История возникновения уравнений история возникновения неравенств (6 видео)

Содержание

История возникновения уравнений история возникновения неравенств
Глава 1. История возникновения уравнений
Математические уравнения и их использование в решении задач
Математические уравнения и их использование в решении задач
🔥 Видео

Видео:История 5 кл Появление неравенства и знатиСкачать

История возникновения уравнений история возникновения неравенств

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа $$pi$$: $$3 frac

Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического, т. е. что верно неравенство $$frac le sqrt le frac $$.

Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
Первым алгебраистом XVII века был воспитанник Оксфордовского университета Томас Гарриот (1560-1621), составитель ценного описания и карты исследованной им части Северной Америки, ныне именуемой Северной Каролиной (1586); карты Луны, которую он наблюдал через зрительную трубу в одно время с Галилеем, и, наконец, труда «Применение аналитического искусства к решению алгебраических уравнений», изданного через 10 лет после смерти автора в Лондоне в 1631 году. В этом сочинении, во многом примыкающем к алгебраическим трудам Виета, Гарриот поставил себе задачей изложить «аналитическое искусство» своего предшественника легче и проще для понимания и применения.

Этого он во многом достиг, усовершенствовав символику. Вместо прописных букв для известных и неизвестных величин он применил строчные, а их целые положительные степени стал обозначать, как иногда поступал ранее М. Штифель (1486-1567), записывая соответственно число раз подряд основанию. Виет писал рядом с буквой полное или сокращенное наименование степени или размерности величины. Так как Гарриот пользовался к тому же знаками равенства Р. Рекорда (1510-1558), его запись довольно похожа на современную.

Например, уравнение (один из корней которого есть 2b) $$aaa — 3.baa + 3. bba = +2.bbb$$ соответствует нашему x 3 — 3 bx 2 + 3 b 2 x = 2b 3 . Точка здесь служит для отделения числового коэффициента, а не знаком умножения, как это предложил Г.В. Лейбниц (1646-1716) в конце 17 века.
Между прочим, подобного рода запись, в которой свободный член стоит один в какой-либо части уравнения, Гарриот называл каноническим уравнением. Новыми полезными знаками Гарриота явились > и

В 1746 г. происходит не менее важное событие — издается капитальный труд французского ученого, одного из основателей фотометрии, Пьера Бугера (1698-1758 гг.) “Трактат о корабле, о его конструкции и о его движении”, который принято считать первым учебником по теории корабля, поэтому эту книгу часто называют просто “Теорией корабля”.

В сочинении разрабатываются основы строгого учения о плавучести и остойчивости корабля, его измерения, обосновывается понятие метацентра и его радиуса, плеча восстанавливающего момента, рассматриваются многие другие вопросы мореходных качеств судна, проблемы обеспечения прочности корпуса. Самое интересное, что Бугер сознавал в целом недостаточную теоретическую подготовленность судостроителей того времени, поэтому его книга написана простым языком и не загромождена сложными математическими выкладками, что сделало ее на долгие годы учебником для кораблестроителей не только Франции, но и многих других стран.

Видео:Появление неравенства и знати Скачать

Глава 1. История возникновения уравнений

Представим, что в очень легком — практически невесомом — кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не заглядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелек на одну чашу рычажных весов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потребуется — столько же их и в кошельке.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов.» Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37…», — поучал во втором тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели каким-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако, ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: » Смотри!», » Делай так!», » Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата — «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» (» Книга о восстановлении и противопоставлении») — со временем превратилось знакомое всем слово «алгебра». А само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Аль-Хорезми один из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеет равенство 5х — 16=20 — 4х. Считая, что оно задает равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

После этой законной операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со значением плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно также на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:

Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х=36 уже легко вычислить что х=4.

Восстановлением («аль-джебр») аль-Хорезми назвал операцию исключения из обеих частей уравнения вычитаемых членов путем добавления противоположных по знаку. Противопоставление («аль-мукабала») — это сокращение в частях уравнения одинаковых членов.

Взгляд уравнения как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (разумеется, если оно не нуль). Главный принцип: если над равным количеством произвести одинаковые действия, то в результате снова получаются равные количества — стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми. Однако «палочкой» этой нужно пользоваться с осторожностью.

В сочинении аль-Хорезми неизвестные величины, так же как и все сопутствующие выкладки и преобразования уравнений, выражались словесно.

Такой стиль изложения, характерный для раннего этапа развития алгебры, историки науки называют риторическим (красноречивым).

Новый великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, y или z) мы обязаны соотечественнику Виета — Рене Декарту.

Изобретение Виета позволило гораздо легче находить самые общие решения для многих, похожих одна на другую задач. Предположим, со станции, находящейся в 160 км от Москвы, в направлении от столицы выезжает поезд со скоростью 85 км/ч. Через какое время он окажется на расстоянии 500 км от Москвы? Как изменится решение, если поезд отправляется со станции, удаленной на 359 км от столицы, а скорость его движения 70 км/ч? Эти две задачи отличаются лишь исходными данными, поэтому допускают запись условия в общем виде. Если поезд отправляется из пункта, расположенного в а км от Москвы , в противоположную от него сторону со скоростью v км/ч, то для того, чтобы достичь расстояния b км от столицы, ему понадобится время t. Условие выражается уравнением

Решая это уравнение относительно неизвестного t, находим

Это общая формула, которая охватывает все частные случаи для конкретных числовых параметров a,b,v. Например, полагая а=160 км, b=500км, v=85 км/ч, получаем

Если же а=395 км, b=500 км, v= 70 км/ч, то

Формула одна, а решения разные. Поистине «математика — это искусство давать различным вещам одно и то же название». Этот остроумный и глубокий афоризм принадлежит Анри Пуанкаре, создателю многих современных областей математики. В работе «Наука и метод» Пуанкаре особо выделял способность ученого не просто видеть голые факты, а заглядывать гораздо глубже — познавать душу фактов, производить обобщения: «Простым примером является алгебраическая формула, которая дает нам решение всех численных задач определенного типа, так что достаточно лишь заменить буквы числами. Благодаря такой формуле алгебраическое вычисление, однажды выполненное, избавит нас от необходимости повторять без конца все новые и новые численные выкладки».

Слова Пуанкаре необычайно актуальны в наш век всеобщего триумфа компьютерной техники. Умницы- компьютеры научились понимать язык алгебраических формул и способны перерабатывать (т.е. вычислять по этим формулам) огромные массивы числовых данных. Нужно только подбирать и вводить исходные числа, чтобы получить готовые ответы.

Видео:Появление неравенства и знатиСкачать

Математические уравнения и их использование в решении задач

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Математические уравнения и их использование в решении задач

Глава 1. История возникновения уравнений

Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения

Глава 3. Использование уравнений при решении задач

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Глава 1. История возникновения уравнений

Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Слово «алгебра» возникло после появления тракта «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмского математика и астронома Мухамеда Бен Муса аль Хорезми. Термин «аль-джерб», взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как алгебра.

Знак равенства ввел в 1556 году английский математик Рекорд, который объяснил это так, что ничто не может быть более равным, чем два параллельных отрезка.

Франсуам Виемт (фр. Franзois Viиte, seigneur de la Bigotiиre; 1540 — 13 декабря 1603) — выдающийся французский математик, один из основоположников алгебры

Создателем современной буквенной символики является французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603). До XVI в. изложение алгебры велось в основном словесно. Буквенные обозначения и математические знаки появлялись постепенно.

Знаки + — впервые встречаются у немецких алгебраистов XVI в. Несколько позже вводится знак * для умножения. Знак деления (:) был введён лишь в XVII в. Решительный шаг в использовании алгебраической символики был сделан в XVI в., когда французский математик Франсуа Виет (1540-1603) и его современники стали применять буквы для обозначения не только неизвестных (что делалось и ранее), но и любых чисел. Однако эта символика ещё отличалась от современной. Так, Виет для обозначения Неизвестного числа применял букву N (Numerus-число), для квадрата и куба неизвестного буквы Q (Quadratus — квадрат) и C (Cubus — куб). Например, запись уравнения X в кубе, минус 8X в квадрате, плюс 16X, равно 40 у Виета выглядела бы так: 1C-8Q+16N aequ. 40 (aequali — равно). Виет делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы: гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразования. Например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения.

Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Диофант (не ранее III века н.э.) — единственный известный нам древнегреческий математик, который занимался алгеброй.

Он решал различные уравнения, особое внимание уделял неопределенным уравнениям, теория которых называется теперь «диофантовым анализом». У Диофанта была попытка ввести буквенную символику.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» и обозначает буквой т, квадрат неизвестной — символом дн (сокращение от дэнбмйт — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент

Эваримст Галуам (фр. Йvariste Galois;25 октября 1811, 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция — 31 мая 1832, ,Франция) — выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры.

Эврист Галуа (1811 — 1832) — этот гениальный математик погиб на дуэли, подстроенной его врагами. В ночь перед дуэлью он написал письмо, в котором изложил свои результаты, давшей начало целой науке — «теории Галуа»

Нильс Хенрик Абель (1802 — 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.

«Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет» (Шарль Эрмит). Нильс Хенрик Абель (норв. Niels Henrik Abel; 5 августа 1802, Фингё — 6 апреля 1829, Фроланд близ Арендаля) — знаменитый норвежский математик

1.Из истории возникновения уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

2. Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе математики

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:

1) уравнение как средство решения текстовых задач;

2) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

3) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие много аспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно — методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений

в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики

Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k — натуральное число, большее 1) и ax=b.

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

3. О трактовке понятия уравнения.

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.

Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме: пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х — переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)-термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.

Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению следующее определение: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением»

Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно выделить в нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение — это особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство, соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный специальный вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений и неравенств, оба компонента играют значительную роль.

Первый — смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется при обосновании корректности того или иного преобразования уравнения.

Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.

Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию уравнения, включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит от присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном материале курса математики. Если их нет, то привести подобное определение невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения, — корня уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент. Такое определение приведено, например, в учебнике Колмогорова А. Н.

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения, существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию. Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи: «Конверт с новогодней открыткой стоит 170сум. Конверт дешевле открытки на 70 сумк. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи: х+(х-70)= 170, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство». Указанный способ введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия уравнения — прикладному.

Еще один подход к определению понятия уравнения получается при сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней уравнения — собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением»

Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина «множество».

Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.

В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х) = b(х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а(х) = b(х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х = х, где х — числовое выражение.

При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное», который ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом решения текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.

Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения

Наука математика возникла на первых этапах развития человечества из его практических нужд и творческих потребностей. Герман Вейль писал: «Математика играет весьма существенную роль в формировании нашего духовного облика. Занятие математикой — подобно мифотворчеству, литературе или музыке — это одна из наиболее присущих человеку областей и его творческой деятельности, в которой проявляется его человеческая сущность, стремление к интеллектуальной сфере жизни, являющейся одним из проявлений мировой гармонии».

В настоящее время математика достигла своего расцвета, она является основой большинства современных наук, а ее приложения используются во всех областях человеческой деятельности.

Большим значением в практической математике является метод уравнений. С их помощью решаются множество различных задач смежных дисциплин и задач прикладного характера (экономические, транспортные, биохимические, астрономические, географические и многие другие)

Чтобы решить уравнение нужно совершить ряд алгебраических преобразований. В математике существует множество задач, которые решаются с помощью уравнений. Чтобы решить эти задачи, мы вспоминаем слова великого Ньютона, задачу нужно перевести с родного языка на язык алгебры.

Используя данный способ, мы сможем легко и быстро решить любую, на первый взгляд сколь угодно сложную, задачу.

Опираясь на данное изложение, мы хотели бы сказать, что современный мир — мир развития науки и техники, невозможен без знания и умения решать уравнения.

Уравнением с одним неизвестным называется запись вида, А (х)=В (х) — выражения от неизвестного х. В эти выражения помимо чисел, знаков арифметических операций и обозначений функций могут входить и другие буквы, которые обозначают переменные, называемые параметрами.

Областью определения уравнения (иногда говорят — область допустимых значений неизвестного) называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.

Корнем или решением, уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнении получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейные и квадратные уравнения, а также уравнения вида f (х)=а, где f — одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Например, корень уравнения х 3 =а равен, корень уравнения log ₃х = а есть 3 а , а уравнение cos х = а решается по формуле х= arcos, а + 2Пп, где п=о, 1, 2,…Существует формула и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения — свести его к простейшим.

Два основных способа упрощения уравнений — это замена переменной и разложение на множители.

Например, биквадратное уравнение х 4 +ах 2 +b=0 сводится к квадратному заменой y=х 2 , а тригонометрическое уравнение 2cos 2 х +cos х — 1= 0 — заменой y= cos х. вообще, если вы сумели записать уравнение в виде F (f (x))=0, сделайте замену y=f (x). Решить два уравнения, f (y)=0 и f (x)=y, почти всегда проще, чем одно данное.

Разложить уравнение на множители — значит представить его в виде f (x) . g (x)=0. Такое уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений: f (x)=0 и g (x)=0. Множеством решений исходного уравнения будет объединение множеств решений этих двух более простых. Правда, здесь спрятана и одна из ловушек. При замене одного уравнения двумя может расшириться область определения задачи: первое уравнение определено на пересечении областей определения f и g, а совокупность двух уравнений — на объединении. Так, уравнение (х+1)=0 имеет только один корень (х=0), совокупность же уравнений =0 и х+1=0 — два (х=0 и х= -1).

Один корень легко угадать: х= -1.

Как найти остальные? Можно доказать, что если х₀ — корень многочлена P (х), то это многочлен делится на х — х₀, т. е.разлагается на множители, один из которых х — х₀. Выполним это разложение — вынесем из левой части множитель х+1:

х 2 — 3х — 2=х 3 +х 2 — х 2 — 3х — 2= х 2 (х+1) — (х 2 +х) — 2х — 2= (х+1) (х 2 -х -2).

Обратим внимание на используемый при этом прием — прибавление и вычитание одного и того же выражения (…=х 2 — х…). Этот нехитрый, но очень полезный прием носит шутливое название «метод Тараса Бульбы» (вспомним: «Я тебя породил, я тебя и убью!»). Ну, а дальше остается решить квадратное уравнение.

Таковы главные способы упрощения. Однако догадаться какую именно замену следует применить или как разложить на множители конкретное уравнение, порой бывает очень трудно. Успех здесь зависит от знания стандартных формул, опыта, смекалки и в большой мере — от удачи.

Глава 3. Использование уравнений при решении задач

Язык алгебры — уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них: