). Например, запись уравнения X в кубе, минус 8X в квадрате, плюс 16X, равно 40 у Виета выглядела бы так: 1C-8Q+16N aequ. 40 (aequali — равно). Виет делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы: гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразования. Например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения.

Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Диофант (не ранее III века н.э.) — единственный известный нам древнегреческий математик, который занимался алгеброй.

Он решал различные уравнения, особое внимание уделял неопределенным уравнениям, теория которых называется теперь «диофантовым анализом». У Диофанта была попытка ввести буквенную символику.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» и обозначает буквой т, квадрат неизвестной — символом дн (сокращение от дэнбмйт — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент

Эваримст Галуам (фр. Йvariste Galois;25 октября 1811, 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция — 31 мая 1832, ,Франция) — выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры.

Эврист Галуа (1811 — 1832) — этот гениальный математик погиб на дуэли, подстроенной его врагами. В ночь перед дуэлью он написал письмо, в котором изложил свои результаты, давшей начало целой науке — «теории Галуа»

Нильс Хенрик Абель (1802 — 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.

«Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет» (Шарль Эрмит). Нильс Хенрик Абель (норв. Niels Henrik Abel; 5 августа 1802, Фингё — 6 апреля 1829, Фроланд близ Арендаля) — знаменитый норвежский математик

1.Из истории возникновения уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

2. Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе математики

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:

1) уравнение как средство решения текстовых задач;

2) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

3) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие много аспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно — методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений

в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики

Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k — натуральное число, большее 1) и ax=b.

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

3. О трактовке понятия уравнения.

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.

Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме: пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х — переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)-термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.

Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению следующее определение: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением»

Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно выделить в нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение — это особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство, соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный специальный вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений и неравенств, оба компонента играют значительную роль.

Первый — смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется при обосновании корректности того или иного преобразования уравнения.

Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.

Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию уравнения, включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит от присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном материале курса математики. Если их нет, то привести подобное определение невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения, — корня уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент. Такое определение приведено, например, в учебнике Колмогорова А. Н.

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения, существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию. Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи: «Конверт с новогодней открыткой стоит 170сум. Конверт дешевле открытки на 70 сумк. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи: х+(х-70)= 170, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство». Указанный способ введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия уравнения — прикладному.

Еще один подход к определению понятия уравнения получается при сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней уравнения — собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением»

Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина «множество».

Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.

В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х) = b(х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а(х) = b(х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х = х, где х — числовое выражение.

При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное», который ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом решения текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.

Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения

Наука математика возникла на первых этапах развития человечества из его практических нужд и творческих потребностей. Герман Вейль писал: «Математика играет весьма существенную роль в формировании нашего духовного облика. Занятие математикой — подобно мифотворчеству, литературе или музыке — это одна из наиболее присущих человеку областей и его творческой деятельности, в которой проявляется его человеческая сущность, стремление к интеллектуальной сфере жизни, являющейся одним из проявлений мировой гармонии».

В настоящее время математика достигла своего расцвета, она является основой большинства современных наук, а ее приложения используются во всех областях человеческой деятельности.

Большим значением в практической математике является метод уравнений. С их помощью решаются множество различных задач смежных дисциплин и задач прикладного характера (экономические, транспортные, биохимические, астрономические, географические и многие другие)

Чтобы решить уравнение нужно совершить ряд алгебраических преобразований. В математике существует множество задач, которые решаются с помощью уравнений. Чтобы решить эти задачи, мы вспоминаем слова великого Ньютона, задачу нужно перевести с родного языка на язык алгебры.

Используя данный способ, мы сможем легко и быстро решить любую, на первый взгляд сколь угодно сложную, задачу.

Опираясь на данное изложение, мы хотели бы сказать, что современный мир — мир развития науки и техники, невозможен без знания и умения решать уравнения.

Уравнением с одним неизвестным называется запись вида, А (х)=В (х) — выражения от неизвестного х. В эти выражения помимо чисел, знаков арифметических операций и обозначений функций могут входить и другие буквы, которые обозначают переменные, называемые параметрами.

Областью определения уравнения (иногда говорят — область допустимых значений неизвестного) называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.

Корнем или решением, уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнении получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейные и квадратные уравнения, а также уравнения вида f (х)=а, где f — одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Например, корень уравнения х 3 =а равен, корень уравнения log ₃х = а есть 3 а , а уравнение cos х = а решается по формуле х= arcos, а + 2Пп, где п=о, 1, 2,…Существует формула и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения — свести его к простейшим.

Два основных способа упрощения уравнений — это замена переменной и разложение на множители.

Например, биквадратное уравнение х 4 +ах 2 +b=0 сводится к квадратному заменой y=х 2 , а тригонометрическое уравнение 2cos 2 х +cos х — 1= 0 — заменой y= cos х. вообще, если вы сумели записать уравнение в виде F (f (x))=0, сделайте замену y=f (x). Решить два уравнения, f (y)=0 и f (x)=y, почти всегда проще, чем одно данное.

Разложить уравнение на множители — значит представить его в виде f (x) . g (x)=0. Такое уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений: f (x)=0 и g (x)=0. Множеством решений исходного уравнения будет объединение множеств решений этих двух более простых. Правда, здесь спрятана и одна из ловушек. При замене одного уравнения двумя может расшириться область определения задачи: первое уравнение определено на пересечении областей определения f и g, а совокупность двух уравнений — на объединении. Так, уравнение (х+1)=0 имеет только один корень (х=0), совокупность же уравнений =0 и х+1=0 — два (х=0 и х= -1).

Один корень легко угадать: х= -1.

Как найти остальные? Можно доказать, что если х₀ — корень многочлена P (х), то это многочлен делится на х — х₀, т. е.разлагается на множители, один из которых х — х₀. Выполним это разложение — вынесем из левой части множитель х+1:

х 2 — 3х — 2=х 3 +х 2 — х 2 — 3х — 2= х 2 (х+1) — (х 2 +х) — 2х — 2= (х+1) (х 2 -х -2).

Обратим внимание на используемый при этом прием — прибавление и вычитание одного и того же выражения (…=х 2 — х…). Этот нехитрый, но очень полезный прием носит шутливое название «метод Тараса Бульбы» (вспомним: «Я тебя породил, я тебя и убью!»). Ну, а дальше остается решить квадратное уравнение.

Таковы главные способы упрощения. Однако догадаться какую именно замену следует применить или как разложить на множители конкретное уравнение, порой бывает очень трудно. Успех здесь зависит от знания стандартных формул, опыта, смекалки и в большой мере — от удачи.

Глава 3. Использование уравнений при решении задач

Язык алгебры — уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них: